二次函数专项训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习卷

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二次函数专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象与轴没有交点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．已知二次函数的表达式为（为常数），当时，，在自变量满足的取值范围时，对应函数值的最小值为，则的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知二次函数的图象不经过第三象限，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．新定义：为二次函数（为实数）的“图象数”，如：的“图象数”为，若点在“图象数”为的二次函数的图象上，且，当时，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，四边形为矩形，，点P从点A出发沿以的速度向终点D匀速运动，同时，点Q从点A出发沿以的速度向终点D匀速运动，设P点运动的时间为，的面积为，下列选项中能表示S与t之间函数关系的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．如图，在中，，，．动点从点开始以的速度沿边向点运动；动点从点开始以的速度沿边向点运动．如果，两点分别从，两点同时出发，设运动时间为秒．①当时，的面积为；②有两个不同的值，都使的面积为；③面积的最大值为；其中，正确结论的个数是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小明从离地面高度为的A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，在B处着地后弹起的最大高度为着地前的最大高度的．现在地上摆放一个底面半径为，高为的圆柱形水桶，水桶的最左端距离原点为s米，若要弹力球从B处弹起后落入水桶内，则s的值可能是（ ）
A．3.7 B．4.1 C．4.5 D．5
二、填空题
9．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ．
10．二次函数向上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线的对称轴为直线 ．
11．在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡，从点处抛出一个小球，落到点处．小球在空中所经过的路线是抛物线的一部分．斜坡上点处有一棵树，，小球恰好越过树的顶端，那么这棵树的高度为 ．
12．在平面直角坐标系中，对于点，给出如下定义：当点，满足时，称点是点的等和点．若点在抛物线上，点的等和点在直线上，则点的坐标为 ．
13．如图，已知抛物线过点，顶点为D．若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值为 ．
14．抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，有以下结论：①；②若，是图象上的两点，则；③；④若方程没有实数根，则；⑤．其中结论正确的是 ．
三、解答题
15．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)若，求该抛物线的顶点坐标；
(2)已知点，，在抛物线上，若求a的取值范围．
16．已知二次函数的图象经过点．
(1)求二次函数解析式及其对称轴；
(2)将函数图象向上平移个单位长度，图象与轴相交于点（在原点左侧），当时，求的值；
(3)当时，二次函数的最小值为，求的值．
17．周末，甲乙二人相约在操场进行一场羽毛球的友谊赛，如图，甲站在地面上点处，在点正上方米的点处将球发出，羽毛球的飞行轨迹可近似的看做一条抛物线，当羽毛球水平飞出米远时，距地面的垂直高度为米，此时为整个飞行轨迹的最高点．
(1)若设羽毛球的飞行高度为（），距点的水平距离为（），建立平面直角坐标系，求羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式；
(2)若距点米远的点处立有羽毛球网，球网顶部距地面米，请你通过计算判断此次发球能不能飞过球网．
18．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且，B点的坐标，点D是抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标．
(2)点F是抛物线上的一个动点，且点F在第三象限内，连接、、，求面积的最大值．
(3)平移抛物线后，得到抛物线：若点是抛物线上任意一点，且当时，y的最小值是，试求出m的值．
19．研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议．
材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系；
材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克．
任务一：建立函数模型
（1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
任务二：设计销售方案
（2）设该种蔬菜的日销售利润为W（元），市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请求出最大日销售利润．
