2024-2025学年江西省吉安县立中学重点班高二（下）质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省吉安县立中学重点班高二（下）质量检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
2.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D. 和
3.已知，是圆上的两个相异的动点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
4.下列选项中，是的充要条件的是( )
A. ：或，：两条直线：与：平行
B. ：直线与曲线有两个不同交点，
C. ：在圆：外部，：
D. ：直线：与圆：相离，
5.设为双曲线：的右焦点，，分别为的两条渐近线的倾斜角，已知点到其中一条渐近线的距离为，且满足，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
6.已知是递增的等比数列，若，则当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
7.函数在处有极值，则为( )
A. B. C. 或 D. 不存在
8.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，在双曲线右支上存在点，使得，，成等比数列，则双曲线离心率取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是两个非零向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 在方向上的投影向量的模为
10.已知可导函数的导函数为，则( )
A. 有个极值点
B. 有个零点
C. 只可能在或者时取得最小值
D. 对，恒成立
11.“出租车几何”或“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语．在平面直角坐标系内，对于任意两点，，定义它们之间的“欧几里得距离”，“曼哈顿距离”为，则下列说法正确的是( )
A. 若点为线段上任意一点，则为定值
B. 对于平面上任意一点，若，则动点的轨迹长度为
C. 对于平面上任意三点，，，都有
D. 若，为椭圆上的两个动点，则最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.等比数列中，且，，成等差数列，则 ______结果可用幂表示
13.已知函数在处取得极小值，则 ______．
14.如图所示，正八面体的棱长为，点为正八面体内含表面的动点，则的取值范围为______
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解某地小学生对中国古代四大名著内容的熟悉情况，从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”个经典故事，进行寻找经典故事出处的答题游戏不同的经典故事不能搭配同一本名著规定：每答对个经典故事的出处，可获得分．
小王同学的答题情况如图所示．
求小王同学的得分；
老师指出了小王同学答错的试题，并要求他重新作答错误试题，求小王同学避开此次错误答案后随机作答并全部答对的概率．
小李同学将这个经典故事与四大名著随机地搭配进行答题，记他的得分为，求的分布列与期望．
16.本小题分
平面内，已知，，且．
求动点的轨迹的方程．
已知椭圆的离心率为，过上任意一点可作出椭圆的两条相互垂直的切线，，，为切点若延长与曲线交于另一点，为坐标原点，直线，的斜率存在，分别设为，，证明：为定值．
17.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
如图所示，由椭圆和抛物线组合成曲线，若与存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲线为“七星瓢虫曲线”特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其为“等差椭圆”．
求“等差椭圆”的离心率；
在“七星属虫曲线”中，若是“等差椭圆”，且．
Ⅰ求与和都相切的直线的方程；
Ⅱ直线：，且与相交所得弦的中点为，与相交所得弦的中点为，证明：直线，为原点的斜率之积为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：从各名著中分别选取了“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”“大闹天宫”个经典故事，
进行寻找经典故事出处的答题游戏不同的经典故事不能搭配同一本名著，
规定：每答对个经典故事的出处，可获得分．
小王同学的答题情况如图所示，
由图可知，小王同学答对道试题，故他的得分为分．
经过老师的指出可知，“草船借箭”“武松打虎”“黛玉葬花”对应的出处错误，
针对错误试题进行分析后，
给出的答案可能为：
草船借箭，三国演义，黛玉葬花，红楼梦，武松打虎，水浒传，
草船借箭，水浒传，黛玉葬花，三国演义，武松打虎，红楼梦，共种情况，
其中错误试题全部答对的情况为：
草船借箭，三国演义，黛玉葬花，红楼梦，武松打虎，水浒传，
故所求的概率为．
由题可知，的所有取值可能为，，，．
，，，
．
的分布列为：
故．
16.

17.证明：当时，，定义域为，
要证，只需证：当时，．
令，则．
当时，；当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以，即时，，得证．
解：因为，
令，，
当时，，在上无极值点，不符合题意；
当时，，即在上单调递减，且．
取，其中．
显然，，
则．
由根的存在性定理可知，存在唯一的，使得．
当时，，即；当时，，即．
此时在区间上有且仅有一个极值点，满足题意．
综上，，即实数的取值范围是．
18.解：设椭圆的半焦距为，
因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以，
又，所以，则，
两边同时除以，得，解得舍去．
所以“等差椭圆”的离心率为．
Ⅰ解：若是“等差椭圆”，且，
则由，得，则，，解得．
故，．
易知与和都相切的直线斜率存在且不为，设方程为：．
联立消去得，
则，得，
联立消去得，
则，得；
联立，解得或
故C和都相切的直线方程为或．
Ⅱ证明：设与相交于，，
线段的中点，则，，
两式相减，得，
所以，即，
由已知，，所以，
即，则，
联立得，
又，则，，
故，
所以中点的坐标为，可得，
所以，为定值．

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