2．库仑定律
[学习任务] 1．知道点电荷模型的物理意义及建立点电荷模型的条件。
2．理解库仑定律的内容、公式，会用库仑定律进行相关的计算。
3．会利用力的合成知识解决多个电荷间的相互作用问题。
4．了解库仑扭秤实验的设计思路与实验方法，体会研究电荷相互作用的物理思想方法。
[问题初探] 问题1．电荷量很小的带电体能看成点电荷吗？
问题2．两点电荷间的库仑力的大小和哪些因素有关？
问题3．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力吗？
[提示] 问题1．不一定，只有带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计时，才能看成点电荷。
问题2．库仑力的大小与它们的电荷量的乘积及它们的距离有关。
问题3．两个点电荷之间的静电力遵守牛顿第三定律，始终等大反向。
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
电荷之间的作用力
[链接教材] 教材中用如图所示的装置，探究库仑力的大小与哪些因素有关的过程中，使用了什么思想方法？
提示：控制变量法。
1．库仑定律
(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。
(2)公式：F＝k，其中k＝9.0×109N·m2/C2，叫作静电力常量。
(3)适用条件：①在真空中；②静止点电荷。
2．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。
让橡胶棒、玻璃棒摩擦起电，再分别靠近易拉罐，易拉罐被橡胶棒、玻璃棒吸引而滚动起来，说明电荷间有相互作用力，设计如下实验：
如图所示，O是一带正电的物体，把系在丝线上的带正电的小球先后挂在P1、P2、P3等位置。利用此装置探究影响电荷间相互作用力的因素。
问题1．偏角随带电物体与小球间距离的增大如何变化？
提示：逐渐减小。
问题2．在本实验中，电荷间相互作用力的大小与丝线偏离竖直方向的夹角大小有什么关系？
提示：由平衡条件可得小球所受的电荷之间的作用力F＝mg tan α，丝线偏离竖直方向的夹角越大，说明二者的相互作用力越大，反之则越小。
问题3．从计算结果看，电荷之间的作用力F与带电体和小球间的距离有什么关系？
提示：带电体和小球间的距离越远，偏角越小，表示电荷之间的作用力越小。
1．对点电荷的理解
(1)理想化模型：点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
(2)点电荷的条件：带电体能否看成点电荷视具体问题而定，不能单凭它的大小和形状下结论。如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略，此时带电体就可以看成点电荷。
(3)点电荷不同于元电荷，元电荷是最小的电荷量，而点电荷是实际带电体的抽象化模型，现实中并不存在。
2．库仑定律
(1)大小计算
利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。
(2)方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
(3)两个电荷之间的库仑力同样遵守牛顿第三定律，与两个电荷的性质、带电荷量多少均无关，即作用力与反作用力总是等大反向。
【典例1】 (对点电荷的理解)(多选)下列关于点电荷的说法正确的是( )
A．两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
AD [无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，A正确，C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于其本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，B错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，D正确。]
【典例2】 (对库仑定律的理解)关于库仑定律，下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于点电荷，点电荷其实就是体积最小的带电体
B．根据F＝k，当两个带电体间的距离趋近于零时，静电力将趋向于无穷大
C．所带电荷量分别为Q和3Q的点电荷A、B相互作用时，B受到的静电力是A受到的静电力的3倍
D．库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷
D [如果在研究的问题中，带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计，即可将它看作是一个带电的点，则这样的带电体就是点电荷，故A错误；两个带电体间的距离趋近于零时，带电体已经不能看成点电荷了，F＝k已经不能适用，故B错误；根据牛顿第三定律得，B受到的静电力与A受到的静电力大小相等，故C错误；库仑定律的适用条件是真空和静止点电荷，故D正确。]
【典例3】 (库仑定律公式的应用)甲、乙两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为( )
A．F B．F C．F D．12F
C [由库仑定律知F＝k，当两小球接触后，电荷量先中和再平分，甲、乙带电荷量分别为Q、Q，故后来库仑力F′＝k＝k，由以上两式解得F′＝F，C正确。]
[母题变式]
(1)若典例3中甲、乙两金属球带电荷量为＋Q和＋3Q，结果如何？
(2)若典例3中用第三个不带电的相同的金属小球C先与甲接触，再与乙接触，然后将甲、乙两球间距变为，结果又如何？
