第五章分式与分式方程同步练习卷（含解析）

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第五章分式与分式方程同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．关于的方程的解为正数．则的取值范围为（ ）
A． B．且 C． D．且
2．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小 D．不变
4．分式和的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
5．把分式方程的两边同时乘以，约去分母，得（　　）
A． B．
C． D．
6．某校同学去春游，包了一辆面包车，现价是180元，出发时又增加2名同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费，设实际参加春游同学共有x人，则所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．如果关于的方程无实数根，那么的值为 ．
8．方程的解是 ．
9．按照解分式方程的一般步骤解关于的分式方程出现增根，那么的值为 ．
10．若关于的方程有无数多个解，则 ．
11．观察下列各式：，…请写出你归纳的一般结论： （用含n的代数式表示）．
12．如果关于的不等式的解中仅含有两个正整数，且关于的分式方程的解为非负数，那么整数的值为 ．
13．某同学回家的路上经过一个山坡，已知上山速度为每秒米，下山速度为每秒米，这位同学先上坡，再下坡，且上坡与下坡所走的路程相等，那么在这个上下坡过程中这位同学的平均速度是 ．
14．若关于的分式方程的解为非负数，且关于的一元一次不等式组至少有两个正整数解，则满足条件的所有整数的和为 ．
三、解答题
15．解方程：
(1)；
(2)
16．解方程组：．
17．先化简，再求值：，其中满足．
18．某快递公司采用若干台A、B两种型号的数控机器人分拣快递，已知A型数控机器人比B型数控机器人每小时多分拣30件快递，A型数控机器人分拣900件快递所用时间与B型数控机器人分拣600件快递所用时间相等．
(1)两种数控机器人每小时分别分拣多少件快递？
(2)已知快递公司共有5760件快递需要在内分拣完毕，若两种数控机器人均要投入使用，则有几种分配方案？这些分配方案分别需要A、B两种型号的数控机器人各多少台？
19．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法．
请用类比的方法，解决以下问题：
(1)①已知，…，则依据此规律 ；
②请你利用十字相乘法进行因式分解： ；
(2)若、满足．求的值；
(3)受此启发，解方程．
20．综合与探究
某商场计划购进一批甲、乙两种类型的玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用1200元购进甲种玩具的件数与用2000元购进乙种玩具的件数相同．
(1)甲、乙两种玩具每件的进价分别是多少元？
(2)商场计划购进甲、乙两种玩具共50件，其中甲种玩具的件数不多于24．若商场决定此次进货的总资金不超过1050元，求商场共有几种进货方案．
(3)在（2）的条件下，若每件甲种玩具的售价为40元，每件乙种玩具的售价为55元，商场为扩大销量，推出“买一赠一”活动．顾客从这两种玩具中任购一件，就可以从这两种玩具中任选一件作为赠品．若这批玩具在活动期间全部售出后并恰好获利235元，求商场的进货方案．
《第五章分式与分式方程同步练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A A B D C
1．B
【分析】本题主要考查了解分式方程、根据分式方程解的情况求参数等知识点，解分式方程的验证环节是解题的关键．
先解分式分式方程，然后根据分式方程的解为正数，列出关于a的不等式求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
检验，当，即方程无意义，故，
∵关于的方程的解为正数，
∴，即．
综上，的取值范围为且．
故选B．
2．A
【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．掌握相关知识是解题的关键．最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
【详解】解：A、分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式，符合题意；
B、，故不是最简分式，不符合题意；
C、，故不是最简分式，不符合题意；
D、，故不是最简分式，不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质和约分，是解题的关键．
根据分式的基本性质，即可得到答案．
【详解】解：∵把分式中的和都扩大3倍后，
得：，
∴分式的值扩大了3倍．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得．
【详解】解：∵，，
∴分式和的最简公分母是，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查解分式方程，掌握解分式方程的方式解题的关键，根据解分式方程去分母的方法求解即可．
【详解】解：分式方程的两边同时乘以，约去分母，得，即为．
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，利用每人分摊的车费参加春游的人数，结合实际比原计划每位同学少分摊3元车费，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【详解】解：∵出发时又增加2名同学，且实际参加春游同学共有x人，
∴原计划参加春游的同学共有人，
依题意得：．
故选：C．
7．6或14
【分析】本题考查了分式方程无解问题、实数，熟练掌握分式方程的解法步骤是解题的关键．对方程去分母化为整式方程，再解整式方程得到，根据关于的方程无实数根可知或，得到关于的方程，求解方程即可得出答案．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
关于的方程无实数根，
或，
或，
解得：或，
的值为6或14．
故答案为：6或14．
8．或
【分析】本题考查了求解较复杂的分式方程，观察方程两边的特点，先变形再将方程通分转化为整式方程求解，最后检验即可．
【详解】解：原方程可化为：，
通分得：，
化简得：，
∴当时，方程两边都为0，等式成立，
当时，，
去括号得：，
解得：，
经检验，，都是原方程的解，
故答案为：或．
9．3
【分析】本题考查了分式方程的增根、解分式方程，先将分式方程去分母，化为整式方程，再将增根代入计算即可得出答案．
【详解】解：，
去分母得：，
将增根代入得：，
解得：，
故答案为：3．
10．
【分析】本题主要考查了解分式方程，将分式方程变为，根据分式为0的条件得出，化简得出，根据有无数多个解，得出，求出k的值即可．
【详解】解：，
，
，
∴，
整理得：，
∵方程有无数多个解，
∴，
解得：．
故答案为：．
11．（n为正整数）
