2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中板桥中学高二（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年北京市顺义区牛栏山一中板桥中学高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.已知数列是等差数列，，，则( )
A. B. C. D.
3.函数的单调递增区间为( )
A. B. C. D.
4.数列中，，，若为等差数列，则( )
A. B. C. D.
5.函数为自然对数的底数在区间上的最小值是( )
A. B. C. D.
6.已知函数的极小值点是，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
7.在等比数列中，已知，，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
8.若，则、、的大小关系是( )
A. B. C. D.
9.函数，的图象大致为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，当时恒成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知数列，，，成等差数列，，，，，成等比数列，则的值为______．
12.函数图像上一点到直线的最短距离是______．
13.若函数的图象在点处的切线方程为，则实数 ．
14.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为 ．
15.表中的数阵为“森德拉姆数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为，则 ，表中的数共出现 次．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列是公差不为的等差数列，，是和的等比中项．
求数列的通项公式；
设数列满足，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在上的最大值和最小值．
18.本小题分
，，三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立已知闯关成功的概率是，，，三人闯关都成功的概率是，，，三人闯关都不成功的概率是．
求，两人各自闯关成功的概率；
求，，三人中恰有两人闯关成功的概率．
19.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为矩形，且，，侧面是等腰三角形，且，侧面底面Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求侧面与底面所成二面角的正弦值．
20.本小题分
已知椭圆：的离心率，且圆过椭圆的上、下顶点．
求椭圆的方程；
若直线的斜率为，且直线与椭圆相交于，两点，点关于原点的对称点为，点是椭圆上一点，若直线与的斜率分别为，．
证明：为定值，并求出此定值．
21.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
是否存在正实数，使得函数在区间上的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
参考答案
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16.解：数列是公差不为的等差数列，，是和的等比中项．
故，整理得，故，解得或舍去，
故．
由得：，
所以．
17.解：由得，，
，，
曲线在点处的切线方程，即；
令可得或，令可得，
函数在上单调递减，
的最大值，最小值．
18.解：记，，三人各自闯关成功分别为事件，，，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
则，，
所以，两人各自闯关成功的概率都是．
设，，三人中恰有两人闯关成功为事件，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为．
19.Ⅰ证明：在中，，，
，，
又侧面底面，侧面底面，
，平面，平面，，
，平面；
Ⅱ解：取的中点为，连接，，所以，
又侧面底面，侧面底面，
平面，过点作，垂足为，连接，
平面，为侧面与底面所成二面角的平面角，
在直角中，，，，
，
即侧面与底面所成二面角的正弦值为．
20.解：由题意可得，，
所以，
所以椭圆的方程为：；
证明：设直线的方程为，设，，由题意，
联立，整理可得，
，即，且，，
所以．
即证得为定值，且定值为．
21.解：由题意可得，
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，，
令，解得或，令，解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
当时，，
令，解得或，令解得，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
存在正实数，使得函数在区间上的最小值为．
由知，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，在区间上单调递减，
所以，解得，
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
所以，解得，与矛盾，舍去，
综上可知，存在正实数，使得函数在区间上的最小值为．
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