2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷2（含解析）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2024-2025学年八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中的最简二次根式是( )
A. B. C. D.
2.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列各组数据中，不能作为直角三角形边长的是( )
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
4.下列命题是假命题的是( )
A. 两组边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 有一组邻边相等的矩形是正方形
5.中，，，高，则的长为( )
A. B. C. 或 D. 以上都不对
6.如图，则化简的结果为( )
A. B. C. D.
7.如图，菱形的一边中点到对角线交点的距离为，则菱形的周长为( )
A. B. C. D.
8.一艘轮船以海里时的速度离开港口如图，向北偏东方向航行，另一艘轮船同时以海里时的速度向北偏西某一角度的航向行驶，已知它们离港口一个半小时后相距海里即海里，则另一艘轮船航行的方向是北偏西( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在四边形中，点，，，分别是，，，的中点，若四边形是矩形，则四边形需满足的条件是( )
A. B. C. D.
10.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，若，，则下列结论：，，，其中结论正确的有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.二次根式有意义，则的取值范围是 ．
12.若与互为相反数，则 ______．
13.如图，在一个高为，长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是______．
14.如图，等腰直角三角形的直角边长为，分别以它的三边为直径向上作半圆，则图中阴影部分的面积是______．
15.如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，，若菱形的面积为，则的长为______．
16.如图，在中，，，，为斜边上的一个动点，过点作于点，于点则线段的最小值是______．
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
计算：．
19.本小题分
如图，在中，，，，，垂足为，求的长．
20.本小题分
已知求代数式：，，求代数式的值．
21.本小题分
如图，是的角平分线，过点分别作和的平行线，交于点，交于点求证：四边形是菱形．
22.本小题分
如图，在菱形中，，，点是边的中点，点是边上一动点不与点重合，延长交射线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
填空：
当的值为______时，四边形是矩形；
当的值为______时，四边形是菱形．
23.本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求的度数；
求四边形的面积．
24.本小题分
如图，在矩形中，，在边上找一点，沿直线把折叠，使得点恰好落在边上的点处，且解答下列问题：
求的长．
求的面积．
25.本小题分
阅读下列解题过程：
；
．
请解答下列问题：
观察上面解题过程，计算：；
利用上面的解法，请化简：．
26.本小题分
已知：如图，在矩形中，是边上一点，过点作对角线的平行线，交于，交和的延长线于点，．
求证：≌；
若，则四边形是什么特殊四边形？并证明你的结论．
27.本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是过点作于点，连接、．
用的代数式表示：______；______；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值；如果不能，请说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、，故不是最简二次根式，本选项错误；
B、，故不是最简二次根式，本选项错误；
C、，故不是最简二次根式，本选项错误；
D、是最简二次根式，本选项正确．
故选D．
根据最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，结合选项求解即可．
本题考查了最简二次根式的知识，解答本题的关键在于掌握最简二次根式的概念，对各选项进行判断．
2.【答案】
【解析】解：、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项正确；
故选：．
直接利用二次根式的乘除运算法则分别化简得出答案．
此题主要考查了二次根式的乘除法，正确化简二次根式是解题关键．
3.【答案】
【解析】解：、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，根据勾股定理的逆定理可知不是直角三角形，故本选项符合题意；
D、，根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．因此，只需要判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：计算两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
4.【答案】
【解析】解：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，原说法是假命题，不符合题意；
对角线互相垂直且平分的四边形是菱形，是真命题，符合题意；
有三个角是直角的四边形是矩形，是真命题，不符合题意；
有一组邻边相等的矩形是正方形，是真命题，不符合题意，
故选：．
根据平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定定理对各选项逐项判断即可．
本题考查的是命题与定理，熟知平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定定理是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，锐角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC；
钝角中，，，边上高，
在中，，由勾股定理得
，
则，
在中，，由勾股定理得
，
则，
故BC的长为．
故选：．
分两种情况讨论：锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得，，再由图形求出，在锐角三角形中，，在钝角三角形中，．
本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．
6.【答案】
【解析】解：由题意得，
，
．
故选：．
先从数轴判断出的取值范围，在依次化简绝对值和二次根式即可得到答案．
本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，绝对值，掌握二次根式的性质与化简的方法是关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质对角线互相垂直、四条边相等，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记菱形的性质是解题的关键．
根据菱形的对角线互相垂直和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可以求得菱形的边长即，根据菱形的四条边相等，从而不难求得其周长．
【解答】解：菱形的对角线互相垂直，
是直角三角形，
是的中点，
，
则菱形的周长为．
故选A．
8.【答案】
【解析】解：由题意得：
海里，海里，
，，
，
，
，
另一艘轮船的航行的方向是：北偏西，
故选：．
根据题意可得海里，海里，然后利用勾股定理的逆定理求出，然后进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了三角形的中位线定理和平行四边形的判定和矩形的判定等知识，熟练掌握中点四边形的判定是解题关键．
根据“有一内角为直角的平行四边形是矩形”来推断．由三角形中位线定理和平行四边形的判定定理易推知四边形是平行四边形，若或者就可以判定四边形是矩形．
【解答】解：当时，四边形是矩形，
理由：点，，，分别是，，，的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
即，
四边形是矩形；
故选A．
10.【答案】
