2024-2025学年山东省烟台市招远市第二中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市招远市第二中学高一下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，为的中点，设，，则( )
A. B. C. D.
4.已知为直线外一点，且，若，，三点共线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.已知，均为锐角，，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在长方形中，，，点在上，且，点，分别是边，上的动点，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知的重心为，过点的直线分别与边，交于点，，若，，则的值为( )
A. B. C. D. 不确定
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 起点相同的单位向量均相等
B. 若向量，则
C. 若向量，，则、不一定平行
D. 任意两向量、均有
10.已知函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 若的最小正周期为，则
B. 若的图象关于点中心对称，则
C. 若在上单调递增，则的取值范围是
D. 若方程在上恰有两个不同的实数解，则的取值范围是
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的图象关于轴对称
B. 是周期为的周期函数
C. 的值域为
D. 不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.与向量方向相反的单位向量为 ．
13.若，则 ．
14.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点已知点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转角得到点，则点的坐标为 ，向量在向量上的投影向量为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，．
求；
求与的夹角的值；
求．
16.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及单调递增区间；
当时，求的最大值及取得最大值时的集合．
17.本小题分
求值：
；
已知，，求的值．
18.本小题分
已知函数图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为，且．
求的解析式；
将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，且，求的最大值；
记函数在区间上的最大值为，最小值为，设函数，求函数在区间上的值域．
19.本小题分
对于一组向量，，，，，且，令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数的取值范围；
若，且，向量组，，，，是否存在“长向量”给出你的结论并说明理由；
已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，设在平面直角坐标系中有一点列，，，，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与且关于点对称，求的最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以；
因为，
又，所以；
因为，
所以．

16.解：
，
所以的最小正周期，
令，解得，
所以的单调递增区间为，；
当时，，
所以当，即时，取得最大值，
故的最大值为，取得最大值时的集合为．

17.解：
；
将两边平方可得，，
两边平方可得，，
两式相加可得，，
即，
解得．

18.解：由题意可知，函数的最小正周期为，所以，
所以，所以，
故，
解得，
所以；
将函数的图象向左平移个单位长度，
可得的图象，
再向上平移个单位长度，得到的图象，
所以，
又，所以当时，，
又，所以，
要使最大，则最大，最小．
所以当最大，最小时，
即取得最大值，
最大值为；
因为，所以，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
此时；
又，所以，所以
所以的取值范围为；
当时，在上单调递减，
所以，，
此时；
又，所以，所以，
所以的取值范围为，
综上，函数的值域为．

19.解：由题意可得：，则，解得：；
存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下：
由题意可得，
若存在“长向量”，只需使，
又，
故只需使
，即，即，
当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，；
由题意，得，，即，
即，同理，
，
三式相加并化简，得：，
即，，所以，
设，由得：
设，则依题意得：
得，
故，
，
所以，
，
当且仅当时等号成立，
故．

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