一次函数专项训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习卷

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一次函数专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列函数中，函数值随自变量的值增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
2．如果一次函数的图像经过第一象限，且与轴负半相交，那么（ ）
A． B． C． D．
3．正方形的边长为4，动点P按的路线运动，设P经过的路长为x，A、P、D三点组成的图形的面积是y，则下列图象能大致反应y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点一定位于（ ）
A．一次函数图象的上方 B．一次函数图象的下方
C．一次函数图象的上方 D．一次函数图象的下方
5．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，的两个外角的平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数的图象上，则k的值是（　　）
A．36 B．48 C．49 D．64
6．如图，矩形中，，点为的中点，点为上一点，且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好落在线段上，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，过点的直线与直线相交于点，与轴相交于点；过动点且垂直于轴的直线与，分别交于点，，则下列说法：①；②点的坐标为；③；④当点位于点下方时，．其中所有正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③
8．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点…依次进行下去，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点为B，则点B的坐标为 ．
10．如图，直线与坐标轴的两个交点分别为，则不等式的解集为 ．
11．漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为20时，对应的高度为 ．
… 1 2 3 …
… 2 2.3 2.6 …
12．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将沿轴向左平移2个单位得到，则图中阴影部分的面积为 ．
13．实数和，若，我们定义，比如．已知关于的函数，下列结论：①函数图象经过原点；②若，则方程有三个不等实根；③若，则时，有最小值3；④若时，的值随的值增大而增大，则．其中正确的结论是 （填写序号）．
14．在两地之间有汽车站站，客车由地驶往站，货车由地驶往地．两车同时出发，匀速行驶．客车、货车离站的路程与行驶时间之间的函数图象如图所示．有下列说法：两地相距为；②两小时后，货车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为；③客车离站的路程与行驶时间之间的函数关系式为：；④客、货两车在小时相遇．其中正确的有 （填序号．）

三、解答题
15．已知函数．问：
(1)当n为何值时，y是x的反比例函数？
(2)y能否是x的正比例函数？请说明理由．
16．猕猴桃上市的时候，某水果行以“线上”与“线下”相结合的方式一共要销售100箱猕猴桃．已知“线上”销售的每箱利润为30元，“线下”销售的每箱利润y（元）与销售量x（箱）（）之间的函数关系如图中的线段AB．
(1)直接写出y与x之间的函数关系式_________；
(2)实际“线下”销售时，每箱还要支出其它费用共4元，若该水果行售完这100箱猕猴桃要获得最大总利润，请你帮水果行老板设计“线上”与“线下”各安排销售多少箱？
17．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段上，将线段绕着点C顺时针旋转得到，此时点D恰好落在直线上时，过点D作轴于点E．
(1)求证：；
(2)求点D的坐标；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线上，是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
18．【问题背景】2025年4月23日是第30个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，某学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍，
【素材呈现】
素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高；
素材二：用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；
素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的；
【问题解决】
问题一：求出A，B两种书架的单价；
问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案．
19．某中学附近的文具店新购进了一批初中专用套尺，每套进价为20元，在销售过程中发现，周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系．所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，部分数据如下表所示：
销售单价（元） … 20 30 40 50 60 …
周销量（套） … 40 30 20 10 0 …
所获利润（元） … 0 300 400 300 0 …
(1)求与之间的函数关系式；
(2)①请在平面直角坐标系中，先描出二次函数图象上的三个格点，再画出二次例函数的图象；
②在接下来的销售中，文具店打算销售单价不能高于进价的1.8倍，请结合二次函数图象思考，该文具店把初中专用套尺销售单价定为多少元，每周出售这种套尺所获利润最大？最大周利润为多少元？
20．如图，在中，，，，E为上一点，，动点P从点E出发，沿折线方向运动，到达点B时停止运动，连接，．设点P走过的路程为x，的面积为y．
(1)请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中．画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，请直接写出常数k的取值范围．
《一次函数专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B B C A C D C
1．B
【分析】本题考查反比例函数、一次函数、增减性，解题的关键是熟练掌握反比例函数、一次函数性质．
根据反比例函数、一次函数的增减性即可得到答案．
【详解】解：A、函数，当时，随自变量的值增大而减小，或当时，随自变量的值增大而减小，故A错误，不符合题意；
B、函数，，随自变量的值增大而减小，故B正确，符合题意；
C、函数，当时，随自变量的值增大而增大，或当时，随自变量的值增大而增大，故C错误，不符合题意；
D、函数，，随自变量的值增大而增大，故D错误，不符合题意；
故选：B．
2．B
【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据图像经过第一象限，且与轴负半相交，可得函数图象经过一、三、四象限，即可得到，的取值范围，进而得到答案．
