(共59张PPT)
3．电势差与电场强度的关系
第十章 静电场中的能量
整体感知·自我新知初探
[问题初探] 问题1．公式U＝Ed适用于所有电场吗？
问题2．公式U＝Ed中的d指的是什么？
[提示] 问题1．不是，只适用于匀强电场。
问题2．公式中的d指的是两点沿电场方向的距离，而不是两点间的距离。
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
探究重构·关键能力达成
1．关系：匀强电场中两点间的电势差等于__________与这两点__________________的乘积。
2．关系式：UAB＝____。
3．适用条件：______电场。
知识点一 匀强电场中电势差与电场强度的关系
电场强度
沿电场方向的距离
Ed
匀强
4．电场强度的另一种表述
(1)内容：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的________与两点________________的距离之比。
(2)公式：E＝_______。
(3)物理意义：电场强度在数值上等于沿______方向单位距离上降低的______。
(4)方向：电场强度的方向就是电势降低______的方向。
(5)单位：符号为______。1 ______＝1 N/C。
电势差
沿电场强度方向
电场
电势
最快
V/m
V/m
如图所示的一个匀强电场电场强度大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B 之间的距离为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
问题1．从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
提示：WAB＝Fd＝qEd；WAB＝qUAB。
问题2．比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。
提示：两次做功大小相等；UAB＝Ed。
问题3．B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
提示：UAC＝Ed。
【典例1】 (匀强电场中电势差与电场强度的关系)关于匀强电场中电势差与电场强度的关系，下列说法正确的是( )
A．电势减小最快的方向，必定是电场强度的方向
B．公式UAB＝Ed对匀强电场和非匀强电场都适用
C．在相同距离的两点上，电势差大的其电场强度也必定大
D．任意两点间的电势差等于电场强度和这两点距离的乘积
√
A [电势降低最快的方向，必定是电场强度的方向，故A正确；公式UAB＝Ed只对匀强电场适用，故B错误；在相同距离的两点上，电势差大的其电场强度不一定大；若两点为沿电场线方向相同距离上的两点，电势差大的其电场强度才必定大，故C错误；任意两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向距离的乘积，故D错误。]
[答案] (1)60 V (2)375 V/m 方向平行于ac且由a指向c
实例分析：如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大；如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab【典例3】 (定性判断电势大小)如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线的中点b的电势φb( )
A．等于35 V B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
√
知识点三 用等分法确定等势线和电场线
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
【典例4】 (用等分法分析匀强电场的电势)(一题多法)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，由此可以推断D点的电势φD是( )
A．6 V B．9 V
C．3 V D．12 V
√
甲 乙
√
规律方法 用等分法找等势点的技巧
(1)在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点。
(2)在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向。
(3)等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线。
(4)用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。
【教用·备选例题】
(多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa＝5 V，φc＝
3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小，则( )
A．φb>4 V B．φb<4 V
C．|Wac|＝2|Wdc| D．|Wac|>2|Wdc|
√
√
应用迁移·随堂评估自测
1．如图所示，匀强电场电场强度E＝100 V/m，A、B两点相距
10 cm，则UAB的值为( )