20．为了测量抛物线的开口大小，某数学兴趣小组将两把含有刻度的直尺垂直放置，并分别以水平放置的直尺和竖直放置的直尺为x，y轴建立如图所示平面直角坐标系，该数学小组选择不同位置测量数据如下表所示，设的读数为x，读数为y抛物线的顶点为C．
(1)（Ⅰ）列表：
① ② ③ ④ ⑤ ⑥
x 0 2 3 4 5 6
y 0 1 2.25 4 6.25 9
（Ⅱ）描点：请将表格中的描在图2中；
（Ⅲ）连线：请用平滑的曲线在图2将上述点连接，并求出与的关系式；
(2)如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，该数学兴趣小组用水平和竖直直尺测量其水平跨度为，竖直跨度为，且，，为了求出该抛物线的开口大小，该数学兴趣小组有如下两种方案，请选择其中一种方案，并完善过程：
方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中，解得______；（用含，的式子表示）
方案二：设点坐标为
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中解得______；（用含，的式子表示）
(3)【应用】如图4，已知平面直角坐标系中有，两点，，且轴，二次函数和都经过，两点，且和的顶点，距线段的距离之和为10，若轴且，求的值．
《二次函数专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C B A B C B
1．A
【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据判别式判断一元二次方程根的情况（逆用），不等式的性质等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．
由题意得，然后分两种情况讨论：①当时；②当时；分别利用不等式的性质进行推导即可得出答案．
【详解】解：由题意得：，
分两种情况讨论：
①当时，
，
，
，
，
，
，
；
②当时，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述，，
故选：．
2．B
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式得，即得该函数的对称轴为直线，函数图象开口向 上， 又由时，，可得，进而分 和两种情况，根据二次函数的性质解答即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
【详解】解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线，函数图象开口向 上，
∵当时，，
∴，
解得，
∵当时，的最小值为，
∴当时，时取得最小值，即，
解得，（不合，舍去）；
当时，时取得最小值，即，
解得（不合，舍去）；
综上，的值是，
故选：．
3．C
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质，判断的大小即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增大而减小，
∵关于直线的对称点坐标为，
∵，，又，
∴．
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了二次函数图象与性质．利用二次函数的性质，结合二次函数的图象不经过第三象限，可得，且抛物线与轴的交点的纵坐标为非负数，再进一步解答即可．
【详解】解：二次函数的图象不经过第三象限，
∴，且抛物线与轴的交点的纵坐标为非负数，
∴，
∴，
综上：．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质，理解“图象数”的定义是解题关键．由“图象数”可知二次函数为，则对称轴为直线，再求出点的坐标，根据二次函数图象的开口方程和增减性求解即可．
【详解】解：由题意可知，“图象数”为的二次函数为，
对称轴为直线，
，
，
解得：或，
或，
，
二次函数图象开口向上，
当时，的取值范围为，
故选：A
6．B
【分析】本题考查了二次函数和一次函数的应用，矩形的性质，熟练掌握知识点，求出每一段对应的函数解析式是解题的关键．
分类讨论，利用三角形面积公式求出每一阶段对应的函数解析式，结合对应的函数图象及性质分析即可．
【详解】解：当时，如图：
此时，
∴，
∴当时，图象为二次函数的部分图象，开口向上，且当时，；
当时，如图，
此时，
∴当时，图象为一次函数图象一部分，且当时，；
当时，如图，
此时，则，
∴，
∴当时，，图象为开口向下的二次函数图象一部分，且，
综合分析，只有B符合题意，
故选：B．
7．C
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用，根据题意和三角形的面积公式列出函数关系进而判断①②，根据二次函数的性质，即可判断③．
【详解】解：由题意得：，，
，，
，，
当时，，故①正确；
当的面积为时，，解得：或，即有两个不同的值，都使的面积为，故②正确；
，，
当时，面积有最大值，其最大值为，故③错误；
故选：．
8．B
【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握利用待定系数法求得二次函数的解析式是解题的关键，根据点A的坐标求出第一次着地前的抛物线解析式，可得到点的坐标，再根据B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，可得到第二次着地前抛物线的解析式，再根据圆柱形的高为，可求出当弹力球恰好砸中筐的最左端、最右端时，s的值，进而得到s的取值范围，从而得到答案．
【详解】解：由题可知：弹力球第一次着地前抛物线的解析式为，且过点，代入解析式中得：，
∴，
