2024-2025学年江苏省镇江市丹阳市马相伯高级中学高二下学期3月质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省丹阳市马相伯高级中学高二下学期3月质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一物体做直线运动，其运动方程为，则时，其速度为( )
A. B. C. D.
2.已知离散型随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
3.设函数 ，的单调递减区间为( )
A. B. C. 和 D.
4.已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法中错误的是( )
A. 在区间上单调递增 B. 是的极大值点
C. 当时， D. 在区间上单调递减
5.已知函数在处取得极小值，则的极大值为( )
A. B. C. D.
6.设甲袋有个红球，个白球和个黑球，乙袋有个红球，个白球和个黑球，先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，以、和分别表示由甲袋取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以表示由乙袋取出的球是红球的事件，则( )
A. 与相互独立 B. C. D.
7.若直线与两函数、的图象都相切，则该直线的斜率为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的有( )
A. 已知函数在上可导，若，则
B. 已知函数，若，则
C.
D. 设函数的导函数为，且，则
10.从含有道代数题和道几何题的道试题中随机抽取道题，每次从中随机抽出道题抽出的题不再放回，则( )
A. “第次抽到代数题”与“第次抽到代数题”相互独立
B. “第次抽到代数题”与“第次抽到几何题”是互斥事件
C. “第次抽到代数题且第次抽到几何题”的概率是
D. 在第次抽到代数题的条件下，第次抽到几何题的概率是
11.已知函数，则( )
A. 当时，有两个极值点
B. 当时，有三个零点
C. 点是曲线的对称中心
D. 当时，过点可作曲线的三条切线
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设随机变量，且，则 ；若，则的方差为 ．
13.已知函数在定义域上单调递增，则实数的最大值是 ．
14.若，，，结合函数的性质，的大小关系为 用“”连接．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设某仓库有一批产品，已知其中，，依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为，，．
现从这批产品中任取一件，求取到次品的概率；
若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，求该件产品是甲厂生产的概率．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面，为棱的中点．
求证：平面；
已知：
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
17.本小题分
设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为，和．
若三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率；
若甲单独向目标射击三次，求命中次数的分布列和均值．
18.本小题分
福州某公园有一个半圆形荷花池如图所示，为了让游客深入花丛中体验荷花美景，公园管理处计划在半圆形荷花池中设计栈道观景台和栈道、、、，观景台在半圆形的中轴线上如图，与直径垂直，与不重合，通过栈道把荷花池连接起来，使人行其中有置身花海之感．已知米，，栈道总长度为．

求关于的函数关系式．
若栈道的造价为每米千元，问：栈道长度是多少时，栈道的建设费用最小？并求出该最小值．
19.本小题分
已知函数．
讨论在的单调性；
若，证明：当时，．
参考答案
1.
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10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，
以表示事件取到的产品为次品，则
，，，
，，
由全概率公式，得
．
若从这批产品中取出一件产品，发现是次品，
该件产品是甲厂生产的概率为
．

16.解：如图：
连接，交于，因为四边形为正方形，所以为中点，
又为中点，所以，又平面，平面，
所以平面．
因为平面，所以是直角三角形，
又为中点，且，所以．
设点到平面的距离为，则．
又因为，
所以．
因为平面，平面，所以，
又底面为正方形，所以，平面，，
所以平面．
又平面，所以所以为直角三角形．
中，，，．
因为，所以为直角三角形，所以．
所以即点到平面的距离为．
又，
设直线与平面所成的角为，
则．
即直线与平面所成角的正弦值为：．

17.解：设甲命中目标为事件，乙命中目标为事件，丙命中目标为事件，
由题知，，
，
若三人各向目标射击一次，
则至少有一人命中目标的概率．
易知的所有可能取值为，，，，
当时，三次射击都没命中，此时；
当时，三次射击中有一次命中，此时；
当时，三次射击中有两次命中，此时；
当时，三次射击都命中，此时，
则的分布列为：
．

18.解：因为在半圆形的中轴线上，，米，，
所以，，
所以，
所以栈道总长度
，．
由得，，
所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当，即时，栈道的建设费用最小，
建设费用最小值为千元．

19.解：由，
可得：，
当，即时，此时在恒成立，
所以在单调递增；
当，即时，由，可得，
由，可得，
所以在的单调递增；在单调递减；
综上：时，在单调递增；
时，在单调递增；在单调递减；
当时，，
原不等式即为：
即．
设，则．
由解析式易知在上单调递增，且，，
所以存在唯一的，使得，即，．
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以，
故原命题成立．

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