三角形与四边形专项训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习卷

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三角形与四边形专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是的边的垂直平分线，为垂足，交于点，且，，，则的周长是（ ）
A．13.5 B．16 C．10 D．9.6
2．如图，是的角平分线，分别是和的高，得到下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的是（　　）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
3．如图，等边的顶点A、B分别在直线a，b上，且，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在边长为4的正方形中，点E是上一点，点F是延长线上一点，连接，，平分交于点M．若，则的长度为( )
A．2 B．5 C．6 D．
5．如图，将平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为，连接．若，，，则线段的长为（ ）
A．6 B． C． D．
6．如图，在矩形中，，点M为的中点，以点为圆心，长为半径作弧交于点，再以点为圆心，长为半径作弧交于点，与相交于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，顺次连接四边形各边的中点得到四边形，再顺次连接四边形的各边中点得到四边形，下列说法错误的是（ ）
A．四边形一定是平行四边形
B．四边形的周长一定是四边形周长的2倍
C．四边形的面积一定是四边形面积的4倍
D．只要四边形的对角线相等，则四边形一定是矩形
8．如图，在正方形中，和交于点，过点的直线交于点（不与，重合），交于点，以点为圆心，为半径的圆交直线于点，，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．将一副三角尺按如图所示叠放在一起，若，则 ．
10．如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件 能使四边形是菱形．
11．如图，在中，，分别以点A，点B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点E，F，过点E，F作直线交于点D，连接，若的周长为10，则的长为 ，的面积为 ．
12．如图，四边形和四边形分别是边长为3和2的正方形，连结，，，则五边形的面积为 ．
13．如图，在中，对角线与相交于点E，，将沿所在直线翻折，若点B的落点记为点，则的长为 ．
14．如图，在边长为的正方形中，点为边的中点，点为边上的动点，以为一边在的右上方作等边三角形，的最小值为 .
15．如图，矩形中，点E为上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，点G为的中点，连接，则线段的最小值为 ．
16．如图，将两块不同的等腰直角三角板和三角板放置在正方形中，直角顶点重合，点分别在边上，，若较小的斜边长为，则的长为 ，较长的斜边长为 ．
三、解答题
17．如图1所示，四根长度相等木条组合在一起．其中木条与木条端点固定，；木条的一端可转动，木条的一端也可转动，和交叉于点，点处有螺丝衔接，方便点在木条和木条上自由滑动．已知每条木条长．
(1)如图2，当端点和端点重合时，求点与点的距离；
(2)如果保持，那么的取值范围是多少？
18．如图，在菱形中，与相交于点．以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．分别以点为圆心，一定长度为半径画弧，两弧相交于点，连结，交于点．
(1)求证：．
(2)若，求的值．
19．如图，在中，，，，D是上的一点，，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．
(1)当时，_______；
(2)当时，的形状是_______三角形；
(3)过点D作于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使．
20．如图1，在中，点D在的延长线上，点O是边上的一个动点，过点O作直线，设交的平分线于点E，交的平分线于点F．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，连接、，当点运动到何处时，四边形是矩形，并说明理由；
(3)在（2）的前提下满足时，四边形是正方形？（直接写出答案，无需证明）
21．如图，是中的中位线，点和为上点，四边形是平行四边形且．
(1)如图1，求证；
(2)点在上，且．
①如图2，求证：；
②如图3，从线段上取一点，连接，使．求证．
22．如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点，以、为邻边作平行四边形．
(1)证明：平行四边形是菱形；
(2)若，连接，，，
①求证：；
②求证：是等边三角形；
(3)若，，，是中点，求的长．
23．【概念学习】