A．－10 V B．10 V
C．－1 000 V D．1 000 V
√
B [A、B两点电势差UAB＝EdAB＝100×0.1 V＝10 V，故选B。]
2．雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫作“跨步电压”。如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点，若O点附近地质结构分布均匀，则地面上以O为圆心的同心圆为一系列的等势线。
图中O、A、B、C在同一直线上，BD是过B点圆的切线，
AB＝BC＝BD，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，
则以下说法正确的是( )
A．图中A、B、C三点中，C点电势最高
B．地面上电子由O向C定向移动
C．为了安全，人应该沿BD方向迈大步快速脱离
D．A、B、C、D四点间电势差大小关系为UAB＞UBC＞UBD
√
D [电线掉落的O点电势最高，沿着电场线电势逐渐降低，故有φO＞φA＞φB＞φD＞φC，则C点电势最低，故A错误；电子受静电力从低电势向高电势移动形成电流，则地面上电子由C向O定向移动，故B错误；为了安全，人应该单脚跳，就不会在人体形成电势差，而不能迈步走动，故C错误；等势线的密度能够表示电场强度的大小，而AB＝BC，则AB段的电场强度大于BC段的电场强度，由U＝Ed有UAB＞UBC，而φD＞φC，则有UBC＞UBD，故D正确。]
3．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1 m的圆与两坐标轴的交点，已知A、B、D三点的电势分别为φA＝3 V、φB＝－2 V、φD＝8 V，由此可知电场强度的大小为
( )
A．4 V/m B．5 V/m
C．6 V/m D．7 V/m
√
回归本节知识，完成以下问题：
1．电场强度与电势差的关系是怎样的？
2．相邻等势面之间的电势差相同时，等势面越密集的地方，电场强度越大还是越小？
3．既然沿电场线方向是电势降落最快的方向，电场线与等势面应存在什么关系？
提示：电场线与等势面处处垂直且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
?题组一 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A．任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等
C．电势降落的方向一定是电场强度的方向
D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
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题号
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√
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课时分层作业(七) 电势差与电场强度的关系
B [公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。]
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题号
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2．如图所示，在E＝400 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于( )
A．－8 V B．－4 V
C．8 V D．4 V
√
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B [在电场线方向上a、b两点间的距离(或a、b两点所在等势面间的距离)为d′＝d·cos 60°＝0.01 m，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，Uab＝－Ed′＝－4 V，选项B正确。]
3．如图为某匀强电场的等势面分布图(等势面竖直分布)，已知每两个相邻等势面相距 2 cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为( )
A．E＝1 V/m，水平向左
B．E＝1 V/m，水平向右
C．E＝100 V/m，水平向左
D．E＝100 V/m，水平向右
√
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5．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且AB＝BC。电场中A、B、C三点的电场强度分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系式错误的是
( )
A．φA>φB>φC B．EC>EB>EA
C．UAB√
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D [由题图中电场线形状可以看出，从A到C电场线越来越密，因此电场强度越来越大，即EC>EB>EA，沿着电场线的方向电势越来越低，因此φA>φB>φC；由于AB＝BC，U＝Ed且B、C间平均电场强度较大，因此UAB1
