2024-2025学年广东省广雅中学等校高二（下）联考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广雅中学等校高二（下）3月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知首项为的数列满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：恰好经过圆：的圆心，则的准线方程为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知是函数的极小值点，则( )
A. B. C. D. 或
7.设等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
8.棱长为的正方体中，为平面上的一动点包含边界，则周长的最小值为附：平面的截距式方程为：，其中，，分别为平面在，，轴上的截距( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则( )
A. 该玩具车位移的最大值为
B. 该玩具车在内的平均速度为
C. 该玩具车在时的瞬时速度为
D. 该玩具车的速度和时间的关系式是
10.记为首项为的数列的前项和，已知，则( )
A. B. C. D.
11.平行六面体的各棱长为，且、、、分别为、、、中点若、、两两垂直，则( )
A. B.
C. D. 四面体的体积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数在上的最大值为______．
13.已知正项等比数列满足，，则 ______．
14.曲线与曲线公切线斜率的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：，直线：．
若与仅有一个交点，求；
设为坐标原点，点满足，且点在直线上，求的取值范围．
16.本小题分
已知数列的前项积为，为公差不为的等差数列，且，，，成等比数列．
求的通项公式；
设，记的前项和为，证明：．
17.本小题分
已知曲线与曲线交于，两点．
求；
求的最小值．
18.本小题分
直椭圆柱体是指上下底面为椭圆，侧面与底面垂直的柱体如图，已知某直椭圆柱体的底面椭圆离心率为，高为椭圆短轴长的一半，上底面椭圆的长轴为，下底面椭圆的长轴为，点为上一点，过点作直线交椭圆于，两点，设线段与线段的长度之比为．
当点为底面椭圆的焦点时，求的值；
当，时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知双曲线的左顶点为，且过点的右支上有三点，，，满足，．
求的方程；
求的面积；
求四边形面积的最小值．
参考答案
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15.解：圆：，可得圆的圆心，半径，
因与仅有一个交点，则圆心到直线的距离，解得．
设点，由，得，
化简得，
又点在直线上，则直线与圆存在公共点，
则，解得，
故的取值范围为．
16.解：设等差数列的公差为，，
因为，，成等比数列，所以，
所以，解得，因为，所以，即，
所以，
当时，，当时上式成立，
所以；
证明：，
则．
17.解：因为曲线与交于两点，
所以，化简得，
所以，
因为交点为，，所以或，
所以；
因为，所以，
设，所以，
当，，单调递减；当，，单调递增；
所以，所以．
18.解：令椭圆半焦距为，由椭圆离心率为，得该椭圆的长半轴长，短半轴长，
点为底面椭圆的焦点，则，，则，
或，，则，
所以的值是或．
由知底面椭圆对应的标准方程为，设，由，
得，解得，，由，
得直线，与椭圆方程联立，解得，则，
由，平面平面，平面平面，平面，
得平面，则点，关于平面对称，过作于，连接，
于是≌，，即，是二面角的平面角，
连接，由平面，平面，得，，
而，则，，
而，则，，
，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：因为双曲线的左顶点为，
且过点，
所以，得，
解得，
所以双曲线的方程为．
设，，，其中，且，
因为，所以直线的斜率为，方程为，
与双曲线：联立，
解得，
同理可知直线的方程为，
与双曲线：联立，
解得，
则中点为，
故直线的方程为，
由，
即，
则点到直线的距离，
而，
故．
设坐标原点，为弦的中点，
则由知，
故为线段中点，
则点到直线的距离等于点，到直线距离和的一半，
又，
由几何关系与面积公式可得，，
同理，由为中点，
可得，
所以，
因此，四边形的面积，
下面求的最小值，
由直线的方程为，
故点到直线的距离，而是定值，
所以取最小值，当且仅当取到最小值，
记，与：联立得，
关于的二次方程，
设，
函数开口向上，对称轴为，
由点在双曲线右支上，故方程在内有解，
故．
解得，或，
时，且，
故方程在内无解，在不满足题意；
当时，，则方程在内恒有解，
综上，要使关于的二次方程在内有解，
则，且当时，等号成立，
所以当时，四边形面积取得最小值．
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