实数与因式分解专项训练（含解析）-2025年中考数学二轮复习卷

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实数与因式分解专项训练-2025年中考数学二轮复习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，最大的数是（　　）
A． B．2 C． D．
2．在 ， ， ，（每两个0之间多一个1）中无理数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知，且为整数，则的值是（　　）
A．5 B． C．6 D．
4．估计的值应在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
5．下列因式分解中，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知三角形的三边长、、满足，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．直角三角形
7．若，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．若定义三个函数分别为：，，，下列结论：
①的最小值为；
②若为整数，则满足条件的整数的个数为7个；
③当时，．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
9．计算： ．
10．已知实数，满足，求的平方根 ．
11．如图，在中，，于点．若，则 ．
12．如果两数满足，那么 ．
13．已知多项式，当时，该多项式的值为，当时，该多项式的值为，若，则的值为 ．
14．如果，那么x叫做以a为底N的对数，记做．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法正确的为 ．
①；②；③若，则；④．
三、解答题
15．计算：
(1)；
(2)．
16．计算：
17．在实数范围内定义一种新运算“”，其运算规则为，如．已知满足，求的最大整数值．
18．先化简，再求值：，其中．
19．阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
(1)的整数部分为______；的小数部分为______．
(2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值；
(3)已知：，其中x是整数，且，求的值．
20．观察下列式子：
①，
②，
③，
④，
……
(1)探索以上式子的规律，第（为正整数）个等式为________，并进行推理说明成立；
(2)计算的结果是________．
21．阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等．
例如：分解因式：；
又如：求代数式的最小值：；
又；当时，有最小值，最小值是．
根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题：
(1)分解因式：______；
(2)已知、都是正整数，且满足，求a、b的值；
(3)当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值．
22．（1）对于一个矩形，可以通过部分、整体两种方法分别计算它的面积，得到一个等式，要求等式从左边到右边，是一个多项式到几个整式的积的变形形式，相当于对左边的多项式进行因式分解，我们把这样的等式叫“因式分解等式”，如图1、是4个小矩形拼接而成的大矩形，根据计算矩形的面积，可以得到的“因式分解等式”为__________；如图2，若，时，根据计算矩形的面积可以得到的“因式分解等式”为__________；
（2）类似的，通过不同的方法表示同一个长方体的体积，也可以探求相应的“因式分解等式”、如图3，棱长为的正方体被分割成8块．则有__________；
（3）根据（1）和（2）中的结论解答下列问题：若图1与图2中的a与b的值满足，，求的值．
《实数与因式分解专项训练-2025年中考数学二轮复习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C C C A D A B C
1．C
【分析】本题考查了实数的大小比较，先估算的取值范围，再比较大小即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴最大的数是．
故选C．
2．C
【分析】本题考查实数分类，无理数定义等．根据题意可知，，均是无理数，继而得到答案．
【详解】解：∵，，均是无理数，
∴无理数个数有3个，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查无理数的估算，立方根，熟练掌握无理数估算方法是解答的关键．先将原不等式化简为，再根据无理数的估算求解出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，即，
∴，且n为整数，
∴，
∴，
故选：C．
4．A
【分析】本题主要考查了二次根式的运算，无理数的估算，不等式的基本性质等知识点，掌握无理数的估算和不等式的基本性质是解题的关键．
运用二次根式的运算对原式进行化简，利用无理数的估算确定取值范围，再利用不等式的基本性质进行确定化简式的取值范围即可．
【详解】解：，
，
，
，且，
，
，
．
故选：A．
5．D
【分析】此题考查了因式分解的方法，根据分解因式的方法求解即可．解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等，据此进行分析解答即可．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、不能进行因式分解，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
