2024-2025学年山东省泰安第一中学新校高一下学期3月学情检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省泰安第一中学新校高一下学期3月学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则复数的共轭复数为 ．
A. B. C. D.
2.已知，，，则与的夹角为 ．
A. B. C. D.
3.在中，为边上的中线，若，则( )
A. B. C. D.
4.在中，角所对的边分别为，是边的中点，，若，则边 ．
A. B. C. D.
5.某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠穆朗玛峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度．该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆在水平面垂直于水平面，水平面上两点的距离为，测得，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，则该旗杆的高度为单位：( )
A. B. C. D.
6.是所在平面内一定点，是平面内一动点，若，，则点为的 ．
A. 重心 B. 内心 C. 垂心 D. 外心
7.如图，在平面四边形中，若点为边上的动点不与、重合，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.在中，角所对的边分别为，，，且，，则的最小值为 ．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，则下列说法中正确的是 ．
A. 复数的虚部为
B.
C.
D. 复数满足，则的最大值为
10.在中，角所对的边分别为，设的面积为，下列命题中正确的是 ．
A. 若，则是等边三角形
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则是直角三角形
D. 若，且，则是等边三角形
11.已知的外接圆的圆心为，角，下列说法正确的是 ．
A. 若，则
B. 若点是内的动点不含边界，且，则实数的取值范围是
C. 若点是内的动点不含边界，且，则
D. 若，，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量在方向上的投影向量是是与同方向的单位向量，，则 ．
13.在中，角所对的边分别为，，，，若三角形有两解，则实数的取值范围是 ．
14.在中，角所对的边分别为，已知的外接圆的半径为，且则的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若向量与共线，求实数的值；
若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
16.本小题分
设复数．
在复平面内，复数对应的点在实轴上，求；
若是纯虚数，且是方程的根，求实数的值．
17.本小题分
的内角的对边分别为，已知，．
求；
设为边上一点，且，求的面积．
18.本小题分
如图，在梯形中，已知，，，点、分别在直线和上，且，，连接交于点．
设，用和表示，并求实数的值；
若，求实数的值；
求的取值范围．
19.本小题分
著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角的对边分别为，且若是的“费马点”，．
求角；
若为锐角三角形，求的周长的取值范围；
若，且．
求的周长
求的值．
参考答案
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15.由题意可得，，
若向量与共线，可得，
解得．
若向量与的夹角为锐角可得且与不共线，
即可得
解得且，
即实数的取值范围为且

16.因为，则，
若复数对应的点在实轴上，则，
可得，即，
所以．
因为，
若是纯虚数，则，解得，
若是方程的根，则也是该方程的根，
由韦达定理可得，即，所以．

17.因为，所以，所以在中，由余弦定理得，
即，解得舍去，．
因为，由余弦定理得，又，即是直角三角形，所以，
则，又，则，所以的面积为．

18.如图，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则，
可得，
则，可得，
设，
可得，解得
所以，
若，
且三点共线，则，
可得，解得．
因为，设，
则，
若，则，解得．
因为，
则，可得，
当且仅当时，等号成立，
所以的取值范围为．

19.由已知，得，
由正弦定理，得，
即，
即，
由于，所以，所以．
由正弦定理可得，
则，
可得的周长
，
又因为为锐角三角形，则，解得，
则，可得，
所以的周长的取值范围为．
设，
则．
所以，由得：
，即，
由余弦定理得，，
即，即，
又，联立解得．
所以的周长为；
由在中，由余弦定理得
联立求解可得，
则，
即，所以．

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