2024-2025学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省南充市嘉陵第一中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某体育场一角看台的座位是这样排列的：第排有个座位，从第排起每一排都比前一排多个座位，则第排有个座位．
A. B. C. D.
2.已知数列满足，则数列中的最小项为( )
A. B. C. D.
3.函数在点处的切线斜率为，则( )
A. B. C. D.
4.记公比大于的等比数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
5.已知为上的可导函数，其导函数为，且对于任意的，均有，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
6.已知在区间内存在个极值点，则实数的取值范围为 ．
A. B. C. D.
7.已知两条曲线与恰好存在两个公共点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列求导运算正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
9.已知数列的前项和为，则下列说法正确的是( )
A. B. 为的最小值
C. D. 使得成立的的最大值为
10.过点作曲线的切线，若切线有且仅有两条，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.记为数列的前项和，若，则 ．
12.已知函数在时取得极大值，则 ．
13.已知直线是曲线和的公切线，则实数 ．
四、解答题：本题共5小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
已知数列的前项和公式为．
求数列的通项公式；
若，求数列中的最小项．
15.本小题分
已知函数在处的切线垂直于轴．
求实数的值；
求函数的极小值．
16.本小题分
已知是首项为的等比数列，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
设，，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调区间；
若有两个极值点，证明：．
参考答案
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14.【详解】当时，
，
当时，，满足上式，
所以
当时，，即，所以；
当时，，即；
当时，，即，所以；
所以列中最小的项为．

15.【详解】由可得，
则，
由于，故，
，
当或时，，当时，，
故在单调递增，在单调递减，在单调递增，
故的极小值为

16.【详解】设等比数列的公比为，，
因为，，成等差数列，
所以，即，
化简可得，解得．
又，
所以数列的通项公式为．
因为，
所以，
则，，
，
得，
所以．

17.【详解】由题意可知，，
令，则，
当时，恒成立，单调递增，
当时，由解得，由解得，
所以在单调递增，在单调递减，
综上所述当时，单调递增，当时，在单调递增，在单调递减．
由可知不等式即在上恒成立，
即在上恒成立，只需即可，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，
所以．

18.【详解】函数的定义域为，求导得，
方程中，，
当时，恒成立，，在上单调递增；
当时，由，解得，
当或时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，的单调递增区间为；
当时，的单调递增区间为，
递减区间为．
由知，有两个极值点，则，
，
令函数，求导得，令，
求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，
所以．

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