2024-2025学年陕西省西安市西安八十三中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省西安八十三中高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的极大值点是( )
A. B. C. D.
2.设函数，则曲线在处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
3.回文联是我国对联中的一种用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为：“回文数”如，，等，那么用数字，，，，，，，可以组成位“回文数”的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4.已知函数在定义域上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.当时，设函数存在导数，且满足，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，有个实数解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若直线与函数和的图象分别相切于点，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 为奇函数
B. 的单调递增区间为
C. 的极小值为
D. 若关于的方程恰有个不等的实根，则的取值范围为
10.给出定义：若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数，记若在上恒成立，则称在上是“下凸函数”下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列说法正确的有( )
A. 的零点个数为 B. 的极值点个数为
C. 若，则 D. 轴为曲线的切线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.函数的单调递减区间为______．
13.乙巳蛇年，古城榆林燃动全国秧歌热潮，国内外共支队伍汇聚榆林，舞动非遗年味现有名国际友人，每人从俄罗斯、保加利亚、榆林市直教育系统的三支秧歌队中选择观看一支，则不同的观看方式有______用数字作答
14.在边长为的长方形铁片的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起如图，做成一个无盖的长方体箱子，则箱子容积的最大值为______．
15.已知函数，则的最小值是 ．
四、解答题：本题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数在处取得极大值为．
求，的值；
求函数在区间上的最大值．
17.本小题分
已知为等差数列，前项和为，是首项为的等比数列，且公比大于，，，．
Ⅰ求和的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和
18.本小题分
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为万元．该建筑物每年的能源消耗费用单位：万元与隔热层厚度单位：满足关系：，若不建隔热层，每年能源消耗费用为万元．设为隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和．
Ⅰ求的值及的表达式．
Ⅱ隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．
19.本小题分
在四棱锥中，点是棱上一点，，，，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
20.本小题分
已知函数，其中．
若函数的最小值为，求的值；
若存在，且，使得，求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
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8.
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10.
11.
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13.
14.
15.
16.解：，
因为在处取得极大值为，
则，
即，解得，，
经检验，上述结果满足题意，
由得，，
令，得；令，得或，
在上的单调递减区间是，单调递增区间为．
，函数在区间上的最大值为．
17.解：Ⅰ设等差数列的公差为，等比数列的公比为．
由已知，得，而，
所以，
又因为，解得，
所以．
由，可得，
由，可得，
联立，解得，，
由此可得．
所以的通项公式为，的通项公式为；
Ⅱ设数列的前项和为，由，
有，
，
上述两式相减，得
，
得，
所以数列的前项和为．
18.解：Ⅰ设隔热层厚度为，由题设，每年能源消耗费用为．
再由，得，
因此．
而建造费用为，
最后得隔热层建造费用与年的能源消耗费用之和为
Ⅱ，令，即．
解得，舍去．
当时，，当时，，故是的最小值点，对应的最小值为．
当隔热层修建厚时，总费用达到最小值为万元．
19.证明：取的中点，连接，，，
因为，，，所以，
所以，，
又，所以平面，从而，
因为，，所以平面．
解：因为平面，所以，，又，
所以，
因为，所以，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
因为，所以，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，则，，所以，
因为，，所以平面，所以平面的一个法向量为，
所以，，即二面角的正弦值为．
20.解：函数定义域为，
，
若，则，在上单调递减，无最小值，
若，由得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
所以的最小值，极小值为，
由，得，
设，则，
所以为上的增函数，且，解得，
综上所述，．
由，得，
即，
将代入得，
得，
得，
令，，，
转化为函数在区间上有零点，
，其中，
函数的对称轴方程为，
若，则恒成立，在区间为减函数，
又，有，
所以在区间无零点，
若，则有两个不等正实数根和，设，由，且，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
又，得，
下面证明函数在减区间上存在零点，考虑中含参数，
取，则，
时，，则，
令，
则，
令，
时，，
所以函数在时为减函数，
因为，
所以恒成立，
为上的减函数，
所以，
又，
所以，
所以函数在减区间上存在零点，
综上所述，，
所以的取值范围为．
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