2024-2025学年广东省广州市铁一中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市铁一中学高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知是平面内一点，且，则是的( )
A. 垂心 B. 外心 C. 重心 D. 内心
3.在中，，，，则满足条件的的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 无法确定
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，且图象经过定点，若正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.欧拉公式其中为虚数单位，，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数的数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥依据欧拉公式，的共轭复数为( )
A. B. C. D.
7.已知扇形中，点为弧上任意一点不含点，，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数定义域为，，，，且，，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则( )
A. 的虚部是 B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 是纯虚数
10.如图所示为函数的部分图象，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在区间上单调递增
C. 将的图象向右平移个单位可以得到的图象
D. 方程在上有三个根
11.在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则( )
A. B.
C. 面积的最大值为 D. 的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数满足，则的最大值为______．
13.普利寺塔，又名万佛塔，被国务院批准列入第五批全国重点文物保护单位名单如图，某测量小组为测量该塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角为，则该塔的总高度约为______米取
14.已知菱形的边长为，设，若恒成立，则向量在方向上投影向量的模的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，内角，，所对的边分别为，，，且满足：：：：．
求角的值；
若点为的中点，求：的值．
16.本小题分
已知函数，．
求的最小正周期和单调区间；
求在闭区间上的最大值和最小值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且，为边上的点，且平分．
求的大小；
若，，求的周长．
18.本小题分
已知平行四边形中，，，和交于点．
用，表示向量．
若的面积为，的面积为，求的值．
若，，求的余弦值．
19.本小题分
已知函数与，若对任意的，总存在，使得成立，则称是区间上的“函数”：若对任意的，总存在，使得成立，则称是在区间上的“函数”．
判断是否为区间上的“函数”，并说明理由；
若是区间上的“函数”，求实数的值；
若是在区间上的“函数”，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：设，则，，
利用余弦定理可得，
又因为，
所以；
设，则，，
因为点为的中点，所以，
两边平方可得，
即，
所以，
即，
所以：：．
16.解：已知函数，．
则
，
又，
即的最小正周期为，
由，得，
由，得
所以函数单调增区间为，
函数单调减区间为；
由于，
所以，
故，
故函数的最小值为，函数的最大值为．
17.解：，
由正弦定理得．
又，，
，
又，，
，
．
平分，
，
，
，
，
，
即
由余弦定理得，
即
将代入得，
，舍去，
的周长为．
18.解：因为点在上，所以，
又因为，，所以，解得，
所以；
由可得，，则，即，
因为，所以，
即，即，所以，
所以；
因为，
所以，
所以，即，
又因为，
所以平行四边形是正方形，如图所示的建系，
不妨设，则，
所以，，
可得，
因为是向量和的夹角，所以的余弦值是．
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