广西部分学校2024-2025学年高二下学期3月质检数学试卷（含答案）

2024-2025学年广西部分学校高二（下）3月质检
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列求导正确的是( )
A. B. C. D.
2.名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是，则人都没中靶的概率为( )
A. B. C. D.
3.已知抛物线上的点与焦点的距离为，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
5.平面直角坐标系上的一个质点从原点出发，每次向右或向上移动个单位长度，则移动次后，质点恰好位于点的移动方式有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.已知随机事件，满足，，则( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足，，则( )
A. B. C. D.
8.函数图象上的点到直线的距离的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某一比赛结束，位教练和位运动员站成一排合影留念，则下列说法正确的是( )
A. 若位教练站在一起，则不同的站法有种
B. 若位教练不站在两端，则不同的站法有种
C. 若位教练两两不相邻且要求位教练站在最左端，则不同的站法有种
D. 若位运动员按照身高从左到右由高到低的顺序排列假设位运动员的身高各不相同，则不同的站法有种
10.关于下列命题中，正确的是( )
A. 两变量，的相关系数越接近，，的相关程度越强，越接近，相关程度越弱
B. 从名男同学和名女同学中任选人参加社区服务，则选中的男同学比女同学多的概率为
C. 随机变量，若，则，
D. 已知，若，则
11.南宋数学家杨辉在详解九章算法和算法通变本末中提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列如数列，，，，它的前后两项之差组成新数列，，，新数列，，为等差数列，这样的数列，，，称为二阶等差数列已知数列，，，且，则( )
A. 数列为二阶等差数列 B.
C. 数列为三阶等差数列 D. 数列为二阶等差数列
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.已知函数在处可导，若，则 ______．
13.已知椭圆的离心率为，则的长轴长为______．
14.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类如图，第一行的，，，称为三角形数，第二行的，，，称为五边形数，则三角形数的第项为______，五边形数的第项为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，于，，，，，平面．
判断与是否垂直并说明理由；
求平面与平面的夹角的余弦值．
16.本小题分
已知是数列的前项和，且．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知某险种首次参保的保费为元，保险期为年在总体中抽取单，统计其在一个保险期内的赔偿次数，得到表．
赔偿次数
单数
表
用频率估计概率，解答下列问题．
求随机抽取单，该单的赔偿次数不少于的概率．
下一个保险期的保费由上一个保险期的赔偿次数决定，记上一个保险期的保费为元，下一个保险期的保费与上一个保险期的赔偿次数的关系如表所示．
上一个保险期的赔偿次数
下一个保险期的保费
表
已知甲年首次参保，此后计划每年都参保．
估计甲年参保第二个保险期的保费为元，求的数学期望；
求在甲年参保的保费大于元的前提下，甲年参保第三个保险期的保费少于元的概率．
18.本小题分
已知非常数数列满足，．
求数列的通项公式；
若数列满足，求数列的前项和．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，已知任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
在平面直角坐标系中，写出将点分别绕原点按逆时针方向旋转，得到的点，的坐标；
在平面直角坐标系中，求曲线绕原点沿逆时针方向旋转后得到的曲线源的方程；
已知由得到的曲线与轴正半轴的交点为，直线与曲线的两支交于，两点在第一象限，与轴交于点，设直线，的倾斜角分别为，，证明：为定值．
参考答案
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17.解：该单的赔偿次数不少于的概率约为；
的可能取值为，，，，；
，，
，
元．
甲年参保的保费大于元的概率为．
甲年参保的保费大于元，且年参保的保费少于元的情况包括：
年参保的保费为元，且年的赔偿次数为；
年参保的保费为元，且年的赔偿次数为．
其概率，
故所求的概率为．
18.
19.解：根据题意：在平面直角坐标系中，已知任意平面向量，
把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，
因为将点分别绕原点按逆时针方向旋转，得到的点，的坐标；
，，
所以，
故，
，，故．
综上：在平面直角坐标系中，将点分别绕原点按逆时针方向旋转，得到的点，的坐标为，；
根据题意：在平面直角坐标系中，已知任意平面向量，
把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，
设将点绕原点按逆时针方向旋转后得到的点为．
设，，
则，，，
所以，
．
设曲线上任意一点绕原点沿逆时针方向旋转后所得点的坐标为，
则
得，则，所求曲线方程为．
故在平面直角坐标系中，求曲线绕原点沿逆时针方向旋转后得到的曲线源的方程为．
证明：根据题意：已知由得到的曲线与轴正半轴的交点为，
直线与曲线的两支交于，两点在第一象限，与轴交于点，设直线，的倾斜角分别为，，
接下来根据直线的斜率的存在性进行分类讨论：
若直线的斜率存在，可设直线的方程为，，
由得，
所以，，且由，得，解得．
当时，取，，，
所以直线的方程为．
联立直线与双曲线的方程，可得，解得或，
所以，，所以，
所以，可得．
当时，设直线，的斜率分别为，．
，，
所以
，
，
所以．
因为点在第一象限，所以，
所以，所以．
若直线的斜率不存在，则，，
可得，，
所以，同理可得．
综上，为定值．
若直线的斜率不存在，则，，
可得，，
所以，同理可得．
综上，为定值．
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