∴解析式为：，
当时，的最大值为，
令，则，
解得：或（舍去），
∴，
∵B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的，
∴其最大高度为：，
∵弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线，
设B处着地后弹起的抛物线解析式为：，
将点代入该解析式得：，
解得：或（舍去），
∴该抛物线的解析式为：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵点B的坐标为，则点的坐标为，
∵圆柱形的高为，
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当弹力球恰好砸中筐的最左端时，，
∵筐的底面半径为，直径为，
∴当弹力球恰好砸中筐的最右端时，，
∴，
∴选项B中的满足条件，
故选：B．
9．
【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键．
根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式求解即可中．
【详解】解：∵抛物线与轴有交点，
∴方程有两个的实数根，
∴，
解得：．
故答案为：．
10．
【分析】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．将二次函数化为顶点式，再根据平移的特点得到平移后的函数解析式，即可得到答案．
【详解】解：，
上平移5个单位，向右平移3个单位后抛物线为：，
故对称轴为直线．
故答案为：．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，证明，根据相似三角形的性质求出，求出点坐标，得到，从而得到答案．
【详解】解：过点分别作轴的垂线，垂足分别是点，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，则点横坐标为，
将代入中，
，
点的坐标为，
，
．
故答案为：．
12．或
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的应用、一元二次方程的应用，正确理解等和点的定义是解题关键．先分别设点的坐标为，设点的坐标为，再根据等和点的定义可得，即，解方程求出的值，由此即可得．
【详解】解：∵点在抛物线上，
∴可设点的坐标为，
∵点在直线上，
∴可设点的坐标为，
∵点是点的等和点，
∴，
整理得：，
解得或，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或，
故答案为：或．
13．
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质作轴交于E点，求得的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可.
【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组：
解得
抛物线的解析式为
作轴交AC于E点，如图，
设的解析式为，则
解得
∴的解析式为，
设，，
，
当时，的面积的最大值是；
故答案为：
14．
【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即)，对称轴在轴左；当与异号时即)，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．根据抛物线与轴有两个交点，可得，据此解答即可；根据抛物线的对称轴，开口向下，据此判断即可；根据抛物线与轴的一个交点A在点和之间，可得抛物线与轴的另一个交点在点和之间，所以当时，据此判断即可；根据的最大值是，可得方程没有实数根，则，据此判断即可；首先根据抛物线的对称轴，可得，然后根据，判断出即可．
【详解】解：抛物线与轴有两个交点，
，
结论不正确．
抛物线的对称轴，开口向下，，是图象上的两点，
，
结论正确．
抛物线与轴的一个交点A在点和之间，
抛物线与轴的另一个交点在点和之间，
当时，，
结论正确．
的最大值是，
方程没有实数根，则，
结论正确．
抛物线的对称轴，
，
，
，
，
结论正确．
综上，可得正确结论的序号是：．
故答案为：．
15．(1)
(2)或
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：
（1）把代入解析式，化为顶点式，即可得出结果；
（2）分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴顶点坐标为：；
（2）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
当时，则：当时，函数有最小值为，抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，
∵点，，在抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
当时，则：当时，函数有最大值为，抛物线上的点离对称轴越远函数值越小，
∵点，，在抛物线上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴；
综上：或．
16．(1)，对称轴为直线
(2)
(3)
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想，数形结合思想是解题的关键．
（1）代入点B坐标计算，求出b，再根据求出对称轴即可；
（2）设点、，则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，通过对称轴不变来解出t，从而得出上移距离m．
