2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省南京市玄武高级中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为( )
A. B. C. D.
2.将乘积多项式展开后的项数是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，且，则实数的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
4.若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
5.已知，，，为空间中不共面的四点，且，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
6.空间四边形中，，，，点在线段上，且，点是的中点，则
A. B.
C. D.
7.名同学排成一排，其中甲乙两人必须在一起的不同排法共有( )
A. B. C. D.
8.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，为上任意一点，，为上两个动点，且的长为定值，则点到平面的距离( )
A. 等于 B. 和的长度有关 C. 等于 D. 和点的位置有关
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的是( )
A. 两条不重合直线的方向向量分别是，，则
B. 直线的方向向量，平面的法向是，则
C. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
D. 直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面所成角的大小为
10.若，，与的夹角为，则的值为( )
A. B. C. D.
11.如图，在长方体中，，点为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 当时，，，三点共线
B. 当时，
C. 当时，平面
D. 当时，平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若三个向量，，共面，则实数的值为 ．
13.已知平面的一个法向量为，点在内，则到的距离
14.如图，已知四棱柱的底面为平行四边形，为棱的中点，，，与平面交于点，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量．
若，求的值；
求的最小值．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，，为的中点，．
证明：．
求二面角的余弦值．
17.本小题分
如图，四面体中，，分别为，上的点，且，，设，，．
以为基底表示；
若，且，，，求．
18.本小题分
用，，，，，这十个数字．
可组成多少个三位数？
可组成多少个无重复数字的三位数？
可组成多少个小于且没有重复数字的自然数？
19.本小题分
如图，在四棱锥，平面，，且，，，，，为的中点．
求证：平面；
求平面与平面所成二面角的余弦值；
在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．
参考答案
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14.
15.因为，所以，
即，
解得；
所以，
所以当时，取得最小值为．

16.在直三棱柱中，平面，平面，
所以，
又由题可知，，
，平面
且，
所以平面，
又因为平面，所以．
以为坐标原点，分别为轴建系如图，
由，，可得，
则有
设平面的一个方向量为，
所以即令则，
所以
因为平面，所以为平面的一个法向量，
所以，，
即二面角的余弦值等于．

17.由图可得，
由题意，，
则，
于是，由两边取平方，
，
故．

18.要确定一个三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，百位不能为，有种选法；
第二步，确定十位数，有种选法；第三步，确定个位数，有种选法，
根据分步乘法计数原理，共有个
要确定一个无重复数字的三位数，可分三步进行：第一步，确定百位数，有种选法；
第二步，确定十位数，有种选法；第三步，确定个位数，有种选法，
根据分步乘法计数原理，无重复数字的三位数共有个．
作用题意，小于且没有重复数字的自然数分为以下三类：
第一类，满足条件的一位自然数：有个，
第二类，满足条件的两位自然数：有个，
第三类，满足条件的三位自然数：
第一步，确定百位数，百位数字可取，，，，有种选法；
第二步，确定十位数，有种选法；
第三步，确定个位数，有种选法，根据分步乘法计数原理，有个，
所以小于且没有重复数字的自然数共有个．

19.过作，垂足为，则，
如图，以为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
则，
为的中点，，则，
，
设平面的一个法向量为，
则，令，解得，
，即，
又平面，所以平面；
设平面的一个法向量为，
所以，令，解得，
所以，
即平面与平面所成二面角的余弦值为；
存在，且，理由如下：
假设线段上存在一点，设，
，
则
又直线与平面所成角的正弦值为，
平面的一个法向量，
，
化简得，即，
，故存在，且．

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