[解析] (1)当两球接触后，甲、乙带电荷量分别为＋2Q、＋2Q，接触后的库仑力F1＝k＝k·，故F1＝F。
(2)当用第三个不带电的相同金属球C，先后与甲、乙接触后，甲带电荷量为－，乙带电荷量为＋，接触后的库仑力F2＝k·＝k＝F。
[答案] (1)F (2)F
库仑的实验
1．实验装置：库仑扭秤(如图所示)。
2．实验技巧
(1)将微小量放大——通过悬丝扭转的角度比较库仑力的大小。
(2)电荷量的确定——库仑运用把一个带电金属小球与另一个不带电的完全相同的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半的方法，把带电小球的电荷量q分为，…，巧妙地解决了当时小球带电荷量不能测量的问题。
3．实验方法：控制变量法、微小量放大法。
4．实验步骤
(1)保持A和C的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r之间的关系。
(2)保持A和C之间的距离不变，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与电荷量q之间的关系。
5．实验结论
(1)两小球上的电荷量不变时，力F与距离r的二次方成反比，F∝。
(2)两小球间的距离不变时，力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，F∝q1q2。
(3)综合结论：F∝或F＝k。
【典例4】 (认识扭秤实验装置)如图所示是研究“点电荷之间相互作用规律”的扭秤装置( )
A．实验中B球也需带电
B．实验中库仑力大小是通过传感器获得的
C．该装置可探究出库仑力与电荷量的乘积成正比
D．该装置可探究出库仑力F与距离r成反比
C [实验是要研究A球与C球间的库仑力，故B球不需带电，A错误；实验中库仑力大小是通过悬丝扭转的角度获得的，B错误；该装置可探究出库仑力与电荷量的乘积成正比，C正确；该装置可探究出库仑力F与距离r的平方成反比，D错误。]
静电力计算
1．两个电荷量为1 C的点电荷在真空中相距1 m时，相互作用力为9.0×109 N。
2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为r的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k。
问题1．C受到几个电荷的作用力？
提示：两个。
问题2．A对C的作用力是否会受到B的影响？为什么？
提示：不会，两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。
问题3．如何求C的合力？
提示：平行四边形定则。
问题4．当B带负电时，C所受合力是否发生变化？
提示：变化，B对C的作用力方向发生变化。
1．静电力的叠加
(1)两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。
(2)静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。
2．库仑力作用下的平衡问题
(1)库仑力具有力的一切性质，可以与其他力合成、分解，两点电荷间的库仑力是一对作用力和反作用力，遵从牛顿第三定律。
(2)共点力的平衡条件：物体所受外力的合力为零，即F合＝0或。
(3)处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法。
(4)选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用。
【典例5】 (静电力的叠加)如图所示，在光滑绝缘的水平面上，三个静止的带电小球a、b和c分别位于三角形的三个顶点上，已知ab＝l，ca＝cb，∠acb＝120°，a、c带正电，b带负电，三个小球(可视为质点)所带电荷量均为q，静电力常量为k。下列关于小球c所受库仑力的大小和方向描述正确的是( )
A．，方向平行于ab向右
B．，方向平行于ab向右
C．，方向平行于ab向右
D．，方向平行于ab向左
A [由题意，结合几何关系可得ac＝bc＝＝l，小球c受到小球a的库仑力F1＝k，同理小球c受到小球b的库仑力F2＝F1，且两力夹角为60°，如图所示，所以根据力的平行四边形定则，小球c受到小球a、b库仑力的合力F＝2F1cos 30°＝k ，方向平行于ab向右，故A正确，B、C、D错误。
]
【典例6】 (库仑力作用下的平衡问题)如图所示，大小可以忽略不计的带有同种电荷的小球A和B相互排斥，静止时绝缘细线与竖直方向的夹角分别是α和β，且α＜β，两小球在同一水平线上，由此可知( )
A．B球受到的库仑力较大，电荷量较大
B．B球的质量较小
C．B球受到的拉力较大
D．两球接触后，再次处于静止的平衡状态时，悬线的偏角α′、β′不满足α′＜β′
B [两球受到的库仑力等大、反向，A错误；由平衡条件，对两球F库＝mAg tan α＝mBg tan β，由于α＜β，则mA＞mB，B正确；根据F库＝FA sin α＝FB sin β得FA＞FB，C错误；两球接触后，每个小球的电荷量可能都变化，但相互间库仑力仍满足牛顿第三定律，细线倾角关系不变，D错误。]
【典例7】 (同一直线上三个点电荷的平衡问题)如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c，电荷量分别为q1、q2、q3，已知a、b间距离小于b、c间距离，仅在彼此间的静电力作用下，三个点电荷均处于平衡状态，下列说法正确的是( )
A．三个点电荷可能均为正电荷
B．若a为正电荷，则b、c均为负电荷
C．点电荷电荷量的绝对值满足|q1|＜|q3|
D．点电荷电荷量的绝对值满足|q1|＜|q2|
