期末练习卷（含解析）-2024-2025学年数学八年级下册北师大版

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期末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．若二次根式 有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，将三角形向右平移得到三角形，且点在同一条直线上，若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，左图是一个可调节平板支架，其结构示意图如右图所示，已知平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，保持此时的形状不变，当平分时，点到的距离是（ ）
A． B． C． D．
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（ ）
A． B．6 C．7 D．
8．如图，在中，，，．、分别是、上的动点，连接、，、分别为、的中点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
二、填空题
9．因式分解： ．
10．计算： ．
11．如果一个多边形的每一个外角都是，那么这个多边形的边数为 ．
12．在直角坐标系中，点A的坐标是，点B在坐标轴上，点B绕点A顺时针旋转落在直线上，则点B的坐标是 ．
13．如图，在三角形中，，，，，将三角形沿方向平移得到三角形，且与相交于点G，连接，则阴影部分的周长为 ．
14．如图，等边的边长为，是边上的中线，是上的动点，是边上一点，若，的最小值为 ．
15．某校开展了“科技节”课外知识竞赛．一共有20道题，每答对一题加5分，不答不扣分，每答错一题倒扣2分．已知小明答错与不答的题数相同，最后比赛得分超过64分．设小明答错了道题，根据题意，可列出关于的不等式为
16．“三等分角”是古希腊三大几何问题之一，借助如图1的三等分角仪可以三等分角．图2是这个三等分角仪的示意图，有公共端点的两条线段，可以绕点转动，点固定，点在槽中可以滑动，且．若，则的度数为 ．
三、解答题
17．解方程：．
18．解一元一次不等式组并把解表示在如图所示的数轴上．
19．先化简，再代入求值：，其中．
20．如图，在平行四边形中，，，平分交于点E，求的长．
21．如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为E，F．
(1)求证：；
(2)若，求的长；
(3)若，，当时，求的面积．
22．苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克；李老板购进苹果的重量比香梨重量的3倍多20千克，一共花费420元；为方便销售，定价均为7元/千克．
(1)李老板购进苹果和香梨各多少千克？
(2)若平均每天卖出苹果和香梨共50千克，每天利润不少于268元，则每天卖出的苹果至少是多少千克？
(3)由于天气炎热，当苹果还剩余60千克时，为尽快清仓，李老板决定对剩下的苹果进行打折销售，为确保销售苹果的总利润不低于1016元，最低可以打多少折？
23．若一个关于x的二次三项式能分解成（其中a为实数，m，n为正整数）的形式，则称这个多项式关于对称．例如：，则关于对称．
(1)请写出一个关于x的二次三项式，使它关于对称；
(2)若关于对称，求t的值；
(3)若，且M关于对称，求b，c的值．
24．如图，已知，，．