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?题组三 用等分法确定等势线和电场线
6．如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为( )
A．4 V B．8 V
C．12 V D．16 V
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C [根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段dc，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15 V－9 V＝φc－φd＝18 V－φd，可得φd＝12 V。故选C。]
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7．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
√
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A B
C D
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9．如图所示的匀强电场的电场强度为1.0×103 N/C，abdc为矩形，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是( )
A．a、b之间的电势差为40 V
B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10-3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，静电力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10-3 C的点电荷沿abd从a移到d，静电力做的功是0.25 J
√
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A [由Uab＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A正确；因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故静电力做的功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10-3)×40 J＝
－0.2 J，D错误。]
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10．如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则( )
A．C点的电势φC＝20 V
B．C点的电势φC<20 V
C．C点的电势φC>20 V
D．A、B、C都不正确
√
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11．如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10-4 C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2 J，已知A、B两点间距离为2 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：
(1)电荷由A移到B的过程中，静电力所做的功WAB；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)该匀强电场的电场强度E。
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[答案] (1)－0.2 J (2)1 000 V (3)1×105 V/m
12．为了使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线由A点匀速运动到B点，必须对该电荷施加一个恒力F。如图所示，若AB＝0.4 m，θ＝37°，q＝－3.0×10-7 C，F＝1.5×10-4 N，A点电势φA＝100 V(不计电荷所受到的重力，cos 37°＝0.8)。
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B
两点的等势线，并标明它们的电势；
(2)求q由A点运动到B点的过程中电势能的改变量及B点
的电势。
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[答案] (1)见解析图 (2)4.8×10-5 J －60 V
13．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV
D．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
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133．电势差与电场强度的关系
