2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年河南省平顶山市叶县高级中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.某校举办运动会，某班级打算从名男生与名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为( )
A. B. C. D.
3.设随机变量，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知函数，则的极小值点为( )
A. B. C. D.
5.甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用局胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了局的概率为( )
A. B. C. D.
6.设，则( )
A. B. C. D.
7.为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教每所学校至少安排一名教师受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有种．
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于的展开式，下列说法正确的是( )
A. 展开式共有项 B. 展开式中的常数项是
C. 展开式中各项系数之和为 D. 展开式中的二项式系数之和为
10.若随机变量服从两点分布，其中，、分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数，则( )
A. 当时，函数的减区间为
B. 当时，函数的图象是中心对称图形
C. 若是函数的极大值点，则实数的取值范围为
D. 若过原点可作三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，若，则实数的值为 ．
13.已知函数，，则的最小值为 ．
14.商场里有两个餐馆，已知小明每天中午都会在这两个餐馆中选择一个就餐，如果小明当天选择了某个餐馆，他第二天会有的可能性换另一个餐馆就餐，假如第天小明选择了餐馆，则第天选择餐馆的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数在点处的切线斜率为，且在处取得极值．
求函数的解析式；
当时，求函数的最值．
16.本小题分
某大学社团共有名大学生，其中男生人，女生人，从这名大学生中任选人参加比赛．
设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求；
设所选的人中男生和女生的人数分别为，记，求随机变量的分布列和数学期望．
17.本小题分
用，，，，这五个数字组成无重复数字的自然数．
在组成的五位数中，所有偶数的个数有多少
在组成的五位数中，若从小到大排列，排第几个
在组成的五位数中，数字和相邻的个数有多少
18.本小题分
甲、乙两人为了提升篮球的竞技水平，进行投篮比赛已知甲和乙每次进球的概率分别是和，且每人每次进球与否互不影响制定比赛规则如下：一轮比赛，甲、乙双方需各投篮次一轮比赛结束后，当一方的进球数比另一方的进球数至少多个时，则该方获胜并得分，另一方不得分其他情况，双方均不得分．
若，
假设甲、乙两人各投篮一次，求至少有一人进球的概率；
求在一轮比赛结束后，乙获得分的概率．
若，问至少进行多少轮比赛后，乙累计得分的期望值达到分？
19.本小题分
已知函数，．
讨论的单调区间；
若直线为的切线，求的值．
已知，若曲线在处的切线与有且仅有一个公共点，求的取值范围．
参考答案
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14.
15.因为，
所以，
由题意可知，，，，
所以，解得，，，
所以函数的解析式为，经检验适合题意，
所以；
由知，
令，则，解得，或，
当时，；当时，；
所以在和上单调递增，在上单调递减，
当时，取的极大值为，
当时，取得极小值为，
又，，
所以，．

16.男生甲没有被选中，则从剩余的人中任选人，
故，
男生甲没有被选中，且女生乙被选中，则从剩余的人中选择人，
故，
所以；
的情况一共有，
故的可能取值为，，，
当时，即选择了名男生或名女生，
则，
当时，即选择了名男生和名女生或名女生和名男生，
则，
当时，即选择了名男生和名女生，
则，
故随机变量的分布列为
数学期望为．

17.由题在组成的五位数中，所有的偶数有两类：
第一类是首位即最高位和末尾数均为偶数的数共有个，
第二类是首位即最高位为奇数、末尾为偶数的数共有个，
所以在组成的五位数中，所有偶数的个数有．
或排在首位的数共有个，
则接下来按从小到大排列的数是，
所以在组成的五位数中，若从小到大排列，排第个．
将数字和捆绑在一起作为一个整体，
根据最高位不为可得在组成的五位数中，数字和相邻的个数有个

18.因为甲和乙每次进球的概率分别是和，
所以甲、乙两人各投篮一次，至少有一人进球的概率为．
由题知甲进球个，乙进球个或个，或甲进球个，乙进球个，乙获得分，
记事件：甲进球个，乙进球个或个，事件：甲进球个，乙进球个，事件表示乙获得分，
则，，
易知互斥，所以．
因为一轮比赛结束后，乙获得分的概率为，
设轮比赛后，乙累计得分为，则，
由题知，又，函数在上单调递增，
所以，
由，得到，所以至少进行轮比赛后，乙累计得分的期望值达到分，此时．

19.由，，
当时，，在单调递增，
当时，令，解得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
综上，当时，在单调递增，无单调减区间；
当时，在区间上单调递减，在上单调递增．
设切点为，依题意，，所以，
又，代入可得，，
设，
则，所在单调递增，
因为，所以，．
，，
所以曲线在处的切线方程为，即，
设，，
，
当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，有且仅有一个零点，符合题意；
当时，，在上单调递减，有且仅有一个零点，符合题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
因为，，当，，所以有两个零点，不符题意；
综上，的取值范围是．

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