2024-2025学年陕西省西安市鄠邑四中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市鄠邑四中高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若物体的运动方程是，时物体的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
2.函数在区间上的平均变化率为( )
A. B. C. D.
3.的导数是( )
A. B. C. D.
4.已知为的导数，且，则( )
A. B. C. D.
5.函数在上的最小值和最大值分别是( )
A. B. C. D.
6.函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是( )
A. B.
C. D.
7.若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则下列结论中正确的是( )
A. 函数在上单调递减 B. 函数的极小值点为
C. 函数无极大值 D. 函数在上的最大值为
10.如图所示物体甲、乙在时间到范围内路程的变化情况，下列说法正确的是( )
A. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
B. 在时刻，甲的瞬时速度等于乙的瞬时速度
C. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
D. 在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度
11.对于函数，下列说法正确的是( )
A. 在处取得极大值 B. 有两个不同的零点
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数，则 ______．
13.点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为 ．
14.曲线在点处的切线与直线垂直，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
当时，求曲线在处的切线方程；
若曲线在处的切线方程为，求，的值．
16.本小题分
求曲线在点处的切线方程；
已知函数，求过点且与图象相切的直线的方程．
17.本小题分
已知函数．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ求证：当时，．
18.本小题分
某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为万元辆，出厂价为万元辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加已知年利润每辆车的出厂价每辆车的投入成本年销售量．
若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润万元关于的函数关系式．
若年销售量关于的函数为，则当为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
19.本小题分
设函数．
若是的极值点，求的单调区间；
若，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：当时，，所以，
当时，，，切点为，
则切线方程，即．
因为，所以，解得，
则，所以．
则，解得．
16.解：因为，
所以所求切线方程为；
因为，
所以，
设过点的切线切曲线于点，
则切线方程为，又其过，
所以，
所以，
所以，
所以，解得或，
所以切线方程为或，
即或．
17.解：Ⅰ函数，
函数的定义域为，
，
由，得；由，得．
的单调增区间为，单调减区间为．
Ⅱ设，
则，
当时，，
在上为增函数，
，
当时，，
即当时，．
18.解：由题意得：上年度的利润为万元；
本年度每辆车的投入成本为；
本年度每辆车的出厂价为；
本年度年销售量为，
因此本年度的利润为
，
故本年度的年利润万元关于的函数关系式为；
本年度的利润为，
则，
由，解得或舍去，
当时，，是增函数；当时，，是减函数，
当时，取极大值万元，
因为在上只有一个极大值，所以它是最大值，
所以当时，本年度的年利润最大，最大利润为万元．
19.解：，，
，解得，
所以，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以在是极值点，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为．
函数的定义域为，
，，
令得或，
当时，，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，
所以，
当时，，与矛盾，
所以，
综上所述，的取值范围为．
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