2024-2025学年江苏省连云港市灌云县、灌南县部分学校高二（下）学情调研数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省连云港市灌云县、灌南县部分学校高二（下）学情调研数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某影城有一些电影新上映，其中有部科幻片、部文艺片、部喜剧片，小明从中任选部电影观看，不同的选法种数有( )
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量为，直线的方向向量为，若与的夹角为，则等于( )
A. B. C. D.
3.甲、乙等人去听同时举行的个讲座，每人可自由选择听其中一个讲座，则恰好只有甲、乙两人听同一个讲座，其他人听的讲座互不相同的种数为( )
A. B. C. D.
4.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则实数的值为( )
A. B. C. D.
5.数字，，，可以组成不同的三位数共有( )
A. 个 B. C. 个 D. 个
6.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
8.某班举行了由名学生参加的“弘扬中华文化”演讲比赛，决出第名到第名的名次没有并列名次甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”从回答分析，人的名次排列情况可能有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. ，，，是空间中的四点，若，，不能构成空间基底，则，，，共面
B. 已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底
C. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线
D. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线与平面所成角的正弦值为
10.在正方体中，下列结论正确的是( )
A. 四边形的面积为 B. 与的夹角为
C. D.
11.如图，在正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点含边界，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段
C. 存在点，使得平面
D. 若直线与平面所成角的正切值为，那么点的轨迹是以为圆心，半棱长为半径的圆弧
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且，则 ______．
13.将个相同的红球和个相同的黑球放入两个不同的盒子中，每个盒子中至少放个球，则不同的放法有______数字作答．
14.要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术门课各一节的课程表，要求数学课排在前节，英语课不排在第节，则不同的排法种数为______以数字作答
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，若，，，求：
；
16.本小题分
甲、乙、丙、丁、戊五名同学站成一排拍照．
甲、乙两人不相邻的站法共有多少种？
甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有多少种？
17.本小题分
在四棱柱中，底面是菱形，且，．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ若，求平面与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，等腰直角的斜边，为的中点，沿上的高折叠，使得二面角为，如图，为的中点．
证明：．
求二面角的余弦值．
试问在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，已知是底面边长为的正四棱柱，为与的交点，为与的交点．
证明：平面；
若点到平面的距离为，求正四棱柱的高；
若线段上存在点，使得直线与平面所成角为，求线段的取值范围．
参考答案
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15.； ．
16.解根据题意，先排丙、丁、戊，有种站法，
再将甲、乙安排在三人的空位中，有种站法．
故甲、乙两人不相邻的站法共有种．
根据题意，分种情况讨论：
若乙站在排头或排尾，则有种站法；
若甲、乙都不站排头或排尾，则有种站法；
故甲不站排头或排尾，且甲、乙两人相邻的站法共有种．
17.证明：Ⅰ由题可知，，
所以和均为正三角形，
于是，
设与的交点为，则，
又四边形是菱形，所以，
而，、平面，所以平面，
而平面，故平面平面．
解：Ⅱ由Ⅰ得及，易知，
又由，，，得，故，底面是矩形，
于是，又易知，
从而，又，，、底面，
可得底面．
如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
由得
令，得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成角为，由图观察可知为锐角，
则，，
故平面与平面所成角的大小为．
18.解：证明：在图的等腰直角中，为的中点，则，
所以在图中，有，，又，
所以平面，又平面，
所以，
因为平面，所以是二面角的平面角，即，
所以为正三角形，因为为的中点，
所以，由，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
以为原点，垂直于的直线为轴，，所在直线分别为，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，即，令，则，，
所以平面的一个法向量为，
设二面角的平面角为，由图可知，为锐角，
所以，
所以二面角的余弦值为；
假设在线段上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
由可得，，，
设，则，，
依题意可得，
解得：舍去，
所以存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时．
19.解：证明：连接，
因为是底面边长为的正四棱柱，
所以，，
故四边形为平行四边形，则，
又为与的交点，为与的交点，
所以，且，
故四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，则，
设平面的一个法向量为，，，
则，则，
令，则，故，
点到平面的距离为：，
解得，
故正四棱柱的高为；
设，则，
由知平面的一个法向量为，
设，，，
则，
化简得在上有解，
当时，方程为，解得，不合要求，
当时，，
故方程的根为，
故只需，
解得或，
综上，或，
故线段的取值范围为．
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