2024-2025学年黑龙江省双鸭山一中等校高一（下）段考数学试卷（一）（含答案）

2024-2025学年黑龙江省双鸭山一中等校高一（下）段考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列量中是向量的为( )
A. 功 B. 距离 C. 拉力 D. 质量
2.设为虚数单位，若，则( )
A. B. C. D.
3.在复平面内，复数满足，则复数对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
4.设向量，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知，，，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知等边的边长为，点，分别为，的中点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知是所在平面上的一点，、、所对的边的分别为，，，若，则是的( )
A. 重心 B. 垂心 C. 外心 D. 内心
8.在中，内角，，所对边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
10.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
11.在中，内角，，所对的边分别为，，下列各组条件中使得恰有一个解的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数是纯虚数，则实数______．
13.如图，在中，为线段上靠近点的三等分点，若，则 ______．
14.如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 ______
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数．
若复数为纯虚数，求实数的值；
若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知复数是关于的方程的一个根，求实数、的值．
已知平面向量，，满足，求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且．
求角的大小；
若，如图，，是上的动点，且始终等于，记当为何值时，的面积取到最小值，并求出最小值．
18.本小题分
如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为在斜坐标系中，完成如下问题：
Ⅰ若，，求的坐标；
Ⅱ若，，且，求实数的值；
Ⅲ若，，求向量，的夹角的余弦值．
19.本小题分
已知，，函数．
求函数的解析式及对称中心；
若，且，求的值．
在锐角中，角，，分别为，，三边所对的角，若，，求周长的取值范围．
参考答案
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15.解：若复数为纯虚数，则且，解得；
因为复数在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，可得．
所以实数的取值范围为．
16.解：复数是关于的方程的一个根，
，
，
，解得，；
，，
，，
，可得，
解得，
此时，，
设与的夹角为，
，
与夹角的余弦值为．
17.解：在中，
因为，
所以由正弦定理可得：
，
所以，
即，
所以，
即，
因为，
所以，所以，
因为，所以；
因为，
由知，所以，
在中，由正弦定理可得
，
所以，
在中，由正弦定理可得
，所以，
所以
，
因为，所以，
当时，
取得最小值，
此时，即，
所以当时，
的面积取到最小值，最小值为．
18.解：Ⅰ若，，则．
Ⅱ由题意得，
因为，，所以，，
因为，所以，
即，即，解得；
Ⅲ因为，，所以，，
则，
，
，
所以．
19.解：由，，
可得，
令，则，，
故函数的对称中心为，；
由可得，，
化简得，
因为，所以，
所以，
则；
由可得，即，
又，所以，
由正弦定理有，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，则
所以，则，
所以的周长的取值范围为．
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