[学习任务] 1．理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，能够推导出这个关系式。
2．知道电场强度的另一种关系，了解电场强度的另一个单位“伏每米”的意义。
3．会用关系式UAB＝Ed或E＝进行有关的计算。
[问题初探] 问题1．公式U＝Ed适用于所有电场吗？
问题2．公式U＝Ed中的d指的是什么？
[提示] 问题1．不是，只适用于匀强电场。
问题2．公式中的d指的是两点沿电场方向的距离，而不是两点间的距离。
[自我感知] 经过你认真的预习，结合你对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系。
匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关系：匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。
2．关系式：UAB＝Ed。
3．适用条件：匀强电场。
4．电场强度的另一种表述
(1)内容：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点之间的电势差与两点沿电场强度方向的距离之比。
(2)公式：E＝。
(3)物理意义：电场强度在数值上等于沿电场方向单位距离上降低的电势。
(4)方向：电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
(5)单位：符号为V/m。1 V/m＝1 N/C。
如图所示的一个匀强电场电场强度大小为E，A、B是沿电场方向上的两点，其电势差为UAB，A、B 之间的距离为d。现将一个电荷量为q的电荷由A移到B。
问题1．从力和位移的角度计算静电力所做的功；通过A、B间的电势差计算静电力做的功。
提示：WAB＝Fd＝qEd；WAB＝qUAB。
问题2．比较两次计算的功的大小，说明电势差与电场强度有何关系。
提示：两次做功大小相等；UAB＝Ed。
问题3．B、C在同一等势面上，UAC与电场强度有何关系？
提示：UAC＝Ed。
1．对关系式E＝的理解
(1)大小关系：由E＝可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势，电场强度是电势差对空间位置的变化率，电势随空间变化的快慢反映了电场强度的大小。
(2)方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。
2．匀强电场中两点间电势差的三种求法
(1)应用定义式UAB＝φA－φB求解。
(2)应用关系式UAB＝求解。
(3)应用关系式UAB＝Ed求解。
【典例1】 (匀强电场中电势差与电场强度的关系)关于匀强电场中电势差与电场强度的关系，下列说法正确的是( )
A．电势减小最快的方向，必定是电场强度的方向
B．公式UAB＝Ed对匀强电场和非匀强电场都适用
C．在相同距离的两点上，电势差大的其电场强度也必定大
D．任意两点间的电势差等于电场强度和这两点距离的乘积
A [电势降低最快的方向，必定是电场强度的方向，故A正确；公式UAB＝Ed只对匀强电场适用，故B错误；在相同距离的两点上，电势差大的其电场强度不一定大；若两点为沿电场线方向相同距离上的两点，电势差大的其电场强度才必定大，故C错误；任意两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向距离的乘积，故D错误。]
【典例2】 如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10-10 C的正电荷由a点移到b点和由a点移到c点，静电力做功都是3.0×10-8 J，已知a、b、c三点的连线组成了一个直角三角形，ab＝20 cm，∠a＝37°，∠c＝90°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)a、b两点的电势差Uab；
(2)匀强电场的电场强度大小和方向。
[思路点拨] (1)静电力对电荷做功一定时，初、末位置的电势差一定，其数值可由U＝求解。
(2)匀强电场的电场强度可由公式E＝求解。
[解析] (1)因为正电荷从a到b和从a到c，静电力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，根据电场线与等势面垂直，可知电场强度方向与ac平行，垂直指向bc。
Uab＝＝ V＝60 V。
(2)由U＝Ed可得
E＝＝＝ V/m＝375 V/m
电场强度方向平行于ac，且由a指向c。
[答案] (1)60 V (2)375 V/m 方向平行于ac且由a指向c
利用E＝定性分析非匀强电场
1．UAB＝Ed只适用于匀强电场的定量计算，在非匀强电场中，不能进行定量计算，但可以定性地分析有关问题。
2．在同一幅等势面图中，相邻等差等势面间的间距越小(等差等势面越密)，电场强度E＝就越大。
实例分析：如图甲所示，在等差等势面中等势面越密的地方电场强度就越大；如图乙所示，a、b、c为某条电场线上的三个点，且距离ab＝bc，由于电场线越密的地方电场强度越大，故Uab【典例3】 (定性判断电势大小)如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，φa＝50 V，φc＝20 V，则a、c连线的中点b的电势φb( )
