2024-2025学年安徽省合肥市第九中学高一下学期第一次教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年安徽省合肥市第九中学高一下学期第一次教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则它的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，，若与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
4.在水流速度的自西向东的河中，如果要使船以的速度从河的南岸垂直到达北岸，则船出发时行驶速度的方向和大小为( )
A. 北偏西， B. 北偏西，
C. 北偏东， D. 北偏东，
5.已知矩形中，为的中点，则的值为( )
A. B. C. D.
6.已知在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角的对边分别为，若的平分线的长为，则边上的高线的长等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列叙述中错误的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 对任一向量，是一个单位向量
10.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若的值为，则
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
11.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且则下列说法正确的是( )
A. 若，则为的重心
B. 若，则
C. 若，则
D. 若为的内心，且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则 ．
13.已知向量，则在方向上的投影向量为 ．
14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元年，他为周髀算经一书作序时，介绍了勾股圆方图，亦称赵爽弦图以弦为边长得到的正方形由个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成类比赵爽弦图，可构造如图所示的图形，它是由个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，设若，则的值为
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
求与的坐标；
求向量，的夹角的余弦值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，若，，
解这个三角形；
求的面积．
17.本小题分
如图，在中，，，与相交于点设，．

试用基底表示向量；
在线段上取一点，在线段上取一点，使过点，若，，求的值．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
若，求周长的取值范围．
19.本小题分
目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座基站，已知基站高，该同学眼高眼睛到地面的距离，该同学在初始位置处眼睛所在位置测得基站底部的仰角为，测得基站顶端的仰角为．

求出山高结果保留整数；
如图，当该同学面向基站前行时保持在同一铅垂面内，记该同学所在位置处眼睛所在位置到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为试问当多大时，观测基站的视角最大
参考数据：，，，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：向量，，
，；
向量，，
，，，
，．
16.解：由正弦定理可得，
因为，则或，
所以当时，，
因为，所以，
根据余弦定理可得，即，
解得或，又，
所以，
当时，，
因为，所以，
根据余弦定理可得，即，
解得或，又，
所以，
故该三角形，，或，，．
因为，，
所以当时，
，
当时，．

17.解：因为，，三点共线，，，三点共线，所以设，，
则，，
所以，解得，所以；
因为，，三点共线，所以设，
则，由知，
所以，所以．

18.解：因为，由正弦定理可得，
又，
所以，
因为，则，所以，
因为，所以，
设的外接圆半径为，
因为，，
，
因为锐角，．
，
周长．

19.解：由题知．
在中，因为，
所以由正弦定理得，
即，
因此．
在中，因为，即，
所以，
因此山高
由题知，，
在中，，
在中，．
又因为，
所以

，
当且仅当即时，取等号，即取得最大值，
而是锐角，因此时视角最大．
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