C [以b点电荷为对象，根据受力平衡可知，a对b的库仑力与c对b的库仑力大小相等，方向相反，可知a、c带同种电荷；以c点电荷为对象，根据受力平衡可知，a对c的库仑力与b对c的库仑力大小相等，方向相反，可知a、b带异种电荷；若a为正电荷，则b为负电荷，c为正电荷，故A、B错误；以b点电荷为对象，根据受力平衡可得＝，由于rab＜rbc可得|q1|＜|q3|，故C正确；以c点电荷为对象，根据受力平衡可得＝，由于rac＞rbc，可得|q1|＞|q2|，故D错误。]
三个自由点电荷平衡问题的解题技巧
三个相关点电荷都处于平衡状态，称为三个点电荷平衡问题。此时，三个点电荷中的每一个点电荷受到的其他两点电荷的库仑力必然大小相等、方向相反。该类问题规律总结如下：
(1)三点共线：三个点电荷一定分布在一条直线上。
(2)两同夹异：两侧的点电荷电性相同，中间的点电荷的电性一定与两侧的相反。
(3)两大夹小：中间电荷的电荷量最小。
(4)近小远大：中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
【教用·备选例题】
1．如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a、b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，l为球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么a、b两球之间的万有引力F1与静电力F2为( )
A．F1＝G，F2＝k
B．F1≠G，F2≠k
C．F1≠G，F2＝k
D．F1＝G，F2≠k
D [万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然两球心间的距离l只有其半径r的3倍，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看作质量集中于球心的质点，因此，可以应用万有引力定律；由于a、b两球所带异种电荷相互吸引使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布比较密集，又因两球心间的距离l只有其半径r的3倍，不满足l远大于r的要求，故不能将两带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律求解，D正确。]
2．在光滑绝缘水平面上固定一正电荷，以正电荷为圆心，在半径为r的圆周上均匀分布三个带电荷量为q、均可视为点电荷的负电荷。已知静电力常量为k。若这三个负电荷恰好受力平衡，则正电荷对任意一个负电荷的库仑力大小为( )
A．k B．k
C．k D．k
C [根据题意，三个负电荷分布如图所示
设任意两个负电荷之间的距离为r0，由几何关系可得r0＝2r cos 30°＝r，则任意两个负电荷之间的库仑力大小为F＝k，则任意一个负电荷受到另外两个负电荷的库仑力的合力大小为F合＝2F cos 30°＝，因为三个负电荷受力平衡，则正电荷对任意一个负电荷的库仑力的大小为F正＝，故选C。]
1．下列关于点电荷的说法正确的是( )
A．任何带电球体，都可看成电荷全部集中于球心的点电荷
B．体积很大的带电体一定不能看成是点电荷
C．当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
D．一切带电体都可以看成是点电荷
C [能否把一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否考虑它的体积大小、形状及电荷分布状况，不能以它的体积大小而论，应该根据具体情况而定。若它的体积、形状及电荷分布状况可不予考虑时，就可以将其看成点电荷，带电球体也不是都能看成全部电荷集中于球心的点电荷，故C正确。]
2．真空中有两个静止的半径均为r的金属小球，球心相距4r，带电荷量均为＋q，设两球间相互作用的库仑力为F，则( )
A．F＝k B．FC．F＝k D．F>k
B [当两球心相距为4r时，两球不能看成点电荷，因带同种电荷，导致相互远离的一侧电荷分布比较密集，根据库仑定律F＝k，可知，它们相互作用的库仑力大小F＜k，故B项正确，A、C、D错误。]
3．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电的金属小球B(视为质点)，用长为l的绝缘细线固定在左边一檐角，使其刚好贴着正面绝缘墙壁。在正面墙壁上画好一个量角刻度尺。取一个与小球B完全相同(除电荷量外)的小球A，A连接绝缘细杆，手提绝缘细杆让小球A上下移动至小球A、B在同一水平线上且平衡时，读出小球B偏离竖直方向的夹角θ＝30°。静电力常量为k，重力加速度大小为g，求：
(1)绝缘细线的拉力大小；
(2)小球A所带的电荷量。
[解析] (1)对小球B受力分析有FT＝＝。
(2) 对小球B受力分析有k＝mg tan θ
解得Q＝。
[答案] (1) (2)
回归本节知识，完成以下问题：
1．电荷之间的相互作用力的大小与哪些因素有关呢？
提示：电荷之间的相互作用力的大小与电荷的电荷量、带电体之间的距离有关，距离越大，作用力越小，电荷量越大，作用力越大。
2．运用库仑定律的条件是什么？
提示：真空中静止的点电荷。
3．库仑定律描述的是两个点电荷之间的作用力。如果存在两个以上的点电荷，那么，每个点电荷所受的作用力应该怎样计算？
提示：每个点电荷都要受到其他所有点电荷对它的作用力。两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
课时分层作业(二) 库仑定律
?题组一 电荷之间的作用力
1．下列关于元电荷和点电荷的理解正确的是( )
A．元电荷就是电子
B．元电荷是表示跟电子所带电荷量的绝对值相等的电荷量
C．体积很小的带电体就是点电荷