【详解】解：∵图像经过第一象限，且与轴负半相交，
∴函数经过一、三、四象限，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据点运动的位置的不同，分情况表示出三角形的面积与的关系式是解题的关键，也是本题的难点．
分点在边、、、上四种情况，根据三角形的面积公式分别列式表示出与的关系式，再根据一次函数图象解答．
【详解】解：如图：
①点在边上时，即，；
②点在边上时，点到的距离为，
即，
③点在边上时，点到的距离不变为，
，
④点在边上时，点到的距离为，
，
纵观各选项，只有B选项图象符合．
故选：B．
4．C
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的图象，根据点在二次函数的图象上，画出函数图象判断即可．
【详解】解：点在二次函数的图象上，画出函数图象如下：
A、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的上方，故A选项不符合题意；
B、二次函数的图象与一次函数的图象有交点，所以点不一定位于一次函数图象的下方，故B选项不符合题意；
C、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故C选项符合题意；
D、二次函数的图象在一次函数的上方，所以点一定位于一次函数图象的上方，故D选项不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】本题主要考查角平分线的性质，一次函数的性质，求反比例函数解析式，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，求出，，勾股定理，根据角平分线的性质得出，设，则，根据等积法得出求出t的值，即可得出答案．
【详解】解：过P分别作、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示：
把代入得：，
把代入得：，
解得：，
∴，，
∴，，
∴，
∵的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴，，
∴，
设，则，
∵
∴
解得，
∴，
把代入得．
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及一次函数相关知识，解题的关键是通过构造全等三角形找到点的坐标关系．
过点作于点，证明，得到，，设，则，设直线的解析式为，得到，把代入，解得即可解．
再结合直线方程求解．
【详解】过点作于点，
四边形是矩形，，
，
点为中点，
．
，
，又，
．
在和中，
，
，
，，
，
，
设，则，
设直线的解析式为，把代入得，
，
点的横坐标为4，纵坐标为，把代入得：
，
解得．
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．将点代入直线可得，由此即可判断①正确；根据点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，再求出时，的值，由此即可判断②正确；根据点的坐标，利用三角形的面积公式即可判断③正确；当点位于点下方时，直线位于直线的下方，结合函数图象可得，由此即可判断④错误．
【详解】解：将点代入直线得：，
解得，则说法①正确；
∴，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
将代入得：，
∴点的坐标为，则说法②正确；
∴，
又∵，
∴的边上的高为3，
∴，则说法③正确；
∵过动点且垂直于轴的直线与，分别交于点，，点位于点下方，
∴直线位于直线的下方，
结合函数图象可知，，则说法④错误；
综上，所有正确的是①②③，
故选：D．
8．C
【分析】此题考查是函数坐标与找规律，此类题型要对观察坐标的特征，根据坐标的变化来找出变化的规律．
分别写出部分点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，每四个点符号为一个周期，依此规律即可得出结论．
【详解】解：当时，，
∴点的坐标为，即；
当时；
∴点的坐标为，即；
同理可得：…
观察可得到规律为，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，，
的坐标为，
…
以此类推，可以发现以4个点为一周期．
则，可以发现与的符号相同，
（第一圈），的坐标为，，
（第二圈），，
…
（第圈），得得出，
故选：C．
9．
【分析】本题考查坐标与图形变化对称，等腰三角形的判定和性质，熟知图形对称的性质及根据题意画出示意图是解题的关键．根据题意，画出示意图，结合所画图形即可解决问题．
【详解】解：如图，过点A作轴于点N，交直线于点M，连接，交直线于点E，连接，
点A坐标为，
∴点坐标为，
当，则，
点坐标为．
则，，
是等腰直角三角形，
，
，
又点A和点关于直线对称，
，，
，
轴，
又点的坐标为，
点的坐标为．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数与不等式的关系，由直线与轴的交点分别为，得到当时，，再由函数随的增大而增大，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵直线与轴的交点分别为，
∴当时，，
由图可知，函数随的增大而增大，
∴当时，，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，根据表格信息，掌握待定系数法求解析式是关键．
一次函数解析式为，运用待定系数法求出解析式为，把代入计算即可求解．
【详解】解：研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，
∴设一次函数解析式为，
∴，
解得，，
∴一次函数解析式为，
∴当时，，
∴当为时，对应的高度为，
故答案为： ．
12．
【分析】本题考查一次函数的图象与坐标交点，一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移，以及求一次函数与坐标轴交点的坐标是解题的关键．先求出一次函数与坐标轴交点和的坐标，再利用平移求出直线的解析式，求出其与坐标轴交点和的坐标，再求面积即可．
【详解】解：如图，
当时，，
则，
当时，，
解得：，
则，
∵将沿轴向左平移2个单位得到，
∴直线向左平移2个单位得到直线，且，
则直线的解析式为，
时，，
则，
∴．
故答案为：
13．①③④
【分析】本题考查函数新定义，二次函数与一次函数综合，二次函数性质，一次函数性质，解题的关键在于正确理解新定义若，我们定义．根据二次函数与一次函数综合，与函数新定义概念逐项分析判断，即可解题．
【详解】解：①当时，，，即，
函数图象经过原点，故①正确；
②若，
时，
有或，
解得或，
则方程有个实根，
故②错误；
③若，
则，
当时，解得，，
当时，则，
当时，则，
，随增大而增大，，离对称轴越近函数值越大，
则时，有最小值或，
故③正确；
④时，的值随的值增大而增大，
又时，解得，，
，
解得，
故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④，
故答案为：①③④．
14．①②③④
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息、一次函数的应用，根据函数图象提供的信息即可判断①；分别利用待定系数法求出函数解析式即可判断②③；再由求出的值即可判断④；采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：由图象可得：A，B两地相距为，故①正确；
货车的速度为：，
故货车到达地一共需要，