【解析】解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故正确；
，，
，，
，
中，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
中，，．
故正确；
由知：，
，
故正确；
由知：，
，
，
故正确；
故选：．
先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；
先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算，的长，即可求的长．
因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；
根据三角形中位线定理可作判断．
本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形的中位线定理和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：二次根式有意义，则，
故的取值范围是．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．
12.【答案】
【解析】解：和互为相反数，
，
，
，，
．
故答案为：．
根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为，则这几个非负数分别等于，并正确得出未知数的值是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
因为地毯铺满楼梯时，其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是．
故答案为：．
当地毯铺满楼梯时，其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可．
本题考查了勾股定理的知识，与实际生活相联系，加深了学生学习数学的积极性．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
图中阴影部分的面积
，
故答案为：．
根据图中阴影部分的面积求解即可．
本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
菱形的面积，
，
，
在中，由勾股定理得：，
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再求出，则，然后由菱形面积求出，则，即可解决问题．
本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：连接，如图所示：
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，，，
，
当时，最短，此时的面积，
的最小值，
线段的最小值为；
故答案为：．
连接，先证明四边形是矩形，得出，再由三角形的面积关系求出的最小值，即可得出结果．
本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积公式，求出的长是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：
．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】．
【解析】解：
．
先算乘法，再算加减即可．
本题考查的是二次根式的混合运算．掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】．
【解析】解：，，，
，
，
，
．
先根据勾股定理求出的长，再利用三角形面积公式得出，即可求出．
此题主要考查学生对勾股定理和三角形面积的灵活运用，解答此题的关键是三角形的面积可以用表示，也可以用表示，这是此题的突破点．
20.【答案】解：，，
，，
原式．
【解析】先求出，，再将代数式利用完全平方公式变形，代值即可求出．
本题考查代数式求值，涉及到二次根式的运算，解题关键是熟悉完全平方公式进行巧算．
21.【答案】证明：是的角平分线，
，
，，
四边形是平行四边形，，
，
，
平行四边形是菱形．
【解析】本题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．
由已知易得四边形是平行四边形，由角平分线和平行线的定义可得，根据等角对等边可得，再根据邻边相等的平行四边形是菱形可得结论．
22.【答案】证明：四边形是菱形，
，
，，
点是边的中点，
，
在和中，≌，
，
四边形是平行四边形；
；
．
【解析】解：证明：四边形是菱形，
，
，，
点是边的中点，
，
在和中，≌，
，
四边形是平行四边形；
当的值为时，四边形是矩形．理由如下：
四边形为菱形，
，
点是边的中点，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形．
故答案为：；
当的值为时，四边形是菱形．理由如下：
，，
，
，
是等边三角形，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：．
由菱形的性质可得，再由点是边的中点，可得，从而可证明≌，则，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案；
当的值为时，四边形是矩形．根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判定；当的值为时，四边形是菱形．根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判定．
本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
23.【答案】解：连结，
，，
，，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
．
在中，，
在中，．
．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接，并证明是直角三角形．
连接，由于，，利用勾股定理可求，并可求，而，，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求；
利用四边形的面积为和面积之和进行计算即可．
24.【答案】解：在中，，，由勾股定理得，
，
由翻折变换可得，
；
由翻折变换得，，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
，
即，
解得，
即，
，
答：的面积为．
【解析】在直角三角形中，根据勾股定理求出，在由翻折变换可得即可；
根据翻折变换可得，在直角三角形中，由勾股定理求出，再根据三角形的面积计算公式进行计算即可．
本题考查翻折变换，矩形以及直角三角形的边角关系，掌握翻折变换的性质，直角三角形边角关系以及矩形的性质是解决问题的前提．
25.【答案】；
．
【解析】解：原式；
，
原式
．
根据平方差公式，进行分母有理化即可；
根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算，可得答案．
本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
26.【答案】证明：四边形是矩形，
，，，即，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
≌．
四边形是正方形．
理由：，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形是正方形．
【解析】本题考查了矩形和正方形的性质，正方形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键．
根据可以证明两三角形全等；
先根据平行线的性质和已知可得，所以是等腰直角三角形，所以，可得结论．
27.【答案】；
，
由得：，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时， 是菱形；
分两种情况：
当时，如图，．
，
，
，
，
当时，如图，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，
解得．
综上所述，当或时，是直角三角形．
【解析】解：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
故答案为：，；
见答案
见答案
根据两动点的速度与时间表示出，，在直角三角形中，利用度角所对的直角边等于斜边的一半表示出即可；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．
本题主要考查直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形、菱形的判定是解题的关键．
第2页，共2页
第1页，共1页