【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，根据已知式子找出规律是解题关键．
由已知等式可以猜想出结论；
【详解】解：由已知等式可猜想一般结论：（n为正整数），
证明：，
故答案为：（n为正整数）．
12．
【分析】本题考查了分式方程与不等式，熟练掌握解法是解题的关键．先解不等式得出，根据分式方程的解为非负数，且方程有解，得出且；即可求解．
【详解】解：解不等式 ，得 ．
题目要求解中仅含两个正整数，因此最大的两个正整数解为 和 ，
∴即
∴整数 的可能值为 或 ．
解方程 ，化简得 ，且
即，
解得：且；
综上所述，且；
∴ 时，分式方程解为 ，符合非负且分母不为零；
的值为 ．
故答案为：．
13．每秒米
【分析】本题考查分式的混合运算；得到平均速度的等量关系是解决本题的关键．
平均速度＝总路程总时间，设单程的路程为，表示出上坡下坡的总时间，把相关数值代入化简即可．
【详解】解：设单程的路程为，
上坡需要的时间为，下坡需要的时间为，
∴总时间为，
∴上下坡的平均速度为．
故答案为：每秒米．
14．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及其整数解，解分式方程及其解的问题，熟练掌握相关解法是解题关键．
先解分式方程，根据其解的情况得的不等式，再解不等式组，根据解的情况得到关于的不等式，进而求出的取值范围，即可得出结论．
【详解】解：分式方程，
解得，
该分式方程的解为非负数，
，且，
解得：且，
解不等式组，得，
该不等式组至少有两个正整数解，
，
解得：，
且，
整数为，，，
所有整数的和为．
故答案为：．
15．(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程的基本思路方法，是解题的关键．基本方法是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．
（1）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
（2）分式方程两边乘以，化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的根；
（2）解：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，原分式方程无解．
16．方程组的解为
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解分式方程，设，，则方程可化为，利用加减消元法得出，，从而得出，，再解分式方程即可得解．
【详解】解：设，，
则方程可化为：，
由得：，
解得：，
将代入②得：，
解得：，
∴，，
∴，，
检验，当，是原方程的解，
故方程组的解为．
17．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的性质和运算法则进行化简，再利用完全平方公式和非负数的性质求出的值，最后代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握分式的性质和运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
，
∵
∴，
∴，，
∴，，
∴原式．
18．(1)A型数控机器人每小时分栋90件，B型数控机器人每小时分拣60件
(2)共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；方案三：型号机器人2台，型号机器人9台
【分析】本题考查分式方程和二元一次方程的实际应用，读懂题意，根据所给关系列出分式方程和一元一次方程是解题的关键，注意分式方程求出解后要进行检验．
（1）设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，根据题意列分式方程，即可求解；
（2）设需要台型数控机器人，台型数控机器人，根据题意列方程，根据均为正整数，列出方案即可．
【详解】（1）解：设型数控机器人每小时分拣件快递，则型数控机器人每小时分拣件快递，
根据题意，得，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
件，
答：型数控机器人每小时分拣90件快递，型数控机器人每小时分拣60件快递．
（2）解：设需要台型数控机器人，台型数控机器人，
由题意得，，
得，
∵均为正整数，
∴当时，，
当时，，
当时，，
答：共有3种方案：方案一：型号机器人6台，型号机器人3台；
方案二：型号机器人4台，型号机器人6台；
方案三：型号机器人2台，型号机器人9台．
19．(1)①；②；
(2)
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程．
（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解；
（2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解；
（3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可．
【详解】（1）解：①∵
∴类比得．
②．
故答案为：①；②；
（2）解：∵，满足，即
∴，，
解得：，．
；
故答案为：．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
，
经检验，是原方程的解，
∴原方程的解为．
20．(1)每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元
(2)5种
(3)购进甲种玩具20件，乙种玩具30件或甲种玩具23件，乙种玩具27件
【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式组的应用，二元一次方程的应用，准确理解提议是解题的关键．
（1）设每件甲种玩具的进价是元，则每件乙种玩具的进价是元，根据题意列分式方程，求解即可；
（2）设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件，根据题意列不等式组，求解即可；
（3）设50件玩具“买一赠一”，有件售价是40元，则有件售价是55元，根据题意得出二元一次方程，求解即可．
【详解】（1）解：设每件甲种玩具的进价是元，则每件乙种玩具的进价是元．
根据题意，可得，
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴．
答：每件甲种玩具的进价是15元，每件乙种玩具的进价是25元．
（2）解：设购进甲种玩具件，则购进乙种玩具件．
根据题意，得，解得．
∵为正整数，
∴的值可以为20或21或22或23或24，
∴商场共有5种进货方案．
（3）解：设50件玩具“买一赠一”，有件售价是40元，则有件售价是55元，
∴．
化简、整理，可得．
由（2）知的值可以为20或21或22或23或24，且为正整数，
∴，此时；
，此时，
即商场的进货方案是购进甲种玩具20件，乙种玩具30件或甲种玩具23件，乙种玩具27件．
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