2024-2025学年河北省卓恒教育集团高二下学期3月联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省卓恒教育集团高二下学期3月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知首项为的数列满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.用，，，十个数字，可以组成无重复数字的三位数的个数为( )
A. B. C. D.
5.若函数在上单调递增，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.将个相同的商品放在，，，个空货架上，则有且仅有个货架上有商品的放法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.记为等差数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
8.设函数，若的图象与为常数的图象有两个交点，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在某次物理试验课堂上，某同学利用位移跟踪仪记录了一玩具车在静止状态下释放，其运动的位移方程满足，则( )
A. 该玩具车位移的最大值为
B. 该玩具车在内的平均速度为
C. 该玩具车在时的瞬时速度为
D. 该玩具车的速度和时间的关系式是
10.已知是正整数，则( )
A. B. C. D.
11.记为正项数列的前项和，为的前项积，已知，则( )
A. B. 可能为常数列
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知某高中信息学竞赛班的甲、乙、丙、丁共名同学参加了本校自主举办的信息学竞赛的初赛，若最终成绩排名情况为：丙同学不是第名，甲，乙两名同学的成绩排名相邻，则这名同学的名次排列情况种数为 ．
14.设函数仅有两个零点，和一个极大值点，且，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
新学期，新气象，光明中学高二某班班主任计划从上学学期期末考试成绩排名靠前的名男同学和名女同学中选出名同学去担任语文、英语、数学、物理、化学的课代表，按照要求回答下列两个问题．
求女生不少于男生的安排方法种数；
求女生甲不担任数学课代表的安排方法种数．
16.本小题分
已知数列的前项积为，为公差不为的等差数列，且，成等比数列．
求的通项公式；
设，记的前项和为，证明：．
17.本小题分
已知曲线与曲线交于，两点．
求；
求的最小值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，确定若干个点，点的横、纵坐标均取自集合，这样的点共有个
求以这个点中的个点为端点的线段的条数；
求这个点能确定的直线的条数；
若从这个点中选出个点分别为三角形的个顶点，求这样的三角形的个数．
19.本小题分
已知函数，．
求的最小值；
已知曲线和直线交于，两点，设坐标原点为．
(ⅰ)证明：；
(ⅱ)若，讨论与的大小关系，并说明理由．
参考答案
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15.解：由女生人数不少于男生可知，有个女生个男生或有个女生个男生，
有个女生的选法有：种；
有个女生的选法有：种；
不同的安排方法种数有种
因为女生甲不担任数学课代表，从除女生甲外的其他人中选取人担任除数学课代表，再从剩下的个人中选其余科课代表，
所以不同的安排种数有种

16.解：设等差数列的公差为，，因为成等比数列，所以，
所以，解得，因为，所以，
所以，
当时，，当时上式成立，
所以；
，
，得证．

17.解：因为曲线与曲线交于两点，
所以，化简得，
即，所以，因为交点为，，所以或，
所以；
因为，所以，所以，
设，所以，
当单调递减；当单调递增；
所以，所以．

18.解：点的横、纵坐标均有种可能，则，
所以所求线段的条数为．
如图，在这个点中，仅有点共线的直线有条，
仅有点共线的直线有条，
所以这个点能确定的直线的条数为
从这个点中选出个点，共有种选法．
在同一条直线上的个点不能构成三角形，所以所求的三角形的个数为．

19.解：单调递增，且，
单调递减；单调递增；
所以．
令函数，则．
若，则，在上单调递增，至多有一个零点，矛盾，故舍去；
当，，单调递减；单调递增；
若，即，此时至多一个零点，矛盾，舍去；
所以，即．
(ⅱ)此时，，
不妨设，，，
又在上单调递减，在上单调递增，
因此在和上各有一零点，
所以或，即．
令，，所以在上单调递减，
所以时，，即，
时，，即．
若，则，，所以；同理，，．
所以时，．
时，．
综上所述，时，；时，．

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