D．点电荷是一种理想化模型，对于任何带电球体总可把它看作电荷全部集中在球心的点电荷
B [元电荷是表示绝对值最小的电荷量，不是粒子，也没有正负，电子是实实在在的粒子，其所带电荷量的绝对值为一个元电荷，A错误，B正确；当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的大小、形状及电荷的分布状况对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，带电体可被看作点电荷，并不是体积小就可被当作点电荷，C错误；当两个带电球体之间的距离不是很大时，带电球体的电荷分布会发生变化，此时带电球体不能被看作是电荷全部集中在球心的点电荷，D错误。]
2．(多选)关于库仑定律，下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于点电荷，体积很大的带电体都不能看作点电荷
B．根据库仑定律，当两个带电体间的距离r→0时，库仑力将趋向无穷大
C．库仑定律和万有引力定律的表达式很相似，它们都是与距离平方成反比的定律
D．静电力常量k的值为9.0×109 N·m2/C2
CD [库仑定律适用于点电荷，当带电体的形状、大小及电荷的分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作点电荷，与带电体的体积没有必然的联系，故A错误；当两个带电体间的距离r→0时，带电体不能看作点电荷，库仑定律不再适用，故B错误；库仑定律和万有引力定律的表达式分别为F库＝k，F万＝G可知它们都是与距离平方成反比的定律，故C正确；静电力常量k的值为9.0×109 N·m2/C2，故D正确。]
3．如图所示，在水平地面上的箱子内，带异种电荷的小球a、b用绝缘细线分别系于上、下两边，处于静止状态。地面受到的压力为N，球b所受细线的拉力为F。剪断连接球b的细线后，在球b上升过程中地面受到的压力( )
A．小于N B．等于N
C．等于N＋F D．大于N＋F
D [未剪断连接b球的细线时，N＝Ga＋Gb＋G箱，a、b球间的库仑力F库＝Gb＋F。剪断细线后，b球上升，a、b球间的库仑力变大，地面受到的压力N′＝G箱＋Ga＋F′库。由以上三式可得N′＝N＋F－F库＋F′库，所以N′＞N＋F。]
?题组二 库仑的实验
4．利用图所示的扭秤装置研究“点电荷之间的相互作用规律”的科学家是( )
A．伽利略
B．牛顿
C．爱因斯坦
D．库仑
D [伽利略研究了自由落体运动的规律、力与运动的关系等，没有利用扭秤装置研究电荷间的相互作用，故A错误；牛顿发现了万有引力定律、牛顿运动定律等，没有利用扭秤装置研究电荷间的相互作用，故B错误；爱因斯坦提出相对论、光电效应理论等，没有利用扭秤装置研究电荷间的相互作用，故C错误；库仑利用扭秤实验发现点电荷之间的相互作用规律，故D正确。]
5．如图所示是库仑扭秤实验装置，绝缘棒两端分别是A、B小球，在A的不远处放一个跟A相同的金属小球C，下列说法正确的是( )
A．B球起平衡作用，带电荷量与A球相同
B．库仑准确测出了每一个带电小球的电荷量
C．A球与C球之间的作用力与它们之间的距离成反比
D．库仑扭秤能研究微小的库仑力，最主要的物理思想方法是微小量放大法
D [B球使绝缘棒平衡，其本身不带电，故A错误；本实验是为了找到库仑力与距离和电荷量的关系，并不需要测量每一个带电小球的电荷量，而是通过悬丝转过的角度判断库仑力的大小，A与C电性相同，从而得出库仑力与距离和电荷量的关系，而且在库仑的时代并没有电荷量的单位，也无法求出具体的电荷量，故B错误；根据库仑定律，A球与C球之间的作用力与它们之间的距离的平方成反比，故C错误；本实验将库仑力导致的平衡棒的移动通过悬丝扭转放大出来，主要的物理思想方法是微小量放大法，故D正确。]
?题组三 静电力计算
6．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在选项图中，小球M能处于静止状态的是( )
A B C D
B [M受到三个力的作用而处于平衡状态，则绝缘细线的拉力与库仑力的合力必与M的重力大小相等，方向相反，故选项B正确。]
7．如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，点电荷A、B所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力的合力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是( )
A．A带正电，QA∶QB＝1∶8
B．A带负电，QA∶QB＝1∶8
C．A带正电，QA∶QB＝1∶4
D．A带负电，QA∶QB＝1∶4
B [要使C处的正点电荷所受静电力的合力方向平行于AB向左，该正点电荷所受力的情况如图所示，所以A带负电，B带正电。设AC间的距离为L，则BC间的距离为2L，FB sin 30°＝FA，即k·sin 30°＝，解得＝，故选项B正确。
]
8．如图所示，有三个点电荷A、B、C位于一个等边三角形的三个顶点上，已知三角形边长为1 cm，B、C电荷量为qB＝qC＝1×10-6 C，A电荷量为qA＝－2×10-6 C，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，A所受B、C两个电荷的静电力的合力F的大小和方向为( )
A．180 N，沿AB方向
B．180 N，沿AC方向
C．180 N，沿∠BAC的角平分线
D．180 N，沿∠BAC的角平分线
D [B、C电荷对A电荷的库仑力大小相等，故F1＝F2＝＝ N＝180 N，两个静电力夹角为60°，故合力为F′＝2F cos 30°＝2×180 N×＝180 N，方向沿∠BAC的角平分线，故D正确。]
