2024-2025学年四川省成都市天府新区华阳中学高二下学期第一次阶段性考试（3月）数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省成都市天府新区华阳中学高二下学期第一次阶段性考试（3月）数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.为等差数列的前项和，，，则该等差数列的公差( )
A. B. C. D.
2.椭圆与椭圆的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
3.“点在圆外”是“直线与圆相交”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.若平面内两条平行线：与：间的距离为，则实数( )
A. B. C. 或 D. 或
5.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，记各层球数构成数列，且为等差数列，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知分别是椭圆的左右焦点，点是椭圆上的任意一点，动点满足，且，则动点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，在抛物线上存在四个点，，，，若弦与弦的交点恰好为，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则方程表示的曲线的形状可以是( )
A. 两条直线 B. 圆
C. 焦点在轴上的椭圆 D. 焦点在轴上的双曲线
10.已知数列的前项的和为，，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 是等比数列
C. D.
11.如图，在直四棱柱中，底面为菱形，为的中点，点满足，则下列结论正确的是( )
A. 若，则四面体的体积为定值
B. 若的外心为，则为定值
C. 若，则点的轨迹长度为
D. 若且，则存在点，使得的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.双曲线的两条渐近线互相垂直，则 ．
13.如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且设，，，则 ， ．
14.在数列中，且，当时，，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.如图，已知直线与抛物线交于两点，且交于点，点的坐标为，求的值．
16.随着信息技术的快速发展，离散数学的应用越来越广泛，其中差分和差分方程是描述离散变量变化的重要工具对于数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，已知数列为常数列，且．
求数列的通项公式；
数列满足，求数列的前项和．
17.莲花山位于鄂州市洋澜湖畔．莲花山，山连九峰，状若金色莲初开，独展灵秀，故而得名．这里三面环湖，通汇长江，山峦叠翠，烟波浩渺．旅游区管委会计划在山上建设别致凉亭供游客歇脚，如图为该凉亭的实景效果图，图为设计图，该凉亭的支撑柱高为，顶部为底面边长为的正六棱锥，且侧面与底面所成的角都是．
求该凉亭及其内部所占空间的大小；
在直线上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
18.已知数列的前项和，且，正项等比数列满足：，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
19.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸如图

步骤：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；
步骤：把纸片折叠，使圆周正好通过点；
步骤：把纸片展开，并留下一道折痕；
步骤：不停重复步骤和，就能得到越来越多的折痕．
现对这些折痕所围成的图形进行建模研究若取半径为的圆形纸片，如图，设定点到圆心的距离为，按上述方法折纸以点所在的直线为轴，线段中点为原点建立平面直角坐标系．
若已研究出折痕所围成的图形即是折痕与线段交点的轨迹，求折痕围成的椭圆的标准方程；
记问所得图形为曲线，若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于两点，在轴的正半轴上是否存在定点，使得直线斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.【详解】，，
，，则直线的方程为：，即，
设两点的坐标分别为，
联立，消得：，
，
，，
．
【点睛】本题主要考查了直线的方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题解决直线与抛物线的位置关系，一般利用根与系数的关系，采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

16.【详解】由于数列为常数列，且，可知为等差数列．
又知道，解得．
故数列的通项公式为．
，则

17.【详解】结合图易得凉亭的顶是正六棱锥，侧面与水平面成，取的中点，连接，，则，，故，易求，所以，
所以该凉亭的体积分为两部分，上半部分为正六棱锥，其体积为
，下半部分为正六棱柱，
其体积，
所以该凉亭及内部所占空间为，
取的中点，以、、所在直线分别为，，轴，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．
假设在直线上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
则，，，，
设则，平面的一个法向量，
则，，，
则，即，令，解得，，所以平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，则
，化简得
，，故该方程不存在实数解，
所以在直线上不存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为

18.【详解】当时，，
由，得，即，
当时，，当时，，
所以；
设正项等比数列的公比为，则，
所以，解得或舍，
所以．
所以当时，，
当时，，
即

19.【详解】如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，
设为椭圆上一点，由题意可知，
点的轨迹点为焦点，长轴的椭圆，
，，，
，则椭圆的标准方程为，

设直线的方程为，将直线方程和椭圆方程联立
消去得，
其中，
设，，
则
，
消去和可得，
要使为定值，则，
，，此时，
存在点使得和之积为．


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