A．等于35 V B．大于35 V
C．小于35 V D．等于15 V
C [从电场线疏密可以看出ab段电场强度大于bc段电场强度，由U＝Ed可以判断Uab＞Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb＜＝35 V，故C正确。]
用等分法确定等势线和电场线
1．两个重要结论
结论1：匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC＝，如图甲所示。
结论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，同理有UAC＝UBD，如图乙所示。
2．确定电场方向的方法
先由等分法确定电势相等的点，画出等势线，然后根据电场线与等势面垂直画出电场线，且电场线的方向由电势高的等势面指向电势低的等势面。
【典例4】 (用等分法分析匀强电场的电势)(一题多法)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一正方形的四个顶点，已知A、B、C三点的电势分别是φA＝15 V，φB＝3 V，φC＝－3 V，由此可以推断D点的电势φD是( )
A．6 V B．9 V
C．3 V D．12 V
B [方法一：如图甲所示，根据A、B、C三点电势的特点，连接AC并在AC连线上取M、N两点，使AM＝MN＝NC。尽管AC不一定是电场强度方向，但可以肯定AM、MN、NC在电场强度方向上的投影长度相等。由U＝Ed可知，UAM＝UMN＝UNC＝＝ V＝6 V。由此可知，φN＝3 V，φM＝9 V，B、N两点在同一等势线上，根据几何知识不难证明MD平行于BN，即MD也为等势线，所以φD＝φM＝9 V。
甲 乙
方法二：在匀强电场中，除等势面上的直线外，任何一条直线上两点间的电势差一定与这两点间的距离成正比。
如图乙所示，连接AC、BD交于O点，则有UAO＝UOC，UBO＝UOD。φA－φO＝＝ V＝9 V，φO＝φA－9 V＝15 V－9 V＝6 V，φB－φO＝φO－φD，所以φD＝2φO－φB＝2×6 V－3 V＝9 V。
方法三：由匀强电场的特点知，在匀强电场中，相互平行且相等的线段两端点间的电势差相等。故有UAB＝UDC，即φA－φB＝φD－φC，所以φD＝9 V。]
【典例5】 (用等分法分析匀强电场强度)如图所示，A、B、C、D是匀强电场中的四个点，D是BC的中点，A、B、C构成一个直角三角形，AB长为1 m，电场线与三角形所在的平面平行，已知φA＝5 V、φB＝－5 V、φC＝15 V，由此可以判断( )
A．电场强度的方向由C指向B
B．电场强度的方向垂直AD连线斜向上
C．电场强度的大小为10 V/m
D．电场强度的大小为 V/m
D [匀强电场中，φB＝－5 V，φC＝15 V，则B、C连线的中点D的电势为φD＝＝ V＝5 V，故φD＝φA，AD为一条等势线，根据电场线与等势线垂直，沿着电场线方向电势降低，可知电场强度的方向垂直于AD连线斜向下，A、B错误；电场强度的大小E＝＝ V/m＝ V/m，C错误，D正确。]
用等分法找等势点的技巧
(1)在匀强电场中，将电势最高点和电势最低点连接后，根据需要等分成若干段，必能找到第三点的等势点。
(2)在匀强电场中，两等势点的连线一定是等势线，与等势线垂直、由高电势指向低电势的方向一定是电场方向。
(3)等分法的关键是找到电势相等的点，进而画出电场线。
(4)用等分法确定电势或电场强度方向只适用于匀强电场。
【教用·备选例题】
(多选)如图所示为某一电场的电场线和等势面。已知φa＝5 V，φc＝3 V，ab＝bc，b点电势为φb，b、d在同一等势面上。以|Wac|表示点电荷q由a点移到c点过程中静电力做功的大小，|Wdc|表示点电荷q由d点移到c点过程中静电力做功的大小，则( )
A．φb>4 V B．φb<4 V
C．|Wac|＝2|Wdc| D．|Wac|>2|Wdc|
BD [由电场线的疏密程度可知ab段上各点电场强度大于bc段上各点电场强度，由U＝Ed可定性判断出Uab>Ubc，即φa－φb>φb－φc，所以φb<＝4 V，故A错误，B正确；又因为Uac＝Uab＋Ubc，所以Uac>2Ubc，b、d在同一等势面上，则φb＝φd，故Uac>2Udc，由静电力做功W＝qU，得|Wac|>2|Wdc|，故C错误，D正确。]
1．如图所示，匀强电场电场强度E＝100 V/m，A、B两点相距10 cm，则UAB的值为( )
A．－10 V
B．10 V
C．－1 000 V
D．1 000 V
B [A、B两点电势差UAB＝EdAB＝100×0.1 V＝10 V，故选B。]
2．雷电击中地面或高压输电线掉落到地面时，都会在以落地点为中心的一定区域内的地面上形成一个强电流场，如果有人站在这个区域内，双脚间会存在一定的电势差，叫作“跨步电压”。如图所示，一条电势远高于地面的高压直流输电线掉落在地面上的O点，若O点附近地质结构分布均匀，则地面上以O为圆心的同心圆为一系列的等势线。图中O、A、B、C在同一直线上，BD是过B点圆的切线，AB＝BC＝BD，电线落地时恰好有人单脚着地站在B点，则以下说法正确的是( )
A．图中A、B、C三点中，C点电势最高
B．地面上电子由O向C定向移动
C．为了安全，人应该沿BD方向迈大步快速脱离
D．A、B、C、D四点间电势差大小关系为UAB＞UBC＞UBD