9．航天员在探测某行星时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电荷量为Q，表面无大气。在一实验中，航天员将一带负电q(q Q)的粉尘置于距该星球表面h高处，该粉尘恰好处于悬浮状态；航天员又将此粉尘带到距该星球表面2h处，无初速释放，则此带电粉尘将( )
A．向星球球心方向下落
B．背向星球球心方向飞向太空
C．仍处于悬浮状态
D．沿星球自转的线速度方向飞向太空
C [将一带负电q(q Q)的粉尘置于该星球表面h高处，该粉尘恰好处于悬浮状态，知万有引力与静电力平衡，则＝，航天员又将此粉尘带至距该星球表面2h高处，由于库仑力与万有引力都是与距离的平方成反比，受力平衡与高度无关，仍然处于悬浮状态，故选C。]
10．如图所示，光滑绝缘水平面上有三个完全相同的金属小球A、B、C，A球带电荷量为q(q＞0)，固定在M点；B球带电荷量为－nq，固定在N点。不带电的C球先与A球接触，再与B球接触之后放在P点，恰好能静止不动。若NM＝MP＝r，且小球直径远小于它们之间的距离，则n的取值为( )
A．4 B．4.5
C．5 D．5.5
B [由电荷守恒和电荷分配规律可知，C球与A球接触后，C球与A球的带电荷量均为，C球再与B球接触后，C球与B球的带电荷量均为－。C球处于平衡状态，根据库仑定律结合平衡条件可得k＝k，解得n＝4.5，故选B。]
11．如图所示，质量为m、带正电的小球A通过绝缘轻绳悬挂于O点，O点正下方用绝缘杆固定有一个带正电的小球B，现让不带电的小球C与A接触后离开，则A、B两球间的库仑力及轻绳拉力如何变化( )
A．库仑力大小不变
B．库仑力大小增大
C．拉力大小不变
D．拉力大小减小
C [对A球受力分析，如图所示，力三角形与几何三角形OAB相似，所以有＝＝，即T＝G，F＝G＝k，可得AB3＝，A的电荷量减小，因此AB变小，可知库仑力F变小，拉力T大小不变。
]
12．如图所示，把一电荷量为Q＝－5×10-8 C的小球A用绝缘细绳悬起来，若将电荷量为q＝＋4×10-6 C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距r＝0.3 m时，绳与竖直方向夹角α＝45°，取g＝10 m/s2，k＝9.0×109 N·m2/C2，且A、B两小球均可看成点电荷。求：
(1)A、B两球间的库仑力大小；
(2)A球的质量。
[解析] (1)由库仑定律F库＝k
代入数据可得
F库＝9.0×109× N＝0.02 N。
(2)对A受力分析如图所示
根据平衡条件得T cos α＝mg
T sin α＝F库
代入数据可得m＝＝ kg＝2×10-3kg。
[答案] (1)0.02 N (2)2×10-3kg
13．质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电力常量为k，下列说法正确的是( )
A．B球的电荷量可能为＋2q
B．C球的电荷量为－q
C．三个小球一起运动的加速度为
D．恒力F的大小为
C [由于三个小球相对静止且细线无拉力，则C对A和B的作用力大小相等，故B球的电荷量为＋q，故A错误；以三个小球为研究对象受力分析如图所示，设C球所带的电荷量为Q，对A球沿BA方向根据平衡条件可得cos 60°＝，解得Q＝2q，C球带负电，故B错误；设三个小球的加速度都是a，根据牛顿第二定律和库仑定律，对A球受力分析可知sin 60°＝ma，解得a＝，故C正确；对整体受力分析可知F＝3ma＝，故D错误。
](共78张PPT)
2．库仑定律
第九章 静电场及其应用
整体感知·自我新知初探
[学习任务] 1．知道点电荷模型的物理意义及建立点电荷模型的条件。
2．理解库仑定律的内容、公式，会用库仑定律进行相关的计算。
3．会利用力的合成知识解决多个电荷间的相互作用问题。
4．了解库仑扭秤实验的设计思路与实验方法，体会研究电荷相互作用的物理思想方法。
[问题初探] 问题1．电荷量很小的带电体能看成点电荷吗？
问题2．两点电荷间的库仑力的大小和哪些因素有关？
问题3．若点电荷q1的电荷量大于q2的电荷量，则q1对q2的静电力大于q2对q1的静电力吗？
[提示] 问题1．不一定，只有带电体的形状、大小以及电荷分布可以忽略不计时，才能看成点电荷。
问题2．库仑力的大小与它们的电荷量的乘积及它们的距离有关。
问题3．两个点电荷之间的静电力遵守牛顿第三定律，始终等大反向。
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
[链接教材] 教材中用如图所示的装置，探究库仑力的大小与哪些因素有关的过程中，使用了什么思想方法？
知识点一 电荷之间的作用力
提示：控制变量法。
正比
二次方
它们的连线上
9.0×109
真空
静止点电荷
距离
形状
大小
点电荷
让橡胶棒、玻璃棒摩擦起电，再分别靠近易拉罐，易拉罐被橡胶棒、玻璃棒吸引而滚动起来，说明电荷间有相互作用力，设计如下实验：
如图所示，O是一带正电的物体，把系在丝线上的带正电的小球先后挂在P1、P2、P3等位置。利用此装置探究影响电荷间相互作用力的因素。
问题1．偏角随带电物体与小球间距离的增大如何变化？
提示：逐渐减小。
问题2．在本实验中，电荷间相互作用力的大小与丝线偏离竖直方向的夹角大小有什么关系？
提示：由平衡条件可得小球所受的电荷之间的作用力F＝mg tan α，丝线偏离竖直方向的夹角越大，说明二者的相互作用力越大，反之则越小。
问题3．从计算结果看，电荷之间的作用力F与带电体和小球间的距离有什么关系？
提示：带电体和小球间的距离越远，偏角越小，表示电荷之间的作用力越小。
1．对点电荷的理解
(1)理想化模型：点电荷是只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。
