期末练习卷（含解析）-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）

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期末练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（ ）
A． B．
C． D．
2．化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》和《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这四部数学名著中选择2部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．2024年9月25日，我国火箭军成功发射洲际导弹，创下新的世界纪录，射程达到12000公里左右，数据12000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，有以下四个条件：①；②；③；④．⑤，其中能判定的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，，直线分别截，于，，已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在中，平分于点，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
8．下列图形阴影部分的面积能够直观地解释的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．若 ，，则的值为 ．
10．已知，则
11．面对全球淡水资源日益减少的现状，倡导全民节约用水．若拧不紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升，则从计时开始，拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系式是 ．
12．在同一平面内，，射线与的一边所成夹角为直角，射线平分，则的度数为 ．
13．西气东输工程是我国迄今为止距离最长、口径最大的管道运输工程之一，肩负着将西部天然气输送到东部的重要任务．某工程队在管道铺设到某段落的B点时，施工人员遇到了一处无法穿越的地质障碍，不得不调整铺设路线．新的铺设路线在B的南偏东方向上，且，若要回到最初的铺设方向上，必须保证 °．
14．如图，点、、分别为内部三点，连接、、，，，，，则的补角的度数为 ．
15．某农业研究院进行一项新品种果树苗在相同条件下移植实验．下表为实验结果：
移植棵数
成活数
成活率
通过表中数据．估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为 （精确到）．
16．如图，，，，，分别平分和，则，满足的数量关系为： ．
三、解答题
17．计算：
18．如图，直线交于点O，过点O作射线，使平分，．
(1)若，求的度数；
(2)若，求的度数．
19．实验测得声速与气温的一些数据如下表：
气温 0 1 2 3 4
声速 331 331.6 332.2 332.8 333.4
(1)此表反映的是________随________变化的情况；
(2)请直接写出与之间的关系式：________；
(3)某人看到烟花燃放后才听到声响，且此人与烟花燃放所在地的距离为，求此时的气温．
20．推理填空：如图，直线，被直线所截，是的平分线，若，，求的度数．
解：因为AD是的平分线，
所以（____________________）．
因为，
所以__________（____________________）
所以__________ __________（____________________）
所以（____________________）
因为，所以．
21．某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小顾购此新商品花了85元．
(1)她获得奖品的概率是多少？
(2)她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？
22．（新考向）如图①，把一块含角的直角三角尺的边放置于长方形直尺的边上．
(1)填空：______°，______°；
(2)现把三角尺绕点逆时针旋转．
①如图②．当，且点恰好落在边上时，求，的度数（结果用含的式子表示）；
②当时，是否会存在三角尺某一边所在的直线与直尺（有四条边）某一边所在的直线垂直？如果存在，请直接写出所有的值和对应的那两条垂线；如果不存在，请说明理由．
23．观察下列各式：
①；
②；
③；
④
请回答下列问题：
(1)总结公式：______；
(2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值；
(3)已知a，b，m，n均为整数，且若，请直接写出n的值．
24．已知：如图1，在直线上取一点O，以点O为端点作射线，，分别作平分，平分，令，．
(1)如图2，若与重合，其中，，则________；
(2)如图3，B，C为直线同侧的点，，是钝角，
①依题意，在图3中画出射线及的平分线；
②求的度数（用含α的式子表示）；
(3)当，都是锐角时，直接写出的角度（若不是确定角度则用含α，β的代数式表示）．
《期末练习卷-2024-2025学年数学七年级下册北师大版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D D C B D D D
1．C
【分析】本题考查了垂线段最短，线段的性质，根据垂线段最短，线段的性质分别判断即可．熟记垂线段最短是解题的关键．
【详解】解：A、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
故选：C．
2．D
【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键．先利用乘方变为同底数幂的乘法，再计算即可．
【详解】解：
，
故选：D．
3．D
【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．画树状图表示出所有等可能得情况和恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况，然后利用概率公式求解即可．
【详解】将四部名著《周髀算经》， 《算学启蒙》， 《测圆海镜》， 《四元玉鉴》分别记为， ， ， ，根据题意可以画出如下的树状图：
由树状图可以看出，所有可能的结果有种，并且这种结果出现的可能性相等，
其中恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的情况有种，
∴恰好选中《算学启蒙》和《测圆海镜》的概率是 ，
故选： D．
4．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法进行解答即可．
【详解】解：12000用科学记数法表示为．
故选：Ｃ．
5．B
【分析】本题考查了平行线的判定定理：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法逐项分析即可．
【详解】解：①∵，∴，故符合题意；
②∵，∴，不能判断，故不符合题意；
③∵，∴，故符合题意；
④∵，∴，故符合题意；
⑤∴，不能判断，故不符合题意；
综上，①③④都能判定，
故选：B．
6．D
【分析】设的对顶角为，则，根据两直线平行，同旁内角互补列式解答即可．
本题考查了对顶角相等，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】解：设的对顶角为，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
7．D
【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，逐项判断即可.