在物理学中，速度具有大小和方向．如图-1，点受到两个速度的影响，其大小分别用线段、的长度表示，其方向分别用画有箭头的有向线段表示，以线段为邻边作平行四边形，则对角线的长度和方向表示与的合速度（即实际速度）的大小和方向，这种求与合速度的方法称为平行四边形法则．
【问题解决】
利用平行四边形法则解决下面的问题．
(1)如图-2，若小河的水流速度为，方向为正东，小船在静水中的航行速度也为，方向为正北．根据平行四边形法则可知，小船的实际速度方向为北偏东________．方向，大小为_________；
(2)如图-3，小河的水流速度仍为，若要使小船的实际速度方向为正北，大小为．
①尺规作图：在图-3中作出表示小船在静水中的速度的有向线段（保留作图痕迹，不写作图过程）；②直接写出小船在静水中航行的方向，并求其在静水中航行的速度．
《三角形与四边形专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A D C B B A
1．B
【分析】此题主要考查了勾股定理及线段垂直平分线的性质，先利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键．
【详解】解：，，，
，
是的边的垂直平分线，
，
，，
的周长是：．
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，可证明得到，进而可证明垂直平分，据此逐一分析判断即可．
【详解】解：∵是的角平分线，分别是和的高，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
根据现有条件无法证明，
∴正确的有②③④，
故选：D．
3．A
【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、三角形外角的定义及性质、平行线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
由平行线的性质可得，再根据等边三角形的性质结合三角形外角的定义及性质求解即可．
【详解】解：如图：
∵，
；
∵是等边三角形，
，
．
故选：A．
4．D
【分析】本题考查正方形的性质、三角形全等的判定及性质等，根据正方形的性质及三角形全等的判定及性质，证明；利用角平分线的定义及三角形全等的判定及性质，证明，设，将、和分别表示出来，在中根据勾股定理列关于x的方程并求解即可．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，，，
在中，根据勾股定理，得，即，
解得．
故选：D．
5．C
【分析】本题考查解直角三角形，平行四边形性质及折叠的性质，过A作，根据折叠得到，，，，，再证，结合利用正玄余玄求出即可得到答案；
【详解】解：过A作，
∵平行四边形纸片按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点，折痕为，，
∴，，，，，
∵四边形是平行四边形，
，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解决本题的关键．
设，则，，先计算出，则表示出，由平行得到，利用比例式求出比值．
【详解】解：延长交延长线于点N，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，点M为的中点，
设，则，，
在，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】本题考查了中点四边形，涉及平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，菱形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．
对于A、根据三角形的中位线定理得到，那么，即可证明四边形一定是平行四边形；对于C、记交于点，连接，由为中点，得到，则，同理，则，同理，即可证明；对于D、连接，同理可得：，当时，，则四边形是菱形，此时，同理可得：，，那么，即可证明矩形．
【详解】解：连接，
∵顺次连接四边形各边的中点得到四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故A正确，不符合题意；
记交于点，连接，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
同理，
∴，
同理，
∴四边形的面积一定是四边形面积的4倍，故C正确，不符合题意；
如图：连接，
同理可得：，
∴当时，，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，
∴，
同理可得：，，
∴，
同理可得四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，故D正确，不符合题意，B选项条件不足，不能证明，故B错误，符合题意，
故选：B．
8．A
【分析】本题考查正方形的性质，扇形的面积，解题的关键是求出阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积．
【详解】解：以点为圆心为半径作弧，
∵四边形是正方形，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
故选：A．
9．
【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