（3）先求出抛物线的顶点为，再分和两种情况来讨论函数的最小值即可，注意求出的值和和得到的范围一致才是有解．
【详解】（1）解：将代入函数表达式得：，则，
即抛物线的表达式为：，
则抛物线的对称轴为直线；
（2）解：当时，
设点、，
则平移后抛物线的对称轴仍然为直线，则，
则点、的坐标分别为：、，
则新抛物线的表达式为：，
即；
（3）解：由（1）知，抛物线的顶点为，
当，即时，
抛物线在顶点处取得最小值，即，则；
当时，即时，
则抛物线在时取得最小值，即，
解得：（舍去）或6（舍去），
综上，．
17．(1)
(2)能飞过球网
【分析】（）由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，设抛物线的表达式为，利用待定系数法解答即可求解；
（）求出时的值，进而比较即可判断求解；
本题考查了二次函数的应用，正确求出二次函数表达式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意可得，点为抛物线的顶点，点的坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得，
∴羽毛球飞行轨迹所在抛物线的表达式为；
（2）解：当时，米，
∵，
∴此次发球能飞过球网．
18．(1)，顶的坐标为
(2)
(3)或
【分析】本题考查二次函数综合问题，涉及到二次函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数最值问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与相关性质．
（1）根据抛物线与y轴交于点C，且，B点的坐标，求出点C坐标，将其代入解析式，求得b、c，继而求出完整的抛物线解析式，根据顶点坐标公式即可求得D坐标；
（2）令，求出点A坐标，然后用待定系数法求出直线的解析式，设，过作轴交于．求出根据
即可解答
（3）由题（1）可得的对称轴，根据时，的最小值是，可分以下三种情况分析求解①当即时；②当即时；③当时分别讨论即可解答．
【详解】（1）∵抛物线与y轴交于点C，且，B点的坐标，
∴
∴
把点、代入抛物线中，
解得．
∴抛物线的解析式为：
∵
∴顶的坐标为
（2）令，即，
解得，，
∴．
∵直线过，
∴设的解析式为
∴
解得：
∴的解析式为，
设，
过作轴交于．
则．
∴．
．
当时，面积的最大值为．
（3）由可知抛物线的对称轴为直线，当时，的最小值是，可分以下三种情况：
①当即时，
所对应的函数图象在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
所以当时，y取得最小值．
即．
解得，（舍去）：
②当即时，所对应的函数图象经过抛物线的顶点，所以当时，y取得最小值，
所以（舍去）．
③当时，所对应的函数图象在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
所以当时，y取得最小值，
即，
解得，（舍去）
综上所述，当或时，当时，的最小值是．
19．（1），；（2）能，18元
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
（1）设y与x的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可；
（2））根据题意，可得，整理可得，结合二次函数的图像与性质，即可获得答案．
【详解】解：（1）设y与x的函数表达式为，
将点代入，
可得，解得，
∴y与x的函数表达式为，
∵销售单价不低于成本价，
∴，
又∵，
∴，
∴自变量的取值范围为；
（2）根据题意，可得
，
∵，
∴该函数图像开口向下，且对称轴为，
又∵该蔬菜销售单价不得超过每千克18元，
∴当时，日销售利润取最大值，
此时（元），
这种蔬菜的销售能获得日销售利润8600元，蔬菜的销售单价应定为18元．
20．(1)图见解析，
(2)，；，
(3)的值为或
【分析】（1）描点、连线绘制函数图象即可，再利用待定系数法即可得出函数表达式；
（2）方式一：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；方式二：表示出点的坐标为，代入二次函数解析式计算即可得解；
（3）由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，的坐标为，的坐标为，求出的顶点距线段的距离为，得出的顶点距线段的距离为，从而可得的顶点坐标为或，再分情况代入计算即可得解．
【详解】（1）解：描点、连线绘制函数图象如下：
由图可得，抛物线经过原点，
故设抛物线的表达式为，
将，代入解析式可得，
解得：，
∴与的关系式为；
（2）解：方案一：将二次函数平移，使得顶点与原点重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为；
②将点坐标代入中得，，
解得；
方案二：设点坐标为
①此时点的坐标为；
②将点坐标代入中得：，
解得；
（3）解：由题意可得，二次函数和的对称轴都为直线，的顶点坐标为，
∵二次函数和都经过，两点，且，
∴的坐标为，的坐标为，
∴的顶点距线段的距离为，
∵和的顶点，距线段的距离之和为10，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，
解得：；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，
解得：，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
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