2024-2025学年广东省惠州市惠州中学高一下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省惠州中学高一下学期3月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数，对应的两点之间的距离为( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量满足且在上的投影向量为则的值为( )
A. B. C. D.
4.在中，角、、的对边分别为、、，且，则的形状为．
A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形
5.平行四边形中，，，，点是边的一个四等分点靠近点，则的值是( )
A. B. C. D.
6.已知为的外接圆圆心，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点，，三点共线处测得楼顶，教堂顶的仰角分别是和，在楼顶处测得塔顶的仰角为，则小明估算索菲亚教堂的高度为( )
A. B. C. D.
8.青花瓷，又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷．原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点则( )
A. B.
C. D.
10.在中，内角所对的边分别为，若，，且，则( )
A. 的外接圆直径为 B.
C. 的面积为 D. 的周长为
11.东汉末年的数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”，根据面积关系给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”如图，它由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．我们通过类比得到图，它是由三个全等的钝角三角形与一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形对于图下列结论错误的是( )
A. 这三个全等的钝角三角形可能是等腰三角形
B. 若，则
C. 若，则
D. 若是的中点，则的面积是面积的倍
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数满足为虚数单位，则的虚部为 ．
13.已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为 ．
14.在中，是边的中点，是线段的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量
求
若向量，试用表示；
若求实数的值．
16.本小题分
记内角的对边分别为，已知，
求；
若，求的面积．
17.本小题分
已知，，其中，，设函数，且，函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递减，求实数的最大值．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别是，，，且．
求角的大小；
求的取值范围．
19.本小题分
设为坐标原点，定义非零向量的“友函数”为，向量称为函数的“友向量”．
记的“友函数”为，求函数的单调递增区间；
设，其中，求的“友向量”模长的最大值；
已知点满足，向量的“友函数”在处取得最大值当点运动时，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或．
14.

15.【详解】因为，，
所以，
所以．
由题可知与不共线，故设，
即，
所以，解得，．
因此．
由题意得．
因为，
所以，
解得．

16.【详解】在中，由及余弦定理，得，
解得，而，则，由，得，
又，所以．
由，得，
由正弦定理得，
所以的面积为

17.【详解】因为向量，，
所以，
因为，所以，
因为，所以，又函数图象的两条相邻对称轴间的距离为．
所以，则，
所以；
因为，所以，
又因为函数在区间上单调递减，
所以，则，
解得，
所以实数的最大值．

18.【详解】因为，所以．
因为，所以，
所以，即．
因为，所以，所以，即．
因为，所以．
因为，所以，所以，
则．
因为是锐角三角形，所以解得，
所以，所以，则，
即的取值范围是．

19.【详解】由已知，
则令，，
解得，，
即函数的单调递增区间为，；
，
则的“友向量”为，
所以，
又，所以当，时，取得最大值为；
由已知点满足，
则，，且，
又，且，
且当，时，函数取得最大值，
即，
所以，
即，
又，
设，则原式，
且在上单调递减，
所以．

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