(2)点电荷的条件：带电体能否看成点电荷视具体问题而定，不能单凭它的大小和形状下结论。如果带电体的大小比带电体间的距离小得多，则带电体的大小及形状就可以忽略，此时带电体就可以看成点电荷。
(3)点电荷不同于元电荷，元电荷是最小的电荷量，而点电荷是实际带电体的抽象化模型，现实中并不存在。
2．库仑定律
(1)大小计算
利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。
(2)方向判断
在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。
(3)两个电荷之间的库仑力同样遵守牛顿第三定律，与两个电荷的性质、带电荷量多少均无关，即作用力与反作用力总是等大反向。
【典例1】 (对点电荷的理解)(多选)下列关于点电荷的说法正确的是( )
A．两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷
B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷
C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷
D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理
√
√
AD [无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，A正确，C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于其本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，B错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，D正确。]
√
√
1．实验装置：库仑扭秤(如图所示)。
知识点二 库仑的实验
角度
大小
完全相同
4．实验步骤
(1)保持A和C的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r之间的关系。
(2)保持A和C之间的距离不变，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与电荷量q之间的关系。
5．实验结论
(1)两小球上的电荷量不变时，力F与距离r的二次方成______，F∝_____。
(2)两小球间的距离不变时，力F与电荷量q1和q2的乘积成______，F∝______。
(3)综合结论：F∝_____或F＝______。
反比
正比
q1q2
【典例4】 (认识扭秤实验装置)如图所示是研究“点电荷之间相互作用规律”的扭秤装置( )
A．实验中B球也需带电
B．实验中库仑力大小是通过传感器获得的
C．该装置可探究出库仑力与电荷量的乘积成正比
D．该装置可探究出库仑力F与距离r成反比
√
C [实验是要研究A球与C球间的库仑力，故B球不需带电，A错误；实验中库仑力大小是通过悬丝扭转的角度获得的，B错误；该装置可探究出库仑力与电荷量的乘积成正比，C正确；该装置可探究出库仑力F与距离r的平方成反比，D错误。]
1．两个电荷量为1 C的点电荷在真空中相距1 m时，相互作用力为___________ N。
2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的________。
知识点三 静电力计算
9.0×109
矢量和
如图所示，真空中有三个带正电的点电荷，它们固定在边长为r的等边三角形的顶点A、B、C处，已知每个点电荷的电荷量都是q，静电力常量为k。
问题1．C受到几个电荷的作用力？
提示：两个。
问题2．A对C的作用力是否会受到B的影响？为什么？
提示：不会，两个点电荷之间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。
问题3．如何求C的合力？
提示：平行四边形定则。
问题4．当B带负电时，C所受合力是否发生变化？
提示：变化，B对C的作用力方向发生变化。
1．静电力的叠加
(1)两点电荷间的库仑力与周围是否存在其他电荷无关。
(2)静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。
√
【典例6】 (库仑力作用下的平衡问题)如图所示，大小可以忽略不计的带有同种电荷的小球A和B相互排斥，静止时绝缘细线与竖直方向的夹角分别是α和β，且α＜β，两小球在同一水平线上，由此可知
( )
A．B球受到的库仑力较大，电荷量较大
B．B球的质量较小
C．B球受到的拉力较大
D．两球接触后，再次处于静止的平衡状态时，悬线的偏角α′、β′不满足α′＜β′
√
B [两球受到的库仑力等大、反向，A错误；由平衡条件，对两球F库＝mAg tan α＝mBg tan β，由于α＜β，则mA＞mB，B正确；根据F库＝FA sin α＝FB sin β得FA＞FB，C错误；两球接触后，每个小球的电荷量可能都变化，但相互间库仑力仍满足牛顿第三定律，细线倾角关系不变，D错误。]
【典例7】 (同一直线上三个点电荷的平衡问题)如图所示，同一直线上的三个点电荷a、b、c，电荷量分别为q1、q2、q3，已知a、b间距离小于b、c间距离，仅在彼此间的静电力作用下，三个点电荷均处于平衡状态，下列说法正确的是( )
A．三个点电荷可能均为正电荷
B．若a为正电荷，则b、c均为负电荷
C．点电荷电荷量的绝对值满足|q1|＜|q3|
D．点电荷电荷量的绝对值满足|q1|＜|q2|
√
规律方法 三个自由点电荷平衡问题的解题技巧
三个相关点电荷都处于平衡状态，称为三个点电荷平衡问题。此时，三个点电荷中的每一个点电荷受到的其他两点电荷的库仑力必然大小相等、方向相反。该类问题规律总结如下：
(1)三点共线：三个点电荷一定分布在一条直线上。
