2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二（下）第一次段考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省深圳市龙华中学高二（下）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点和点的直线倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知非零向量和互相垂直，则的值是( )
A. B. C. D.
3.若直线：与直线：平行，则( )
A. B. C. D.
4.已知点的坐标为，动点满足，为坐标原点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
5.记等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
7.下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
8.用、、、、这个数字，组成无重复数字的五位数，其中偶数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，若为的离心率，则( )
A. B. 的虚轴长为
C. D. 的一条渐近线的斜率为
10.函数，则下列说法正确的是( )
A. 当时，的极小值为
B. 为奇函数
C. 当时，一定有三个零点
D. 若直线与有三个交点，，，则
11.在二项式的展开式中，前项的系数成等差数列，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 展开式中所有奇数项的二项式系数和为
C. 常数项为
D. 展开式中系数最大项为第项和第项
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项积为，若，则 ______．
13.设函数的导数为，若，则 ______．
14.某环保局派遣包括张三、李四、王五在内的名工作人员到，，三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣人，因工作需要，张三、李四、王五人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有______种结果用数字表示
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在三棱锥中，平面，，、、分别是棱、、的中点，，．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
16.本小题分
已知椭圆的下焦点为，其离心率为．
求椭圆的标准方程；
过的直线与椭圆交于，两点直线与坐标轴不垂直，过，作轴的垂线，垂足分别为，，若直线与交于点，证明：点的纵坐标为定值．
17.本小题分
已知数列满足，，
请证明是等比数列，并求数列的通项公式；
令，求数列前项的和．
18.本小题分
名男生与名女生，按照下列不同的要求，求不同的方案的方法总数，按要求列出式子，再计算结果，用数字作答．
从中选出名男生和名女生排成一列；
全体站成一排，男生互不相邻；
全体站成一排，甲不站排头，也不站排尾；
全体站成一排，甲、乙必须站在一起；
19.本小题分
设函数，其中为实数．
当时，求的单调区间；
若函数在定义域内有两个不同的极值点，求的取值范围；
设的两个不同的极值点为，，证明：．
参考答案
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15.解：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由，，得，，，，，，，，，，
设面的法向量为．
则取，则，
设与平面所成角为，则．
，，
点到平面的距离．
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19.解：的定义域为，
当时，，
令，得或，
时，，时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
对求导得，
由在上有两个不同的极值点，，
故有两个不同的正根，则有，解得，
所以的范围为．
证明：由可知：因为
，
设，，
则，故在上单调递增，
又，
故．
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