D [电线掉落的O点电势最高，沿着电场线电势逐渐降低，故有φO＞φA＞φB＞φD＞φC，则C点电势最低，故A错误；电子受静电力从低电势向高电势移动形成电流，则地面上电子由C向O定向移动，故B错误；为了安全，人应该单脚跳，就不会在人体形成电势差，而不能迈步走动，故C错误；等势线的密度能够表示电场强度的大小，而AB＝BC，则AB段的电场强度大于BC段的电场强度，由U＝Ed有UAB＞UBC，而φD＞φC，则有UBC＞UBD，故D正确。]
3．如图所示，A、B、C、D是匀强电场中一个以坐标原点为圆心、半径为1 m的圆与两坐标轴的交点，已知A、B、D三点的电势分别为φA＝3 V、φB＝－2 V、φD＝8 V，由此可知电场强度的大小为( )
A．4 V/m B．5 V/m
C．6 V/m D．7 V/m
B [在匀强电场中，由U＝Ed可知沿着同一方向(非等势面上)，每前进相同的距离，电势降低或升高的值相等；根据几何知识可知AB＝CD，且AB∥CD，说明AB间的电势差等于CD间的电势差。故φA－φB＝φD－φC，代入数据解得φC＝3 V，即C点的电势为3 V，可知AC为等势面，电场强度方向与等势面垂直，从高电势指向低电势，即由D指向B，根据U＝Ed可得电场强度大小为E＝＝ V/m＝5 V/m，故B正确。]
回归本节知识，完成以下问题：
1．电场强度与电势差的关系是怎样的？
提示：在匀强电场中，E＝。
2．相邻等势面之间的电势差相同时，等势面越密集的地方，电场强度越大还是越小？
提示：根据E＝可知，等势面越密集的地方，电场强度越大。
3．既然沿电场线方向是电势降落最快的方向，电场线与等势面应存在什么关系？
提示：电场线与等势面处处垂直且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。
课时分层作业(七) 电势差与电场强度的关系
?题组一 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1．关于匀强电场中的电场强度和电势差的关系，下列说法正确的是( )
A．任意两点间的电势差等于电场强度和这两点间距离的乘积
B．沿电场线方向上，相同距离上电势降落一定相等
C．电势降落的方向一定是电场强度的方向
D．电势降落最快的方向不一定是电场强度的方向
B [公式UAB＝Ed中的d是沿电场强度的方向上两点间的距离，A错误；沿电场线方向上，相同距离上电势降落相等，B正确；在匀强电场中，沿不同方向电势均可减小，但沿电场强度方向电势降落最快，C、D错误。]
2．如图所示，在E＝400 V/m的匀强电场中，a、b两点相距d＝2 cm，它们的连线跟电场强度方向的夹角是60°，则Uab等于( )
A．－8 V B．－4 V
C．8 V D．4 V
B [在电场线方向上a、b两点间的距离(或a、b两点所在等势面间的距离)为d′＝d·cos 60°＝0.01 m，根据匀强电场中电势差与电场强度的关系可知，Uab＝－Ed′＝－4 V，选项B正确。]
3．如图为某匀强电场的等势面分布图(等势面竖直分布)，已知每两个相邻等势面相距 2 cm，则该匀强电场的电场强度大小和方向分别为( )
A．E＝1 V/m，水平向左
B．E＝1 V/m，水平向右
C．E＝100 V/m，水平向左
D．E＝100 V/m，水平向右
C [匀强电场的电场强度大小E＝＝ V/m＝100 V/m ，沿电场线方向电势降低，可知电场强度方向水平向左。 故选C。]
?题组二 利用E＝定性分析非匀强电场
4．如图所示，三个同心圆是点电荷q周围的三个等势面，A、B、C是这三个等势面与一条电场线的交点，且AB＝BC。A、C两点的电势分别为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势( )
A．等于6 V B．低于6 V
C．高于6 V D．无法确定
B [因点电荷所形成的电场离点电荷越远电场强度越小，故有φA－φB＞φB－φC，即φB＜＝6 V，B正确。]
5．如图所示，实线为电场线，虚线为等势面，且AB＝BC。电场中A、B、C三点的电场强度分别为EA、EB、EC，电势分别为φA、φB、φC，AB、BC间的电势差分别为UAB、UBC，则下列关系式错误的是( )
A．φA>φB>φC B．EC>EB>EA
C．UABD [由题图中电场线形状可以看出，从A到C电场线越来越密，因此电场强度越来越大，即EC>EB>EA，沿着电场线的方向电势越来越低，因此φA>φB>φC；由于AB＝BC，U＝Ed且B、C间平均电场强度较大，因此UAB?题组三 用等分法确定等势线和电场线
6．如图所示，在匀强电场中有a、b、c、d四点，它们处于同一圆周上，且ac、bd分别是圆的直径。已知a、b、c三点的电势分别为φa＝9 V，φb＝15 V，φc＝18 V，则d点的电势为( )
A．4 V B．8 V
C．12 V D．16 V
C [根据几何知识知，ab长度等于dc长度，且线段ab平行于线段dc，根据在匀强电场中平行相等两线段端点之间的电势差相等，则φb－φa＝15 V－9 V＝φc－φd＝18 V－φd，可得φd＝12 V。故选C。]
7．(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场强度方向的是( )
A B
C D
BC [根据匀强电场的特点可知，H、F的电势分别为φH＝4 V，φF＝3 V，G的电势φG＝＝4 V，则φH＝φG，则电场线垂直于GH，又φC＝φF＝3 V，可知电场线也与CF垂直，故选BC。]