(2)两同夹异：两侧的点电荷电性相同，中间的点电荷的电性一定与两侧的相反。
(3)两大夹小：中间电荷的电荷量最小。
(4)近小远大：中间电荷靠近电荷量较小的电荷。
【教用·备选例题】
1．如图所示，两个质量均为m的完全相同的金属球壳a、b，其壳层的厚度和质量分布均匀，将它们固定于绝缘支座上，两球心间的距离为l，l为球半径的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么a、b两球之间的万有引力F1与静电力F2为
( )
√
D [万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然两球心间的距离l只有其半径r的3倍，但由于其壳层的厚度和质量分布均匀，两球壳可看作质量集中于球心的质点，因此，可以应用万有引力定律；由于a、b两球所带异种电荷相互吸引使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布比较密集，又因两球心间的距离l只有其半径r的3倍，不满足l远大于r的要求，故不能将两带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律求解，D正确。]
√
应用迁移·随堂评估自测
1．下列关于点电荷的说法正确的是( )
A．任何带电球体，都可看成电荷全部集中于球心的点电荷
B．体积很大的带电体一定不能看成是点电荷
C．当两个带电体的大小远小于它们之间的距离时，可将这两个带电体看成点电荷
D．一切带电体都可以看成是点电荷
√
C [能否把一个带电体看成点电荷，关键在于我们分析时是否考虑它的体积大小、形状及电荷分布状况，不能以它的体积大小而论，应该根据具体情况而定。若它的体积、形状及电荷分布状况可不予考虑时，就可以将其看成点电荷，带电球体也不是都能看成全部电荷集中于球心的点电荷，故C正确。]
√
3．如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电的金属小球B(视为质点)，用长为l的绝缘细线固定在左边一檐角，使其刚好贴着正面绝缘墙壁。在正面墙壁上画好一个量角刻度尺。取一个与小球B完全相同(除电荷量外)的小球A，A连接绝缘细杆，手提绝缘细杆让小球A上下移动至小球A、B在同一水平线上且平衡时，读出小球B偏离竖直方向的夹角θ＝30°。静电力常量为k，重力加速度大小为g，求：
(1)绝缘细线的拉力大小；
(2)小球A所带的电荷量。
回归本节知识，完成以下问题：
1．电荷之间的相互作用力的大小与哪些因素有关呢？
提示：电荷之间的相互作用力的大小与电荷的电荷量、带电体之间的距离有关，距离越大，作用力越小，电荷量越大，作用力越大。
2．运用库仑定律的条件是什么？
提示：真空中静止的点电荷。
3．库仑定律描述的是两个点电荷之间的作用力。如果存在两个以上的点电荷，那么，每个点电荷所受的作用力应该怎样计算？
提示：每个点电荷都要受到其他所有点电荷对它的作用力。两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。
?题组一 电荷之间的作用力
1．下列关于元电荷和点电荷的理解正确的是( )
A．元电荷就是电子
B．元电荷是表示跟电子所带电荷量的绝对值相等的电荷量
C．体积很小的带电体就是点电荷
D．点电荷是一种理想化模型，对于任何带电球体总可把它看作电荷全部集中在球心的点电荷
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√
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课时分层作业(二) 库仑定律
B [元电荷是表示绝对值最小的电荷量，不是粒子，也没有正负，电子是实实在在的粒子，其所带电荷量的绝对值为一个元电荷，A错误，B正确；当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以致带电体的大小、形状及电荷的分布状况对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，带电体可被看作点电荷，并不是体积小就可被当作点电荷，C错误；当两个带电球体之间的距离不是很大时，带电球体的电荷分布会发生变化，此时带电球体不能被看作是电荷全部集中在球心的点电荷，D错误。]
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2．(多选)关于库仑定律，下列说法正确的是( )
A．库仑定律适用于点电荷，体积很大的带电体都不能看作点电荷
B．根据库仑定律，当两个带电体间的距离r→0时，库仑力将趋向无穷大
C．库仑定律和万有引力定律的表达式很相似，它们都是与距离平方成反比的定律
D．静电力常量k的值为9.0×109 N·m2/C2
√
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3．如图所示，在水平地面上的箱子内，带异种电荷的小球a、b用绝缘细线分别系于上、下两边，处于静止状态。地面受到的压力为N，球b所受细线的拉力为F。剪断连接球b的细线后，在球b上升过程中地面受到的压力( )
A．小于N B．等于N
C．等于N＋F D．大于N＋F
√
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D [未剪断连接b球的细线时，N＝Ga＋Gb＋G箱，a、b球间的库仑力F库＝Gb＋F。剪断细线后，b球上升，a、b球间的库仑力变大，地面受到的压力N′＝G箱＋Ga＋F′库。由以上三式可得N′＝N＋F－F库＋F′库，所以N′＞N＋F。]
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?题组二 库仑的实验
