2024-2025学年广东省广州二中南沙天元学校高二（下）月考数学试卷（一）（3月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州二中南沙天元学校高二（下）3月月考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共9小题，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.质点按规律做直线运动位移单位：，时间单位：，则质点在时的瞬时速度是( )
A. B. C. D.
2.已知数列的通项为，若，，成等比数列，则( )
A. B. C. D.
3.下列求导不正确的是( )
A. B.
C. D.
4.已知等比数列的各项均为正数，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
6.向高为的容器中注水，且任意相等的时间间隔内所注入的水体积相等，若容器内水面的高度与注水时间的函数关系的图象如图所示，则该容器的形状可能是( )
A. B. C. D.
7.在数列中，，，记为数列的前项和，则( )
A. B. C. D.
8.对于实数，表示不超过的最大整数，如，已知数列的通项公式，前项和为，则( )
A. B. C. D.
9.某物体的运动方程为，若位移单位：，时间单位：，则下列说法中正确的是( )
A. 是物体从开始到这段时间内的平均速度
B. 是物体从到这段时间内的速度
C. 是物体在这一时刻的瞬时速度
D. 是物体从到这段时间内的平均速度
二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.已知数列满足，则( )
A. B. 的前项和为
C. 的前项和为 D. 的前项和为
11.等差数列的前项和为，若，公差，则( )
A. 若，则 B. 若，则是中最大的项
C. 若，则 D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列的前项和为，已知，则 ______．
13.已知椭圆的右焦点为，左焦点为，若椭圆上存在一点，满足线段相切于椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为______．
14.如图，平面平面，正方形的边长为，四边形为矩形，，点在上，若三棱锥的四个顶点都在半径为的球的球面上，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
求的值；
设，求过点的切线方程．
16.本小题分
已知数列满足，
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前项和．
17.本小题分
记数列的前项和为，，．
求的通项公式；
设，记的前项和为若对于且恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列的前项和为，是与的等差中项；数列中，，，
Ⅰ求数列与的通项公式；
Ⅱ若，证明：；
Ⅲ设，求．
19.本小题分
已知双曲线过点，离心率为，左、右焦点分别为，，点为直线：上且不在轴上的一点，直线和与双曲线的交点分别为，和，，为坐标原点．
求双曲线的标准方程；
设直线，的斜率分别为，．
证明：为定值；
直线上是否存在点，使得，，，满足？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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13.
14.或
15.解：，
则，
，
故，解得；
，
则，设切点为
则有，代入点可得
故过点的切线方程为或．
16.解：因为，，
所以，，，
所以，，
，
所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，
所以；
由可得，，
则，，
当时，也适合上式，
所以，，
所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则的前项和为：
．
17.解：已知数列的前项和为，，，
则，
由可得，
即，，
又，
即，
即，
即，
即数列是以为首项，为公比的等比数列，
即；
已知，
则，
又的前项和为，
则，
则，
由可得：
，
即，
又对于且恒成立，
则对于恒成立，
即对于恒成立，
设，，
则，
当且仅当时取等号，
即，
又，
即数列的最小值为，
即，
即实数的取值范围为．
18.Ⅰ解：是与的等差中项，
，
当时，，；
当时，，即，
综上，数列是以为首项，为公比的等比数列，；
数列中，，，
1

Ⅱ，
．
；
Ⅲ，
即，
，
，
．
19.解：因为双曲线过点，离心率为，
所以，所以，
因此．
证明：因为，，，的斜率分别是，，且点不在轴上．
因此，，．
又因为、的方程分别为，，
联立方程解得，因此，
因为在上，因此，
所以，因此为定值．
设，，，，
联立和双曲线得，
可得，根据根的判别式，
所以根据韦达定理可得，，
因此
，同理可得：，
所以由得或，
当时，由的结论可得或舍去，
此时直线的方程为与联立得，，
所以；
当时，由的结论可得，解得点的坐标为．
经检验，两种情况均符合要求．
综上所述，满足条件的点的坐标分别为，．
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