2024-2025学年江苏省南京市励志高级中学高一下学期第二次调研考试（3月）数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市励志高级中学高一下学期第二次调研考试（3月）数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.等于
A. B. C. D.
3.已知是锐角，那么是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于的正角 D. 第一或第二象限角
4.已知向量，则
A. B. C. D.
5.已知，则与方向相反的单位向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：为虚数单位，这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据此公式，可知( )
A. B. C. D.
7.若角的顶点与平面直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边以原点为圆心的单位圆交于点，且，则等于
A. B. C. D.
8.已知点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中正确的是( )
A. 已知平面向量，，则与共线
B. 已知平面向量，满足，在上的投影向量为，则的值为
C. 已知复数满足，则
D. 已知复数，满足，则
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 是函数的一条对称轴
C.
D. 若，则在方向上的投影向量的模为
11.如图，在梯形中，分别在线段上，且线段与线段的长度相等，则( )
A. 的最小值为 B. 的最大值为
C. 的最大值为 D. 的面积的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.复数，和在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数的值为 ．
13.如图所示，在直角坐标系中，角的顶角是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点若点的横坐标为，则点的横坐标为 ．
14.如图，中，为中点，，，为圆心为，半径为的圆的动直径，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知是函数的一个零点，
求的值；
求函数在上的单调递减区间；
16.本小题分
若，，．
若，求实数的值；
若与的夹角为，求实数的值．
17.本小题分
某地拟在一个形水面上修一条堤坝在上，在上，围出一个封闭区域，用以种植水生植物．为了美观起见，决定从上点处分别向点，拉条分隔线，，将所围区域分成个部分如图，每部分种植不同的水生植物．已知，，，设所拉分隔线总长度为．
设，求用表示的函数表达式，并写出定义域；
求的最小值．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，，，，、分别是，的中点，为线段上一点，且设，．
若，以，为基底表示向量与；
若，求的取值范围．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．
设函数，试求的伴随向量的坐标；
记向量的伴随函数为，当且时，求的值；
设向量，的伴随函数为，的伴随函数为，记函数，求在上的最大值．
参考答案
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15.解：由是函数的一个零点，
得，所以．
由得
，
由，得，
而，令，得函数在上的单调递减区间为．

16.解：因为，，，
所以，得，
由，得，
所以，整理得，
因为，所以
因为，，
所以，
由，得，则，
所以，
因为与的夹角为，
所以，
，解得，
因为，所以

17.解：，，
≌，
，
，
，
设，
在中，，，
中，，
，
，
，
，；
令，，
，
当且仅当时，取得最大值，此时．

18.解：
，
所以；
因为，所以
，
所以；
解：
，
所以，
又，，，所以，
所以
因为，所以，所以，
所以的取值范围为．

19.解：
，
所以．
依题意，
由得，
因为，
所以，
所以．
由题知，，
所以
，
因为，，
所以，，
令，
所以，问题转化为函数的最值问题．
因为函数的图像的对称轴为，
所以，当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
当，即时，的最大值在处取得，为；
综上，在上的最大值为．

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