分式与二次根式专项训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习卷

中小学教育资源及组卷应用平台
分式与二次根式专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
3．如果把分式中的x、y都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大3倍 B．扩大9倍 C．缩小 D．不变
4．分式和的最简公分母是（ ）
A． B． C． D．
5．下列方程中，有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
6．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知，下列判断：①计算结果；②随的增大而增大；③当时，．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知，那么应满足的条件是 ．
10．观察下列各式：，…请写出你归纳的一般结论： （用含n的代数式表示）．
11．已知，则的值是
12．已知，则的值是 ．
13．如图，一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是 ．
14．已知一个分式（a为正整数），对该分式的分母与分子分别减1，成为一次操作，以此类推，若干次操作后可以得到一个数串，，，…，通过实际操作，某同学得到了以下四个结论：
①第3次操作后得到的分式可化为．
②第4次操作后的分式可化为．
③若第5次操作后得到的分式可以化为整数，则a的正整数值共有7个．
④若经过n次操作后得到的分式值为10，则满足这个条件的a的值有1个，且．
以上四个结论中正确的有 ．（只填写序号）
15．已知：如图，在正方形外取一点，连接，，．过点作的垂线交于点，连接．若，．下列四个结论中，正确的结论有 个．
①；②；③点到直线的距离为；④．
三、解答题
16．计算：．
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中．
19．已知
(1)化简；
(2)若在平面直角坐标系中，点为反比例函数上一点，且，求的值．
20．观察以下等式．
第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．……
请根据以上规律，解答下列问题．
(1)直接写出第4个等式：______．
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示，为正整数），并证明该等式成立．
21．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，如，．课本中阅读材料告诉我们，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
(1)化简：________；
(2)比较大小：________；（用“>”、“=”或“<”填空）
(3)设有理数满足：，则________；
(4)已知，求的值．
22．阅读下面内容：
我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：
当，时，∵
∴，当且仅当时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
(1)当时，的最小值为 ；
(2)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？
(3)当时，求当x取何值，有最小值，最小值是多少？
(4)如图，四边形的对角线，相交于点O，的面积分别为4和9，求四边形的面积的最小值．
《分式与二次根式专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B D C D B
1．B
【分析】本题考查了二次根式的定义，一般形如的形式叫做二次根式，掌握二次根式的定义是解题的键．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、中，不是二次根式，不符合题意；
B、是二次根式，符合题意；
C、不是二次根式，不符合题意；
D、中，不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查了分式的乘方运算，根据分式的乘方运算法则计算即可求解，掌握分式的乘方运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故选：．
3．A
【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的性质和约分，是解题的关键．
根据分式的基本性质，即可得到答案．
【详解】解：∵把分式中的和都扩大3倍后，
得：，
∴分式的值扩大了3倍．
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得．
【详解】解：∵，，
∴分式和的最简公分母是，
故选：B．
5．D
【分析】本题考查解无理方程，分式方程．分别解无理方程，分式方程及二次根式的意义逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵，
去分母整理得，
∵，
∴方程无实数解；
即无解，该选项不符合题意；
B、∵，
∴，，
∴且，
∴无解，该选项不符合题意；
C、∵，
∴，
解得该不等式组无解，
∴无实数解；原方程不符合题意；
D、∵，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∴，
故方程有实数根，符合题意；
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了二次根式的四则运算，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的加、减、乘、除运算法则逐项计算即可．
【详解】解：A、和不是同类二次根式，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
7．D
【分析】本题考查了分式的混合计算和一次函数的性质．
先根据分式的计算法则化简即可得，进而判断①计算正确，由一次函数的增减性判断错误，把代入计算可得，即可判断③．
【详解】解：
，
即：，故①计算结果正确；
∵，
∴随增大而减小，故②结论错误；
当时，，故正确；
综上所述：正确结论有①③．
故选D．
8．B
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
故选：B．
9．
【分析】本题主要考查零指数幂底数的条件，熟练掌握零指数幂的底数不为0是解题的关键．由题意得到，即可得到答案．
【详解】解：由题意得到，
．
故答案为：．
10．（n为正整数）
【分析】本题主要考查了数字的变化的规律，根据已知式子找出规律是解题关键．
由已知等式可以猜想出结论；
【详解】解：由已知等式可猜想一般结论：（n为正整数），
证明：，
故答案为：（n为正整数）．
11． /