(1)求证：；
(2)求的度数；
(3)过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，连接，，是直线上的动点，当的值最小时，求证：点与点重合．
25．年，在国家实行报废补贴、以旧换新利好政策的推动下，小明的爸爸准备换车，看中了两款价格相同的国产车．请帮小明父子解决以下问题：
燃油车 新能源车
油箱容积：升 电池容量：千瓦时
油价：元/升 电价：元/干瓦时
续航里程：千米 续航里程：干米
每千米行驶费用：元 每千米行驶费用： 元
(1)用含a的式子表示新能源车的每千米行驶费用 元（结果为最简）．
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为元和元．每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其他费用）
《期末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B B D D A D
1．D
【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图案都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
选项D中的图案能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式 有意义，
∴，
∴．
故选A．
3．B
【分析】本题考查了平移的性质，由平移得，进而可得，据此即可求解，掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：由平移得，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
4．B
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、，等式错误，不符合题意；
B、，等式正确，符合题意；
C、，等式错误，不符合题意；
D、，等式错误，不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了角平分线的性质，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先运用等面积法求出，因为平分，，则，即可作答．
【详解】解：过点B分别作，如图所示：
∵平板宽度为，支架脚的长度为，当时，可测得，
∴，
∵，
∵平分，，
∴，
点到的距离是，
故选：D
6．D
【分析】本题考查了三角形内角和定理、勾股定理逆定理，根据三角形内角和定理以及勾股定理逆定理逐项判断即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：A、，，
，故A不符合题意；
B、，，
，故B符合题意；
C、，
，
，故C不符合题意；
D、，
，不能判定为直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出．
【详解】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：A．
8．D
【分析】如图，连接，过点作于，由勾股定理得，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解．
【详解】解：如图，连接，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
∴由勾股定理得，
、分别为、的中点，
，
当时，有最小值，即有最小值，
当点与点重合时，的最小值为，
的最小值为，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
9．
【分析】本题考查提取公因式法进行因式分解，熟练掌握提取公因式法是解题的关键．利用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．/
【分析】本题考查了同分母分式的加法运算，掌握运算法则是解题的关键．
根据同分母的分式加法法则进行计算即可．
【详解】
．
故答案为：．
11．9
【分析】本题考查了多边形的外角和定理，理解外角的个数与正多边形的边数之间的关系是解题的关键．根据外角和为，得出多边形的边数．
【详解】
∴这个多边形的边数为 9．
故答案为：9
12．或
【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数上点的坐标，分为点B在x轴上和点B在y轴上两种情况，画图证明，，求出点M的坐标，代入直线解析式即可解题．
【详解】解：令点B旋转后的对应点为
当点B在x轴上时，
令点B坐标为，
则
由旋转可知，
，，
所以点M坐标可表示为
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为，
当点B在y轴上时，过点M作x轴的垂线，垂足为N，
令点B坐标为，
由旋转可知，
，
所以，
所以
在和中，
，
所以，
所以，
因为点A坐标为，点B坐标为，
所以，，
所以，
则点M坐标为，
将点M坐标代入得，
，
解得，
所以点B的坐标为
综上所述：点B的坐标为或，
故答案为：或．
13．12
【分析】本题考查的平移的性质，先利用平移的性质得到，，则，然后计算阴影部分的周长．
【详解】解：沿方向平移得到，
，，
，
阴影部分的周长为．
故本题答案为：12．
14．
【分析】连接，与交于点，取中点，连接，推出，则就是的最小值，利用中位线定理推出和的长度，再通过勾股定理运算求解即可．
【详解】解：连接，与交于点，取中点，连接，如图所示：
∵为等边三角形，是边上的中线，
∴为的中垂线，
∴，则就是的最小值，
∵等边的边长为6，，
∴，
∴，
又∵D是边上的中点，
∴是的中位线，
∴，，
又∵为的中点，
∴为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
在直角中，, ，
∴，
∴，
∴的最小值为：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，等边三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点，合理作出辅助线是解题的关键．
15．
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式；设小明答错了道题，则答对的题数为道，根据最后比赛得分超过64分列出一元一次不等式即可．
【详解】解：设小明答错了道题，则答对的题数为道，
根据题意，．
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角性质，设，由等腰三角形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，即得，即得到，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了解分式方程，方程左右两边同时乘以，去分母，去括号，移项并合并同类项即可，最后检验即可．
【详解】解：
程左右两边同时乘以，得：
经检验，当时，，
所以，是原分式方程的解．
18．，数轴见解析
【分析】分别求出各个不等式的解集，再求其公共解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
由得，，
由得，，
故不等式的解集为：，
在数轴上表示为：
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练运用以上知识式解题的关键．
19．，
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．3
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴．
21．(1)见解析
(2)4
(3)8
【分析】此题考查了平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理的运用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，三角形全等和勾股定理．
（1）由平行四边形的性质得到，由，，可得，，证明，根据全等三角形的性质即可解答；
（2）根据求出的长度，然后根据勾股定理求出的长度，即可根据平行四边形对角线互相平分求出的长度；
（3）根据题意可求出，根据平行四边形的性质可求出、，然后根据勾股定理求出，最后根据平行四边形的面积公式即可求解．
【详解】（1）证明 ：四边形是平行四边形，
，
，，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：∵，
，
在中，，
四边形是平行四边形，
；
（3）解：，
，
四边形是平行四边形，
，，
∵，
，
．
22．(1)购进香梨60千克，购进苹果200千克
(2)每天卖出的苹果至少是36千克
(3)最低可以打8折
【分析】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．
（1）设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，根据“苹果的进价是1.5元/千克，香梨的进价是2元/千克，一共花费420元”，列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据“每天利润不少于268元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
（3）设苹果打折销售，根据“销售苹果的总利润不低于1016元”，列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案；
【详解】（1）解：设李老板购进香梨千克，则李老板购进苹果为千克，
根据题意得，
解方程得，
购进香梨60千克，购进苹果千克；
（2）解：设苹果的日销售量是千克，则香梨的日销售量是千克，根据题意，得
解不等式，得：
答：每天卖出的苹果至少是36千克；
（3）设苹果打折销售，
苹果的总利润为：，
解不等式得：，
答：最低可以打8折．
23．(1)（答案不唯一）
(2)
(3)，，，，
【分析】本题考查了因式分解的应用，正确理解题新定义是解题的关键．
（1）根据定义直接求解；
（2）根据定义得到，求出，再回代，即可求出t的值；
（3）由题意得，则得到，由于，c为正整数，再枚举即可．
【详解】（1）解：∵关于x的二次三项式，关于对称，
∴，
∴，
∴可取
∴，
∴一个关于x的二次三项式可以为：．
（2）解：∵关于对称，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵关于对称，
∴关于对称，
∴，
∵，c为正整数，
∴，，，，．
24．(1)证明见解析；
(2)；
(3)证明见解析．
【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，轴对称﹣最短路径问题，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）证明即可；
（）由，则，又，然后根据等腰三角形的性质即可求解；
（） 延长交于点，由（）知，，，则，则，此时的值最小，再由点是直线上的动点，可得当的值最小时，点与点重合．
【详解】（1）证明: ∵，，，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）证明： 延长交于点，

由（）知，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，此时的值最小，
∵点是直线上的动点，
∴当的值最小时，点与点重合．
25．(1)；
(2)燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低．
【分析】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解题关键是明确题意，列出相应方程与不等式．
（1）用总电量乘以电的单价，再除以总里程，列出代数式，再化简即可；
（2）根据燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元，列出分式方程，求解即可；
设每年行驶里程为千米时，根据新能源车的年费用更低，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：，
即新能源车的每千米行驶费用为元，
故答案为：；
（2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为千米，
由题意，得，
解得，
答：当每年行驶里程大于千米时，买新能源车的年费用更低．
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