8．(多选)实践中常通过描出等势线的方式确定电场的情况。如图所示，在平行纸面的匀强电场中，有OP、OQ两条线段，且OP＝2 cm，OQ＝8 cm，OP、OQ夹角为60°，现测得O、P间电势差是－3 V，O、Q间电势差是－12 V，则( )
A．P、Q间电势差为9 V
B．P、Q间电势差为－9 V
C．电场强度大小为100 V/m
D．电场强度大小为150 V/m
BC [根据题意，设O点电势为零，则有UOP＝φO－φP，UOQ＝φO－φQ，解得φP＝3 V，φQ＝12 V，则P、Q间电势差为UPQ＝3 V－12 V＝－9 V，故A错误，B正确；根据题意，根据匀强电场中的电势分布特点，把OQ四等分，如图所示。
可得φA＝3 V，则图中过P、A两点的虚线为等势线，过O点作PA的垂线，交PA于B点，则过OB的直线为电场线，由匀强电场与电势差的关系E＝可得，电场强度的大小为E＝＝100 V/m，故D错误，C正确。]
9．如图所示的匀强电场的电场强度为1.0×103 N/C，abdc为矩形，ab平行于电场线，ab＝cd＝4 cm，ac＝bd＝3 cm。则下述计算结果正确的是( )
A．a、b之间的电势差为40 V
B．a、c之间的电势差为50 V
C．将q＝－5×10-3 C的点电荷沿矩形路径abdca移动一周，静电力做的功是－0.25 J
D．将q＝－5×10-3 C的点电荷沿abd从a移到d，静电力做的功是0.25 J
A [由Uab＝Ed得Uab＝1.0×103×0.04 V＝40 V，A正确；因为a、c在同一等势面上，所以Uac＝0，B错误；将电荷沿abdca移动一周，位移为0，故静电力做的功为0，C错误；Wad＝Wab＝qUab＝(－5×10-3)×40 J＝－0.2 J，D错误。]
10．如图所示，在某电场中画出了四条电场线，C、D两点是AB连线的三等分点。已知A点的电势为φA＝30 V，B点的电势为φB＝0，则( )
A．C点的电势φC＝20 V
B．C点的电势φC<20 V
C．C点的电势φC>20 V
D．A、B、C都不正确
B [由题图看出，AC段电场线比CD段、DB段电场线密，则AC段电场强度最大，根据公式U＝Ed可知，A、C间电势差UAC大于C、D间电势差UCD和D、B间电势差UDB。所以UAC＞UAB＝(φA－φB)＝10 V，即(φA－φC)＞10 V，又φA＝30 V，可知φC＜20 V。所以B选项正确。]
11．如图所示，在匀强电场中，将一电荷量为2×10-4 C的负电荷由A点移到B点，其电势能增加了0.2 J，已知A、B两点间距离为2 cm，两点连线与电场方向成60°角，求：
(1)电荷由A移到B的过程中，静电力所做的功WAB；
(2)A、B两点间的电势差UAB；
(3)该匀强电场的电场强度E。
[解析] (1)因负电荷由A移到B的过程中，负电荷的电势能增加了ΔE＝0.2 J，所以这个过程中静电力对负电荷所做的功WAB＝－ΔE＝－0.2 J。
(2)A、B两点间的电势差
UAB＝＝ V＝1 000 V。
(3)匀强电场的电场强度
E＝＝ V/m＝1×105 V/m。
[答案] (1)－0.2 J (2)1 000 V (3)1×105 V/m
12．为了使带负电的点电荷q在一匀强电场中沿直线由A点匀速运动到B点，必须对该电荷施加一个恒力F。如图所示，若AB＝0.4 m，θ＝37°，q＝－3.0×10-7 C，F＝1.5×10-4 N，A点电势φA＝100 V(不计电荷所受到的重力，cos 37°＝0.8)。
(1)在图中用实线画出电场线，用虚线画出通过A、B两点的等势线，并标明它们的电势；
(2)求q由A点运动到B点的过程中电势能的改变量及B点的电势。
[解析] (1)负电荷q由A点匀速运动到B点，说明负电荷q受到的静电力与力F大小相等，方向相反，故电场线方向与力F方向相同，等势线垂直于该点的电场线，如图所示。
(2)负电荷由A点运动到B点的过程中，静电力所做的功为
W＝qE·AB cos θ＝－F·AB cos θ
＝－1.5×10-4×0.4×0.8 J＝－4.8×10-5 J
根据功能关系可知，电势能增加4.8×10-5 J
根据W＝q(φA－φB)得，B点电势为
φB＝φA－＝－60 V。
[答案] (1)见解析图 (2)4.8×10-5 J －60 V
13．(多选)一匀强电场的方向平行于xOy平面，平面内a、b、c三点的位置如图所示，三点的电势分别为10 V、17 V、26 V。下列说法正确的是( )
A．电场强度的大小为2.5 V/cm
B．坐标原点处的电势为1 V
C．电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV
D．电子在a点的电势能比在b点的低7 eV
ABC [将电场强度在水平和竖直方向上分解，沿x轴方向Ex＝＝＝2 V/cm，沿y轴方向Ey＝＝＝1.5 V/cm，则合电场强度E＝＝2.5 V/cm，故A正确；在匀强电场中，平行等距的两线段电势差相等，故φc－φa＝φb－φO，解得坐标原点处的电势为1 V，故B正确；电子在c点电势能Epc＝－eφc＝－26 eV，电子在b点电势能Epb＝－eφb＝－17 eV，电子在b点的电势能比在c点的高9 eV，故电子从b点运动到c点，静电力做功为9 eV，故C正确；电子在a点电势能Epa＝＝－10 eV，电子在a点的电势能比在b点的高7 eV，故D错误。]
