2024-2025学年广东省佛山市南海区桂城中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省佛山市南海区桂城中学高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.已知向量满足，且，则( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点( )
A. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
B. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变
C. 先向右平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变
D. 先向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变
8.已知中，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，下列说法正确的有( )
A.
B.
C.
D.
10.在中，角所对的边分别为，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则是钝角三角形
11.如图是函数的部分图像，则( )
A. 的最小正周期为
B. 是的函数的一条对称轴
C. 将函数的图像向右平移个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数在上有且仅有两个零点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，为锐角，则 ．
13.已知向量的夹角为，且，则
14.在中，，，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知，．
若，求实数的值；
若，求实数的值．
16.本小题分
已知函数
求函数的单调区间；
当时，求函数的值域．
17.本小题分
在中，角、、的对边分别为，，，已知．
若，求的面积；
设向量，，且，，求的值
18.本小题分
养殖户承包一片靠岸水域，如图所示，，为直线岸线，千米，千米，，该承包水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点按线段和修建养殖网箱，已知．
求岸线上点与点之间的直线距离；
如果线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益，线段上的网箱每千米可获得万元的经济收益．记，则这两段网箱获得的经济总收益最高为多少万元？
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
若为的相伴特征向量，求实数的值；
记向量的相伴函数为，求当且时的值；
已知，，为中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，，
所以，，
因为，
所以，解得．
，
因为，所以，
解得．

16.解：
当时，单调递增
这时，
当时，单调递减
这时，
函数的单调递增区间是，单调递减区间是
当，，
，
所以函数的值域为．

17.解：，
在中，且
．
，
且
又
在中，
，则
在中，
又且由正弦定理
．

18.解：在中，由余弦定理，得
即岸线上点与点之间的直线距离为 千米．
在中，，
则，
设两段网箱获得的经济总收益为 万元，则
因为，所以，所以
所以两段网箱获得的经济总收益最高接近万元．

19.解：，
又为的相伴特征向量，
；
向量的相伴函数为，
又，
．
，，
，
；
由题可知，
，
设，，
，，
又，
，
，
即，
，
，，
，
又，
当且仅当时，和同时等于，
在图像上存在点，使得．

第1页，共1页