2024-2025学年广东省广州市思源学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市思源学校高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间中三个不同的点、、，则下列等式成立的是( )
A. B. C. D.
2.在中，，则角的大小为( )
A. B. C. D.
3.下列各命题中，正确的是( )
A. 若，则或
B. 与非零向量共线的单位向量是
C. 长度不相等而方向相反的两个向量一定是平行向量
D. 若，则
4.已知向量，，则与向量共线的向量的坐标可以是( )
A. B. C. D.
5.设非零向量，满足，则( )
A. B. C. D.
6.在非钝角中，内角、、所对的边分别为、、，已知，且，则的形状为( )
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
7.如图，塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
8.在平行四边形中，，分别在边，上，，，与相交于点，记，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
10.的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数可以为( )
A. B. C. D.
11.下列说法正确的是( )
A. 若非零向量，满足，则
B. 若非零向量，满足，则
C. 已知是所在平面内一点，若，则点是的内心
D. 已知向量，，则在上的投影向量是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点，，则与向量方向相同的单位向量为______．
13.已知，是夹角为的两个单位向量，若与，则的值为______．
14.如图，在梯形中，，，，且，若，是线段上的动点，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设是不共线的两个非零向量．
若，求证：，，三点共线；
已知的夹角为，问当为何值时，向量与垂直？
16.本小题分
已知向量，且与的夹角为．
求及；
若与所成的角是锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且向量与平行．
求；
若，，求的面积．
18.本小题分
如图，正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
求的余弦值；
若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
记内角，，的对边分别为，，已知，点在边上，C.
证明：
若，求．
参考答案
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14.
15.解：证明：由，
得，
，
所以，
且有公共点，所以，，三点共线．
由题意可知，，
所以，
所以，
所以．
16.解：因为，且与的夹角为，
所以，解得，
则，
所以；
因为，
所以，
由于与所成的角是锐角，
所以，，
解得且，
所以实数的取值范围为．
17.解：由题意得：，所以，
由正弦定理得：，
又因为，则有，
又，所以．
由余弦定理得：，
又，，，
所以，解得，
则的面积．
18.解：如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则，，，，．
由于就是的夹角．
．
的余弦值为．
设，，
，，
．
，，，，．
，．
由题得．
当点在上时，设，，
，，，；
当点在上时，设，，
，，舍去；
当点在上时，设，，
，，舍去；
当点在上时，设，，
，，，．
综上，存在或．
19.解：证明：由正弦定理知，，
，，
，
，
即，
．
；
由知，
，
，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
，
，
即，
得，
，
，
或，
在中，由余弦定理知，，
当时，舍；
当时，；
综上所述，．
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