求出，得到等腰三角形，由角的直角三角形的性质求出，由勾股定理可得出答案．
【详解】解：由题意知，，
，
，
，
∴，
，
，，
，
．
故答案为：．
10．②③/③②
【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点．
首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可．
【详解】∵，
∴四边形是平行四边形
若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意；
若添加条件②平分
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，故②符合题意；
若添加条件③，
∴，
∵
∴
∴
∴
∴四边形是菱形，故③符合题意；
综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形．
故答案为：②③．
11． 6
【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，及勾股定理，三角形面积计算，熟知相关知识点是正确解答此题的关键．
由题意可知是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，因而可得的周长，据此即可得出答案．
【详解】解：由作图过程可知：是线段的垂直平分线，
∴，
∴的周长，
，
∴，
作于点，
，
，
中，，，
故答案为：6，．
12．
【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，勾股定理．作于点，作于点，交于点，设，利用勾股定理求得，由三角函数的定义，求得，，再由，利用三角函数的定义求得，根据五边形的面积为，据此计算即可求解．
【详解】解：作于点，作于点，交于点，设，如图，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴五边形的面积为
，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，再根据折叠的性质可得，从而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，
由折叠的性质可知，，
∴，
则在中，，
故答案为：．
14．6
【分析】以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，证和全等得，根据“垂线段最短”得：当时，为最短，即为最短，然后由四边形为矩形得，则的最小值为
【详解】解：以为一边在正方形内作等边，连接，过点作于点，如图所示：
四边形为正方形，且边长为，点为的中点，
，
和均为等边三角形，，
，
，
由勾股定理得：，
，
，
即：，
在和中，
，
，
，
根据“垂线段最短”得：当时，为最短，即为最短，如图所示：
，
四边形为矩形，
，
的最小值为6，
故答案为：
【点睛】此题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形.
15．
【分析】本题考查矩形中的翻折变换，勾股定理，中位线的性质定理，解题的关键是掌握翻折的性质和矩形的性质，构造三角形中位线解决问题．
延长到，使，连接，求出，根据翻折得到可得，故当H，F，C共线时，最小，的最小值为； 由是的中位线，即可得的最小值．
【详解】解∶ 延长到，使，连接，如图∶
四边形是矩形，
，
，
将沿翻折得到，
，
当，，共线时，最小，最小值为；
点为的中点，，
是的中位线，
，
的最小值为；
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解方程，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
分别过作的平行线，作交于点，连接，证明，再证明，可得，设，然后根据勾股定理得到，因为，得到，求出，即可得到答案．
【详解】如图，分别过作的平行线，作交于点，连接，
∵四边形是正方形，
，
，
∴四边形都是矩形，
，
由题意可知：，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
设，
，
，，
在中，根据勾股定理得：，
，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
17．(1)
(2)
【分析】（1）先证明四边形为菱形，根据菱形“对角线互相平分”且“对角线互相垂直”等性质，在中先求出，再求的长；
（2）根据“保持”先作出大致图形，通过观察和直观想象，结合操作，易知的长随着的旋转而变化，当时，最短，而当的端点与点重合时，使得最长，由此分别作出图形，结合特殊三角形的性质、勾股定理和解直角三角形的相关知识，分别求出的长，即可知道的取值范围．
【详解】（1）解：如图2，连接与交于点，
，且点与点重合于点，
四边形是菱形，
，
，
、均是等边三角形.
，
，
在中，，
；
（2）如图3所示当保持时，绕着点进行旋转，
①当如图4所示，点旋转到与点重合时，此时交点即点的位置，
由（1）可知，为等边三角形。
此时最长，；
②当如图5所示，木条旋转到使得时，此时最短，
过点作于点，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
综上所述，的取值范围为．
.
