2024-2025学年广东省河源市东源中学高二下学期段考一数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省东源中学高二下学期段考一
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数的单调减区间是( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则( )
A. B. C. D.
3.已知直线是曲线的切线，则切点坐标为( )
A. B. C. D.
4.某物体的运动路程单位：与时间单位：的关系可用函数表示，则该物体在时的瞬时速度为( )
A. B. C. D.
5.函数( )
A. 有最值，但无极值 B. 有最值，也有极值
C. 既无最值，也无极值 D. 无最值，但有极值
6.已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数在上的最大值为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列函数中，在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
10.用数字，，，，，组成没有重复数字的四位偶数，下列正确的选项有( )
A. 如果个位数是，则前位有种排列
B. 如果个位是或，则前位有种排列
C. 符合题意的四位偶数共有种
D. 符合题意的四位偶数共有种
11.如图，为函数的极小值点，已知直线与曲线相切于、两点，设，两点的横坐标分别为，，函数，下列说法正确的有( )
A. 有极大值，也有极小值 B. 是的极小值点
C. 是的极大值点 D. 是的极大值点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若曲线在处有最值，则实数的值为
13.已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为 ．
14.瑞士著名数学家欧拉在年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，，求：
的单调增区间；
在上的最小值和最大值．
16.本小题分
已知首项为的等差数列满足：成等比数列．
求数列的通项公式；
若数列满足：，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，．
证明：直线平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知函数．
若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；
若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围
若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆的上顶点为，离心率为是椭圆上不与点重合的两点，且．
求椭圆的方程；
求证：直线恒过定点；
求面积的最大值．
参考答案
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14.
15.，
由解得，
的增区间为；
，舍或，
，，
，


16.【详解】设公差为，又成等比数列，
所以，
又，即，解得或，
而时，不满足成等比数列，所以，
所以．
令，
所以，
两式相减有：，
所以数列的前项和为，即，
又，所以，
所以．

17.【详解】取的中点，连接，
因为，所以，
因为平面平面，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
又，，所以，
所以，又，平面，
所以平面．
连接，因为，
所以，又，
所以是二面角的平面角，
又平面平面，所以，
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
由知，平面，又平面，
所以，且，
则，
则，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．

18.【详解】，则，
因为切线与直线垂直，所以，解得．
，则，
在上单调递增，所以在上恒成立，即，
令，则，当时取得最小值，，所以．
当时，，则单调递增，不可能有两个零点；
当时，时，；时，，则在上单调递增，上单调递减，
，解得，此时，，，令，则，，所以当时，单调递减，，所以当时，，即，
所以所以有两个零点，故．

19.【详解】依题意有解得，
椭圆的方程为．
如图，当直线的倾斜角为时，显然不合题意；
设直线的方程为：．
联立消去得．
，即．
．
，
又，
，
，
即，
，解得或舍．
直线的方程为：，即直线过定点．
点到直线的距离，
，
的面积
令，则，
，
因函数在上单调递减；在上单调递增，
所以当时，取得最小值为，即，
故，
即面积的最大值为．

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