2024-2025学年广东省深圳市宝安第一外国语学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市宝安第一外国语学校高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的实部是( )
A. B. C. D.
2.复数在复平面内对应的点所在的象限为( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，，，则( )
A. B. C. D.
4.若向量，满足，且，则向量与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.如图，一艘船航行到点处时，测得灯塔在其北偏西的方向，随后该船以海里小时的速度，往正北方向航行两小时后到达点，测得灯塔在其南偏西的方向，此时船与灯塔间的距离为( )
A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里
6.中，若，且，那么一定是( )
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形
7.已知，，若向量的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.在中，，的角平分线交边于点，的面积是的面积的倍，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于平面向量的说法正确的是( )
A. 已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得
B. 在四边形中，，，，则四边形为平行四边形
C. 若且，则
D. 若点为的重心，则
10.在中，角，，的对边分别是，，，下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，，则有两解
C. 若，则为锐角三角形
D. 若，则为等腰三角形或直角三角形
11.已知复数，，下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为圆
D. 若是关于的方程的一个根，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则的共轭复数 ______．
13.如图，在平行四边形中，点在边上，点在边上，且，，与相交于点，若，则实数 ______．
14.克罗狄斯托勒密约年是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理定理内容如下：任意一凸四边形，两组对边乘积的和不小于两对角线的乘积，当且仅当四点共圆时，等号成立已知在凸四边形中，，，，，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知复数，为虚数单位．
若，是纯虚数，求的值；
若，求实数，的值．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的四等分点设，．
用，表示，；
若，，，求与的夹角的余弦值．
17.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，的面积为，求的周长．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，为线段的中点，．
若，求；
若，，求的最大值．
19.本小题分
对任意两个非零向量，定义新运算：．
若向量，求的值；
若非零向量满足，且，求的取值范围；
已知非零向量满足，向量的夹角，且和都是集合中的元素，求的取值集合．
参考答案
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15.解：时，复数，，
所以，
令，解得，所以，
所以，
所以；
若，则，
所以，
解得，．
16.解：因为点是的中点，，
所以，
因为平行四边形中，是的四等分点，且，
所以，
因为，，，所以，
所以，
，
，
所以与的夹角的余弦值为．
17.解：已知，
代入正弦定理得，
即，又，则．
由于，则，
的面积为，则，所以．
由已知及余弦定理得，所以，
从而，，
所以的周长为．
18.解：连接在中，，
，．
，，．
在中，，，
，为线段的中点，．
在中，．
设．
在中，由正弦定理得，
，
在中，由余弦定理知
，其中．
当时，，即．
故AE的最大值为．
19.解：由新定义知，，，
，，所以，，
所以，，
所以；
由，且，得，
所以，
所以，
所以的取值范围是；
因为，向量的夹角，
所以，，
即，；
因为，所以，，所以；
因为和都是集合中的元素，
所以，，，，；，，，，；
所以的取值集合为．
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