2024-2025学年湖北省荆州市公安三中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年湖北省荆州市公安三中高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，且为第二象限角，则( )
A. B. C. D.
2.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示用锯去锯这木材，若，，则图中弧与弦围成的弓形的面积为( )
A. B. C. D.
3.已知，且，若，，则( )
A. B. C. D.
4.设，，，则有( )
A. B. C. D.
5.已知，，则的值是( )
A. B. C. D.
6.在直角坐标系中，设角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，将角的终边逆时针旋转，与单位圆交点的纵坐标为，则( )
A. B. C. D.
7.设函数，若的图象经过点，且在上恰有个零点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数恰有两个对称中心在区间上，且，则
的所有可能取值之和是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式中，计算结果为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
11.已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则( )
A. 的周期为
B.
C. 的所有零点之和为
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角为第二象限角，且满足，则的值为______．
13.已知函数，则函数的值域为______．
14.设函数，若恒成立，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
化简；
若，且满足，求的值．
16.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求函数的最小正周期及单调递增区间：
Ⅱ若为锐角且，满足，求的值．
17.本小题分
已知函数，．
求函数的最小正周期和单调递减区间；
求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数．
求和实数的值；
若满足，求实数的取值范围；
若，问是否存在实数，使得对定义域内的一切，都有恒成立？
19.本小题分
已知函数，其中为常数．
当，时，若，求的值；
设函数在上有两个零点，，
求的取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：由题意可得；
，
所以，
所以，，
所以．
16.解：Ⅰ，
，
，
，
故最小正周期，
令，，
解得，
故函数的单调递增区间，；
Ⅱ由Ⅰ得
，
因为为锐角，
所以，，
因为，
所以，
．
17.
18.解：依题意，，
又是上的奇函数，则，
即，
即，
即，
整理得，于是，而，所以；
由知，，
显然函数在上单调递减，
由奇函数性质及，得，
当时，函数在上单调递减，则在上单调递增，
不等式化为，解得，
当时，函数在上单调递增，则在上单调递减，
由奇函数性质及，得，
不等式化为，解得，
所以当时，；
当时，；
假定存在实数，对定义域内的一切，都有恒成立，
即恒成立，
当时，由知函数在上单调递增，
不等式化为，整理得，
于是有对任意恒成立，则，
当时，，
因此，
有对任意恒成立，
设，
当时，函数的图象开口向上，对称轴，
当，即时，必有，
则，
当，即时，在上恒成立，则，
当，即时，在上恒成立，
则，
当时，，不沸足在上恒成立，
综上得，，
所以存在，使得对定义域内的一切，都有成立．
19.解：因为，，
当时，，而，
或舍，，
所以，的取值为．
令，因为，所以，则，
则，，
因为在上单调递增，
所以关于的方程在上有两个不相等实数根，
所以，
解得，即的取值范围为．
证明：令，，则，为关于的方程的两根，
所以，，
所以，
所以，即，
，由得，
，又，，
由于，，
，
又在上单调递增，所以，
即．
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