设两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，
由题意可得：，
解得：，
∴两小时后，货车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，故②正确；
设客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为，
由题意可得：，
解得：，
∴客车离C站的路程与行驶时间x之间的函数关系式为：，故③正确；
由得，
解得：，
∵，
∴符合题意，即客、货两车在小时相遇，故④正确；
综上所述，正确的有①②③④．
故答案为：①②③④．
15．(1)
(2)这样的n不存在，理由见解析
【分析】本题考查正比例函数、反比例函数、解一元二次方程，掌握正、反比例函数的定义是解题的关键．
（1）y是x的反比例函数时，，且，由此可解；
（2）y是x的正比例函数时，，且，由此可解．
【详解】（1）解：函数是反比例函数，
，且，
解得：且
时，y是x的反比例函数；
（2）解：不存在，理由如下：
当函数是正比例函数时，，且，
由（1）知的解为且，
这样的n不存在．
16．(1)
(2)“线上”销售64箱，“线下”销售36箱时，获得最大总利润．
【分析】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中的数据，可以计算出与之间的函数关系；
（2）根据题意，可以得到利润与的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设与的函数关系式为，
点，在该函数图象上，
，
解得，
即与的函数关系式为，
故答案为；
（2）解：设“线下”销售猕猴桃箱，则“线上”销售猕猴桃箱，总利润为元，
由题意可得，，
，
当时，有最大值，为3648，
，
“线上”销售64箱，“线下”销售36箱时，获得最大总利润．
17．(1)见详解
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质等；
（1）由旋转的性质得，，由即可得证；
（2）由全等三角形的性质得，，设， ，将此点代入直线的解析式，即可求解；
（3）①当为边，在第二象限时，由平行四边形得点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，即可求解；②当为边，在第一象限时，同理可求；③为对角线时，同理可求；
掌握全等三角形的判定及性质，平行四边形的性质，能根据点的不同位置进行分类讨论是解题的关键．
【详解】（1）证明：，
，
，
将线段绕着点C顺时针旋转得到，
，
，
，
，
在和中
（）；
（2）解：当时，，
，
，
，
，
设，
，
，
，
解得：，
，
；
（3）解：①如图，当为边，在第二象限时，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
设，
，
解得：，
，
；
②如图，当为边，在第一象限时，
同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
，
解得：，
，
；
③如图，为对角线时，
同理可得：点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
点向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
，
解得：，
；
；
综上所述：Q点坐标为或或．
18．问题一：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元
问题二：，费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用．
问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，利用数量总价单价，结合用14400元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B种书架的单价），再将其代入中，即可求出A种书架的单价；
问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价单价数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元；
问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架，
∴购买个B种书架，
∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的，
，
解得：，
∵购买总费用为w元，A种书架的单价是600元，B种书架的单价是500元，
，
即，
，
∴w随a的增大而增大，
∴当时，w取得最小值，此时，
答：费用最少时的购买方案为：购买5个A种书架，15个B种书架．
19．(1)
(2)①见解析；②文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元
【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练根据题意求得二次函数的解析式是解题的关键．
（1）利用待定系数法即可解答；
（2）①求得二次函数的解析式，再描点画图即可；
②利用二次函数的图象和性质即可解答．
【详解】（1）解：周销量（套）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，
设周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为,
根据表格把代入，
可得，
解得，
周销量（套）与销售单价（元）的一次函数解析式为；
（2）解：①所获的利润（元）与销售单价（元）之间满足二次函数关系，
根据表格可知顶点为，
设所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为，
把代入可得，
解得，
所获的利润（元）与销售单价（元）的二次函数解析式为，
二次函数图象如图所示：
；
②根据题意可得售价小于等于元，
即，
根据图象可得当时，随的增大而增大，
故文具店把初中专用套尺销售单价定为36元时，每周出售这种套尺所获利润最大，最大利润为元．
20．(1)
(2)见解析，
(3)
【分析】本题考查了勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键．
（1）先由勾股定理得出，即可得出，再分两种情况：当，即点在上时；当时，即点在上时，分别求解即可；
（2）利用描点法画出函数图象，结合函数图象即可得出性质；
（3）求出当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即；当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即，结合题意即可得解．
【详解】（1）解：∵在中，，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
当，即点在上时，过点作于，
，
由题意可得：，则，，
∴，
当时，即点在上时，
此时，
∴，
综上所述，；
（2）解：列表得：
2 6
6 0
画出函数图象如图所示：
，
由函数图象可得：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
（3）解：当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即，
解得：，
当一次函数经过时，一次函数的图象与的图象有且仅有一个交点，即，
∵一次函数的图像与y的图象有且仅有2个交点，
∴．
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