2024-2025学年福建省厦门市松柏中学高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年福建省厦门市松柏中学高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，、、的对边分别为、、，若，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知在矩形中，，线段，交于点，则( )
A. B. C. D.
5.已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.在中，内角，，的对边分别为，，，，，，为边上一点，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，的对边分别为，，，若，则为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
8.如图，半圆的直径，为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.的内角、、的对边分别为、、，，则可以为( )
A. B. C. D.
10.如图，点，是线段的三等分点，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.在中，，周长为，面积为，则( )
A. 为钝角三角形 B.
C. D. 边上的高为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，，则 ______．
13.如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，，与的夹角为，则的大小为______．
14.已知在中，角，，所对的边分别为，，，，是的中点，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共4小题，共47分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，是同一平面内的三个向量，其中．
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角．
16.本小题分
设的内角、、所对的边分别为、、，且，．
当时，求的值；
当的面积为时，求的值．
17.本小题分
如图，圆的半径为，其中，为圆上两点．
若，当为何值时，与垂直？
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，求最小值．
18.本小题分
在中，角，，所对边分别为，，．
已知，，．
求；
若的平分线交于点，求线段的长；
若是锐角三角形，为中所求，为的垂心，且，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：设，则由，可得，由，可得，
联立，解得或，
或；
与垂直，
，即，
又，
，
，
又，
与的夹角．
16.解：，．
由正弦定理得．
．
的面积，
．
由余弦定理，
得，即．
，，
．
17.解：如图，圆的半径为，其中，为圆上两点，
因为，，
在中，由余弦定理得，
即，所以，
若与垂直，则，
所以，
根据平面向量的数量积公式可得，
解得，即时，与垂直；
若为的重心，直线过点交边于点，交边于点，且，，
因为为的重心，所以，
又因为，，所以，
由于，，三点共线，所以存在实数使得，所以，
化简为，所以，所以，
显然，，根据基本不等式可得，
当且仅当时，即时，取最值，
则的最小值为．
18.解：，
，，
，
由正弦定理得，即，
由余弦定理得，
，；
，，，
即，解得，设边上的角平分线长为，
则，
即，解得，即边上的角平分线长为；
如图，延长交于，延长交于，
设，，，
在中，，
在中，，，，
在中，，
同理可得在中，，
，
，，，
，即的取值范围为．
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