【详解】平分，
，①错误；
平分，
，
，
，
，
，
②正确：
，
，
③正确；
当时，
不一定等于，
④错误；
，，
，
⑤错误．
综上，正确的结论有个，
故选D．
8．D
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，熟练根据图形结构进行列等式是正确解答的关键．根据完全平方公式的几何背景，结合面积之间的和差关系进行判断即可．
【详解】解：A中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
B中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
C中，利用阴影部分的面积可得，故不符合题意；
D中，利用阴影部分的面积可得，故符合题意；
故选：D．
9．
【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆用，代数式求值等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则的逆用公式是解题的关键：．
由同底数幂的乘法法则的逆用公式即可直接得出答案．
【详解】解：，，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查了多项式的乘法，根据多项式乘法法则将括号展开后再合并，根据系数相等求出的值，最后代入计算即可．
【详解】解：
又
∴
∴，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查变量之间的关系表示方法，根据题意，用关系式表示拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系即可得到答案，读懂题意是解决问题的关键．
【详解】解：拧不紧的水龙头每秒钟滴水约0.1毫升，
拧不紧的水龙头所滴的水（毫升）与时间（秒）之间的关系式是，
故答案为：．
12．或或
【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的度数的计算，正确作出图形，分类讨论是解题的关键；
根据题意画出符合条件的图形，可以与垂直（如图1），也可以与垂直（如图2），根据图形分别进行讨论进行讨论即可求解．
【详解】解：如图1，当与垂直时
①∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
②∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
当与垂直时，
③∵，，
∵平分，
∴，
∴，
④∵，，
∵平分，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或或．
故答案为：或或．
13．110
【分析】本题主要考查了方向角的概念、平行线的性质等知识点，熟练掌握方向角的概念是解题的关键．
如图：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，依题意得，则，由此得，进而得，据此可得的度数．
【详解】解：如图所示：过点O作交延长线于F，过点C作交延长线于H，
依题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：110．
14．40
【分析】本题主要考查了角平分线、角的和差、余角和补角等知识点，掌握余角和补角的定义成为解题的关键．
根据题意可得，进而得到，再根据余角的定义求得，然后求得，最后根据补角的定义即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴的补角为．
故答案为：40．
15．
【分析】本题考查了用频率估计概率，概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，熟练掌握用频率估计概率的条件和方法是解答的关键．根据表格频率接近，即可求解；
【详解】解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率，
∴估计在相同条件下种植一棵该种果树苗成活的概率约为，
故答案为．
16．
【分析】本题考查了平行线的性质，涉及到的是知识点有内错角和角平分线的定义，解题过程中是否能熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题重点，能否画对辅助线是解题的关键．
根据拐角和的特性，作，，根据两直线平行内错角相等分别推出四个角对应的相等角，再根据平角的定义和角平分线的定义推出，两者的数量关系．
【详解】解：过点作，过点作
，
，分别平分和
故答案为：
17．1
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18．(1)
(2)
【分析】本题考查与角平分线相关的角的计算，垂直的定义，对顶角的性质．掌握角平分线的定义与对顶角的性质是解题的关键．
（1）先求出，再根据角平分线定义求得，根据，即可求得，又由对顶角的性质得，即可由求解．