4．利用图所示的扭秤装置研究“点电荷之间的相互作用规律”的科学家是( )
A．伽利略
B．牛顿
C．爱因斯坦
D．库仑
√
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D [伽利略研究了自由落体运动的规律、力与运动的关系等，没有利用扭秤装置研究电荷间的相互作用，故A错误；牛顿发现了万有引力定律、牛顿运动定律等，没有利用扭秤装置研究电荷间的相互作用，故B错误；爱因斯坦提出相对论、光电效应理论等，没有利用扭秤装置研究电荷间的相互作用，故C错误；库仑利用扭秤实验发现点电荷之间的相互作用规律，故D正确。]
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5．如图所示是库仑扭秤实验装置，绝缘棒两端分别是A、B小球，在A的不远处放一个跟A相同的金属小球C，下列说法正确的是( )
A．B球起平衡作用，带电荷量与A球相同
B．库仑准确测出了每一个带电小球的电荷量
C．A球与C球之间的作用力与它们之间的距离成反比
D．库仑扭秤能研究微小的库仑力，最主要的物理思
想方法是微小量放大法
√
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D [B球使绝缘棒平衡，其本身不带电，故A错误；本实验是为了找到库仑力与距离和电荷量的关系，并不需要测量每一个带电小球的电荷量，而是通过悬丝转过的角度判断库仑力的大小，A与C电性相同，从而得出库仑力与距离和电荷量的关系，而且在库仑的时代并没有电荷量的单位，也无法求出具体的电荷量，故B错误；根据库仑定律，A球与C球之间的作用力与它们之间的距离的平方成反比，故C错误；本实验将库仑力导致的平衡棒的移动通过悬丝扭转放大出来，主要的物理思想方法是微小量放大法，故D正确。]
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?题组三 静电力计算
6．一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M相连接，在小球M下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N，在选项图中，小球M能处于静止状态的是( )
√
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A B C D
B [M受到三个力的作用而处于平衡状态，则绝缘细线的拉力与库仑力的合力必与M的重力大小相等，方向相反，故选项B正确。]
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7．如图所示，直角三角形ABC中∠B＝30°，点电荷A、B所带电荷量分别为QA、QB，测得在C处的某正点电荷所受静电力的合力方向平行于AB向左，则下列说法正确的是( )
A．A带正电，QA∶QB＝1∶8
B．A带负电，QA∶QB＝1∶8
C．A带正电，QA∶QB＝1∶4
D．A带负电，QA∶QB＝1∶4
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9．航天员在探测某行星时，发现该星球均匀带电，且电性为负，电荷量为Q，表面无大气。在一实验中，航天员将一带负电q(q Q)的粉尘置于距该星球表面h高处，该粉尘恰好处于悬浮状态；航天员又将此粉尘带到距该星球表面2h处，无初速释放，则此带电粉尘将( )
A．向星球球心方向下落
B．背向星球球心方向飞向太空
C．仍处于悬浮状态
D．沿星球自转的线速度方向飞向太空
√
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10．如图所示，光滑绝缘水平面上有三个完全相同的金属小球A、B、C，A球带电荷量为q(q＞0)，固定在M点；B球带电荷量为－nq，固定在N点。不带电的C球先与A球接触，再与B球接触之后放在P点，恰好能静止不动。若NM＝MP＝r，且小球直径远小于它们之间的距离，则n的取值为( )
A．4 B．4.5
C．5 D．5.5
√
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11．如图所示，质量为m、带正电的小球A通过绝缘轻绳悬挂于O点，O点正下方用绝缘杆固定有一个带正电的小球B，现让不带电的小球C与A接触后离开，则A、B两球间的库仑力及轻绳拉力如何变化
( )
A．库仑力大小不变
B．库仑力大小增大
C．拉力大小不变
D．拉力大小减小
√
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12．如图所示，把一电荷量为Q＝－5×10-8 C的小球A用绝缘细绳悬起来，若将电荷量为q＝＋4×10-6 C的带电小球B靠近A，当两个带电小球在同一高度相距r＝0.3 m时，绳与竖直方向夹角α＝45°，取g＝10 m/s2，k＝9.0×109 N·m2/C2，且A、B两小球均可看成点电荷。求：
(1)A、B两球间的库仑力大小；
(2)A球的质量。
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[答案] (1)0.02 N (2)2×10-3 kg
13．质量均为m的三个带电小球A、B、C用三根长度均为l的绝缘丝线相互连接，放置在光滑绝缘的水平面上，A球的电荷量为＋q。在C球上施加一个水平向右的恒力F之后，三个小球一起向右运动，三根丝线刚好都伸直且没有弹力，F的作用线反向延长线与A、B间的丝线相交于丝线的中点，如图所示。已知静电
力常量为k，下列说法正确的是( )
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