2024-2025学年山东省烟台市招远市第二中学高二下学期第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省烟台市招远市第二中学高二下学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.正八边形的对角线的条数为( )
A. B. C. D.
2.的展开式的第项的系数是( )
A. B. C. D.
3.学校要求学生从物理历史化学生物政治地理这科中选科参加考试，规定先从物理和历史中任选科，然后从其他科中任选科，不同的选法种数为( )
A. B. C. D.
4.已知随机变量的分布列如下表，若，则( )
A. B. C. D.
5.个相同的球，放入个不同的盒子中，每个盒里至多放一个球，则不同的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
6.甲、乙两名同学参加了班级组织的数学知识有奖竞答活动，二人从各自的道题中这道题均不相同各自独立地随机抽取道题现场回答，已知在每人的道题中，均有道是代数题，道是几何题，则甲、乙两名同学抽取的道题目中有且仅有道代数题的概率为( )
A. B. C. D.
7.某公司人事部门收到两所高校毕业生的报表，分装袋，第一袋装有名男生和名女生的报表，第二袋装有名男生和名女生的报名随机选择一袋，然后从中随机抽取份，则恰好抽到男生和女生报表各份的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.数学家波利亚说过：为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立相等关系根据波利亚的思想，由恒等式，左右两边展开式其中，，系数相同，可得恒等式，我们称之为范德蒙德恒等式，下列关于范德蒙德恒等式说法正确的是( )
A.
B.
C.
D.
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.一个课外兴趣小组共有名成员，其中有名女性成员，名男性成员，现从中随机选取名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为，则下列结论正确的有( )
A. B. C. D.
11.全国高考卷数学试题第二部分为多选题，共个小题，每小题有个选项，其中有个或个是正确选项，全部选对得分，部分选对得部分分，有选错的得分若正确答案是个选项，只选对个得分，有选错的得分：若正确答案是个选项，只选对个得分，只选对个得分，有选错的得分小明对其中的一道题完全不会，该题有两个正确选项的概率是，记为小明随机选择个选项的得分，记为小明随机选择个选项的得分，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.展开式中的常数项为 ．
13.亚冬会期间，组委会将名志愿者分配到三个场馆进行引导工作，每个场馆至少分配一人，每人只能去一个场馆若甲乙要求去同一个场馆，则所有不同的分配方案的种数为 ．
14.甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得分，负者得分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛．已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，，且每局比赛结果相互独立．
若，则甲运动员恰好在第局比赛后赢得比赛的概率为 ；
若比赛最多进行局，则比赛结束时比赛局数的期望的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
用，，，，，这六个数字，能组成多少个符合下列条件的数字？用数字作答
无重复数字的四位奇数；
无重复数字且能被整除的四位数；
无重复数字且比大的四位数．
16.本小题分
已知的展开式中，各项的系数和比各项的二项式系数和大，求展开式中二项式系数最大的项．
已知的展开式中，只有第项的二项式系数最大，求该展开式中系数最大的项．
17.本小题分
某学校为了学习、贯彻党的二十大精神，组织了“二十大精神”知识比赛，甲、乙两位教师进行答题比赛，每局只有道题目，比赛时甲、乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得分，答错者得分；若两人都答对或都答错，则两人均得分．根据以往答题经验，每道题甲、乙答对的概率分别为，且甲、乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响．
求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；
设这次比赛共有局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率．
18.本小题分
为了更好了解两会知识，某高中拟组织一次两会知识测试，从全校学生中随机抽取人进行模拟测试，其中高一年级组人，高二年级组人，高三年级组人，测试共分为两轮．
第一轮测试按高一高二高三个小组顺次进行，若一切正常，参测小组完成测试的时间为分钟；若出现异常情况，则参测小组需要延长分钟才能完成测试已知每一小组正常完成测试的概率均为，且各小组是否正常完成测试互不影响记个小组全部完成测试所需总时间为，求的分布列；
第二轮测试将组同学混合进行排序，每位同学按排序顺次进行面试，且每人测试时间相等．
求最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率；
若所有参加面试的同学都可以得到一本“两会纪念册”，成绩优秀的同学还可以多得一本“两会纪念册”，已知每一名同学面试成绩优秀的概率均为，设这名同学所得“两会纪念册”总数恰好为个的概率为，当取最大值时，求的值．
19.本小题分
信息在传送中都是以字节形式发送，每个字节只有或两种状态，为保证信息在传送中不至于泄露，往往需要经过多重加密，若，是含有一个字节的信息，在加密过程中，会经过两次加密，第一次加密时信息中字节会等可能的变为或，且，之间转换是相互独立的，第二次加密时，字节中或发生变化的概率为，若，的初始状态为，或，，记通过两次加密后，中含有字节的个数为．
若两次加密后的，中字节的个数为，且，求，通过第一次加密后字节的个数为的概率；
若一条信息有种等可能的情况且各种情况互斥，记这些情况发生的概率分别为，则称其中为这条信息的信息熵，试求，经过两次加密后字节的个数为的信息熵；
将一个字节为的信息通过第二次加密，当字节变为时停止，否则重复第二次加密直至字节变为，设停止加密时该字节第二次加密的次数为证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：符合要求的四位奇数为：先排个位有种，再排千位有种，
再排中间两位共种，
所以由分步计数原理，共有个；
符合要求的数可分为两类：
第一类：在个位时有个；
第二类：在个位时有个；
故满足条件的四位数共有个．
符合要求的比大的四位数可分为四类：
第一类：形如，，，，共有个；
第二类：形如，，，共有个；
第三类：形如，共有个；
第四类：形如，共有个；
第五类：形如，共有个，
由分类加法计数原理知，
无重复数字且比大的四位数共有个．

16.解：令，可得各项系数和为，
展开式各项的二项式系数之和为，
由已知得，
即，
解得或舍去，
所以，
故的展开式中二项式系数最大的项为．
由题意可知，解得，
故展开式的通项为，
设第项的系数最大，则
，解得，
因为，所以，
故展开式中的系数最大的项为．

17.解：取值可能为，
；
；
，
所以的分布列为
．
由可知在一局比赛中，乙获得分的概率为，乙获得分的概率为，乙获得分的概率为．
在局比赛中，乙获得分的概率为；
在局比赛中，乙获得分的概率为；
在局比赛中，乙获得分的概率为，
所以乙最终获胜的概率为．

18.解：由题意得，的取值可以为，
，
．
的分布列：
设事件：最后一名同学来自高一年级组；事件：高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试，
则，
，
所以，
所以最后一名同学来自高一年级组的条件下，高二年级组同学比高三年级组同学提前完成面试的概率为．
由题意得，，
，
所以，
由得，，由得，，
所以当时，，
当时，，
故当取最大值时，．

19.解：解：记事件为“通过第一次加密后字节的个数为”，，
事件为“通过第二次加密后字节的个数为”，
则，，
，
则，
故．
解：由题意知，随机变量，
由知，
同理可得，
则，
所以的信息熵．
解：由题知，其中，
则，
因为，
，
，
两式相减得
，
所以，
当无限增大时，和都无限趋近于，且，
所以．

第1页，共1页