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由菱形的性质得出．，由作图知为的中垂线，
可知，即可得出 ，则可得出．
（2）由菱形的性质得出，，由相似三角形的性质得出，等量代换可知，进而可得出为的黄金分割点，最后根据正弦的定义以及黄金分割点的定义求解即可．
【详解】（1）证明四边形是菱形，
．，
由作图知为的中垂线，
，
，
．
（2）解：由作图知为的中垂线，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
在菱形中，．
又，
，
∴，
．
又，
，
为的黄金分割点，
．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，线段垂直平分线的作图以及性质，相似三角形的判定以及性质，还有黄金分割点的定义，正弦的定义等知识，掌握这些知识是解题的关键．
19．(1)
(2)等腰
(3)当或时，
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、垂直平分线的性质、等腰三角形的判定等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
（1）先求出，则，然后根据勾股定理求解即可；
（2）先求出，再说明是的垂直平分线，则即可解答；
（3）先说明，再根据勾股定理可得，然后分点在上和在的延长线上两种情况，分别根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：当时，，则，
∴．
故答案为：．
（2）解：当时，，
∴，即点C是的中点，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰．
（3）解：，
，
根据勾股定理，得，
当点在上时，
，
，
，
设，
，
∴在中，，
∴，解得：，
，
∴，解得：．
如图：当点在的延长线上，
，，
∴，
．
设，
，
在中，，
∴，解得：，
，
∴，解得．
综上，当或时，．
20．(1)见解析
(2)当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据角平分线的性质得到，，根据平行线得到，，从而利用等腰三角形说明，从而得到结论；
（2）当O为中点时，结合(1)可得四边形为平行四边形，然后根据得出矩形；
（3）当时，可得，对角线互相垂直的矩形是正方形．
【详解】（1）解： 平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
．
（2）解：当点O在边上运动到中点时，四边形是矩形．
，，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，即，
四边形是矩形．
（3）解：在（2）前提下，当的时，四边形是正方形．
，，
，
矩形是正方形．
【点睛】本题综合考查了平行线性质，等腰三角形的判定，平行四边形、矩形、正方形的性质与判定等知识，熟练掌握它们的性质和判定是解决问题的关键．
21．(1)见解析
(2)见解析，见解析
【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理以及平行四边形的性质得到，求出，即可得到结论；
（2）①根据相似三角形的性质得到，即可得到结论；
②根据三角形的性质得到，根据平行四边形的性质得到，即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1：是中的中位线，
，，
四边形是平行四边形
，
，，
，
，
；
（2）①证明：如图2：，，
，
，
即：
②证明：由①得
，，
，
又，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
22．(1)见解析
(2)①见解析；②见解析
(3)
【分析】本题考查平行四边形，菱形，全等三角形，等边三角形的知识，熟练掌握平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质是解题的关键；
（1）根据角平分线证明，进而证明四边形平行四边形，进而即可求证；
（2）①由（1）得，四边形是菱形，进而判定是等边三角形，进而判定；②根据题意，，进而判定是等边三角形；
（3）连接，，，判定四边形是矩形，进而判定四边形是正方形，进而证明，证明是等腰直角三角形，从而求解；
【详解】（1）证明如下：
∵平分，
∴，
∵四边形平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形．
（2）①证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，，
由（1）得，四边形是菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
②证明如下：∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
（3）解：连接，，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∵平分，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∵，，
∴，
∴；
23．(1)，
(2)①见解析；②小船应朝北偏西方向航行，速度大小为．
【分析】本题考查了锐角三角函数、勾股定理，平行四边形的判定，解本题的关键在理解平行四边形法则．
（1）设小船的实际速度方向为北偏东角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向；再根据勾股定理，计算得出小船的实际速度大小；
（2）①以点G为圆心，为半径画弧与以点N为圆心为半径画弧交点为点H，即可作出有向线段；②根据勾股定理，计算得出小船在静水中的航行速度；再设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，根据锐角三角函数，得出，再根据特殊角的三角函数值，得出，进而得出小船的实际速度方向．
【详解】（1）解：设小船的实际速度方向为北偏东角度，
∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为3km/h，
∴，
∴，
∴小船的实际速度方向为北偏东；
∵小河的水流速度为，小船在静水中的航行速度也为，
∴小船的实际速度为：；
故答案为：；；
（2）解：①如图，
②∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h，
小船在静水中的航行速度为：；
设小船在静水中的航行的方向为北偏西角度，
∵小河的水流速度仍为3km/h，小船的实际速度为km/h，
∴，
∴，
∴小船在静水中的航行的方向为北偏西，
综上可得：小船在静水中的航行的方向为北偏西，航行速度为．
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