（2）由垂直定义可得，再根据，即可求得，又由角平分线定义求得，然后由对顶角性质求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
19．(1)声速；气温
(2)
(3)此时的气温为
【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系，找到变量之间的变化规律是本题的关键．
（1）根据表格数据可得出结论；
（2）根据“气温每增加，声速增加”作答即可；
（3）先根据求得声速，再代入，求解即可．
【详解】（1）解：此表反映的是声速随气温变化的情况；
故答案为：声速；气温；
（2）解：因为当气温是时，声速是，
气温每增加，声速增加，
所以与之间的关系式为；
（3）解：设此时气温为，
因为，
所以，
解得．
答：此时的气温为．
20．角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先利用角平分线的定义可得∠1=∠5，从而可得∠3=∠5，进而可得CD∥AB，然后利用平行线的性质可得∠4=∠2，即可解答．熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：∵AD是的平分线，
∴（角平分线的定义）．
∵，
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
∴（两直线平行，同位角相等）
∵，
∴．
故答案为：角平分线的定义；；等量代换；；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
21．(1)她获得奖品的概率是为1
(2)她得到一把雨伞的概率为；她得到一个文具盒的概率为
【分析】本题考查了概率公式：概率公式=某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．P（必然事件）；P（不可能事件）．
（1）她获得奖品为必然事件，从而得到概率为1；
（2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔的概率．
【详解】（1）解：她获得奖品的概率是为1；
（2）解：她得到一把雨伞的概率为；
她得到一个文具盒的概率为．
22．(1)120；90
(2)①，；②存在，当时，；当时，，；当时，
【分析】本题考查了角的计算，垂线的定义，主要利用了平行线的性质，直角三角形的性质，读懂题目信息并准确识图是解题的关键．
（1）根据平行线的性质和邻补角的定义和平行线的性质解答；
（2）①根据邻补角的定义求出，再根据两直线平行，同位角相等可得，根据两直线平行，同旁内角互补求出，然后根据周角等于计算即可得到；
②结合图形，分、、三条边与直尺垂直讨论求解．
【详解】（1）解：∵，，
∴，；
故答案为，；
（2）解：①如图2．
，
，
，
，，
，
；
②当时，，
，
∴；

当时，
，；

当时，
．
23．(1)；
(2)m的值为6或；
(3)n的值为22或8或或
【分析】此题主要考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点．
（1）根据已知算式的规律可得出答案；
（2）根据（1）中的规律得，，再根据a，b，m均为整数，①，；②，；③，；④，，据此可得m的值；
（3）根据中的规律得，，，再根据a，b，m，n均为整数，且得①，；②，；③，；④，，据此可得n的值．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
④；
以此类推，，
故答案为：
（2）解：，
由（1）得：，，
，b，m均为整数，
有以下四种情况：
①，；②，；③，；④，，
①当，时，，
②当，时，，
③当，时，，
④当，时，，
综上所述：m的值为6或
（3）解：，，
，，，
又，b，m，n均为整数，且，
有以下四种情况：
①，；②，；③，；④，，
①当，时，；
②当，时，；
③当，时，；
④当，时，，
综上所述：n的值为22或8或或
24．(1)
(2)见解析
(3)或或180°或
【分析】本题考查几何图形中角度的计算，角平分线的相关计算．熟练掌握角平分线定义，得出角之间的关系是解决问题的关键．
（1）根据图根据题意得到，则问题可解；
（2）①根据题意画图即可；
②由题意得到，进而得到，再由角平分线得到，根据图形表示即可；
（3）分当，在直线同侧时和，在直线异侧且不同的大小关系，分别计算即可．
【详解】（1）解：由题意，，，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：
（2）①由题意，画图如下，
②∵，平分，
∴，
∴,
∵,平分，
∴,
∴
（3）如图，当，在直线同侧时，
由题意，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴
当，在直线异侧，且时，如图，
同理可求，∴，
∴
；
当，在直线异侧，且时，如图，
同理可求，∴，
∴
；
当，在直线异侧，且时，共线，，为对顶角的角平分线，则
综上，的角度为或或或
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