【分析】本题主要考查分式的化简求值，将变最后整体代入计算即可形为，再把变形为，最后整体代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴
∴，
∴
．
故答案为：
12．7
【分析】本题考查了根式的加减运算，根据根式加减运算法则直接求解即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：7．
13．
【分析】本题考查了勾股定理的应用、几何体的平面展开图，分两种情况展开，再结合勾股定理计算即可得解．
【详解】解：将长方体展开如图（1）所示：此时，
将长方体展开如图（2）所示：此时，
∵，
∴它所行的最短路线的长是，
故答案为：．
14．①②④
【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据新定义得到第3次操作后得到的分式为，可判断①；根据新定义得到第4次操作后得到的分式为，可判断②；根据新定义得到第5次操作后得到的分式为，再变形为，由分式可以化为整数得出是20的因数，再结合a为正整数求出的值，可判断③；经过n次操作后得到的分式为，由题意得，结合和都是正整数，求出符合题意的a的值，可判断④，即可得出结论．
【详解】解：第3次操作后得到的分式为，
，故①正确；
第4次操作后得到的分式为，
，故②正确；
第5次操作后得到的分式为，
，
又第5次操作后得到的分式可以化为整数，
是20的因数，
，
，
又a为正整数，
，
a的正整数值共有9个，故③不正确；
经过n次操作后得到的分式为，
由题意得，，
整理得：且，
，，
，
，
又a为正整数，
，
为正整数，
是9的倍数，
或，
当时，，此时，舍去；
当时，，此时；
满足这个条件的a的值有1个，且，故④正确；
综上所述，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
15．①②④
【分析】根据正方形的性质可得，再根据同角的余角相等求出，然后利用“边角边”证明，从而判断①正确，根据全等三角形对应角相等可得，可证，从而判断②正确，根据等腰直角三角形的性质求出，再利用勾股定理列式求出的长，过点B作，交的延长线于点F，先求出，由等腰三角形的性质可求，即可判断出③错误；由勾股定理可求得，即可求正方形的面积，从而判断④正确．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
∵，，，
∴，故①正确；
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
如图，过点B作，交的延长线于点F，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴点到直线的距离为；故③说法错误；
∴，
∴，
∴，故④正确，
故答案为：①②④．
【点睛】此题分别考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、三角形的面积及勾股定理，综合性比较强，解题时要求熟练掌握相关的基础知识才能很好解决问题．
16．
【分析】本题主要考查零次幂，算术平方根，负指数幂，特殊角的三角函数的计算，掌握其运算法则是关键．
先算零次幂，绝对值，算术平方根，负指数幂，特殊角的三角函数值，最后再根据实数的混合运算法则计算即可．
【详解】解：
．
17．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是准确掌握运算法则和运算顺序．
（1）化简二次根式，然后进行二次根式的加减即可；
（2）先算二次根式的除法，再进行加减法运算即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．；
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的运算法则对原式进行化简．
先对括号内式子通分计算，再将除法转化为乘法，然后根据分式基本性质约分得到最简分式，最后代入求值．
【详解】解：原式
，
当时，原式．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的运算，反比例函数的性质等知识，解题的关键是：
（1）根据同分母相加减的运算法则计算即可；
（2）根据反比例函数的性质求出，根据两点间距离公式求出，然后根据完全平方公式求解即可。
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵点为反比例函数上一点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即.
20．(1)
(2)，证明见详解
【分析】本题主要考查数字规律，二次根式性质与化简的计算，理解计算方法，找出规律是解题的关键．
（1）根据材料提示找出规律即可求解；
（2）结合（1）中的规律，并验证即可．
【详解】（1）解：已知第1个等式：．
第2个等式：．
第3个等式：．……
∴第4个等式为：，
故答案为：；
（2）解：猜想的第个等式（用含的等式表示，为正整数）为：，
证明：等式左边，
∵为正整数，
∴，
∴等式左边等式右边，
∴等式成立．
21．(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，理解题目中所给的有理化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们倒数的大小来求解；
（3）先利用有理化因式的定义进行化简，根据化简结果列一元二次方程组求解即可；
（4）设，，根据有理化因式的定义计算出的值，根据的值得出的值，即是结果．
【详解】（1）解：的有理化因式是，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵，
，
而，
∴，
∵和都是大于0的数，
∴，
故答案为：．
（3）解：∵，，
∴，
又∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
（4）解：设，，
则，
∵，
∴，即．
22．(1)2
(2)当时，有最小值，为8
(3)当时，有最小值，为4
(4)25
【分析】本题考查了配方法在二次根式，分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
（1）当时，直接根据公式计算即可；
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式计算的形式，计算即可；
（3）将原式变形为，可利用公式计算的形式，计算即可；
（4）设，根据等高三角形的性质得出，结合图形确定，代入计算，利用题中性质求解即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴的最小值为 2 ；
（2）解：∵，
，
而，
当时，即时，等号成立，
∴，
∴当时，有最小值，为8 ．
（3）解：∵，
，
而，
当时，即时，等号成立，
∴，
∴当时，有最小值，为4．
（4）解：设，
∵与同高，与同高，
，
由题知，
，
，
，
，
，
∴四边形面积的最小值为 25 ，
故答案为：25 ．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)