6．A
【分析】本题考查了等腰三角形的定义、因式分解的应用，熟练掌握等腰三角形的定义是解题关键．将已知等式因式分解为，则或，由此即可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∴此三角形的形状一定是等腰三角形，不一定是等边三角形，
故选：A．
7．B
【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的性质，无理数的估算等知识，根据提取公因式、完全平方公式公式以及二次根式的性质对a、b变形，然后和c比较即可判断三者之间的大小．
【详解】解∶
，
，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的应用，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
①由可判断①正确；②把化简得，然后根据为整数，x为整数即可判断②正确；③由得，然后把变形即可判断③不正确．
【详解】解：①∵，，
∴
，
∴的最小值为，故①正确；
②∵，，
∴
，
∵为整数，x为整数，
∴，
∴，
∵，
∴共7个，故②正确；
③∵，，，
∴，
∴，
∴
，故③不正确．
故选C．
9．0
【分析】本题考查负指数幂运算，算术平方根以及特殊角的三角函数值，解题的关键是分别正确计算各项的值，再进行运算．
先计算出的值，再计算，同时明确的值，最后将两者计算结果相减．
【详解】解：
，
故答案为：0．
10．
【分析】本题考查非负数的性质、平方根，熟练掌握平方根的性质是解题的关键；
先根据平方、算术平方根的非负性求出和的值，进而求出的值，再求平方根即可．
【详解】解：，
，，
，，
；
的平方根是,
故答案为：
11．
【分析】本题考查了勾股定理、算术平方根，熟练掌握勾股定理是解题关键．先利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式计算即可得．
【详解】解：∵在中，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出，，再利用平方差公式得，再代入求值即可．
【详解】解：，
①②，得，
∴，
②①，得，
则，
故答案为：．
13．2023
【分析】本题考查了多项式的值、因式分解的应用，熟练掌握利用提取公因式法和平方差公式分解因式是解题关键．先根据多项式的值可得，，再将两个等式相减可得，利用因式分解可得，然后根据即可得．
【详解】解：∵当时，多项式的值为，当时，该多项式的值为，
∴①，②，
由①②得：，即，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
故答案为：2023．
14．①②③④
【分析】本题以新定义题型为背景，主要考查了学生的数的乘方的计算能力，在解答新定义题型的时候，首先一定要把定义理解透彻，然后灵活应用定义变化，一一判断给出的说法是否正确．
根据对数的定义和乘方解题即可．
【详解】解：∵，
∴，说法①符合题意；
设，则，
∴，
∴，故说法④符合题意；
则，说法②符合题意；
设，则，
两边同时取以为底的对数，，则，
所以，即，
则，
∵，
∴，说法③符合题意；
故答案为：①②③④．
15．(1)3
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方等知识点，解题的关键是熟练准确掌握各运算法则．
（1）先进行零指数幂，绝对值，负整数指数幂运算，再进行加减即可；
（2）先进行同底数幂相乘，积的乘方，幂的乘方运算，再进行合并同类项即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
16．
【分析】本题考查了算术平方根、零指数幂、负整数指数幂及特殊角三角函数，掌握这些基础知识是关键；依次计算算术平方根、零指数幂、特殊角三角函数及负整数指数幂，即可求解．
【详解】
．
17．的最大整数值为．
【分析】本题考查了解一元一次不等式．根据新运算的定义建立一元一次不等式，解不等式即可得．
【详解】解：∵，，
∴，
解得，
∴的最大整数值为．
18．化简结果：；求值结果：
【分析】本题考查分式化简求值，完全平方公式因式分解．根据题意先将括号内通分，再计算除法即可，后将代入化简结果即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
将代入得．
19．(1)3；
(2)2
(3)
【分析】本题考查无理数的估算，结合已知条件估算无理数是解题的关键；
（1）仿照材料计算即可；
（2）仿照材料求出，再代入计算即可；
（3）求出，再代入计算即可．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分为3．
，即，
的整数部分为3，小数部分为．
故答案为：3；；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
∴的值是2；
（3）解：，
，
，
∵x是整数，且，
，
，
∴的值为．
20．(1)，见解析
(2)
【分析】本题考查数字变化类规律探究，涉及因式分解，整式乘法，乘法公式．
（1）通过所给式子变化部分与等式序号间的关系探索出第n个等式，再证明即可；
（2）要计算的式子与（1）中证明的第n个等式的左边形式相同，注意到证明过程中，与n是否为正整数无关，因此可将算式的结果用（1）中等式的右边表示，进而求出结果．
【详解】（1）解：∵等式的左边是两部分的差，第一部分为三个连续整数的积，且第一个数与序号相同，第二部分为序号与1的和的立方，
∴等式左边可表示为：，
∵等式右边为序号与1的和的相反数，
∴等式右边可表示为：，
∴第n（n为正整数）个等式可表示为：，
故答案为：，
证明：∵左边
右边，
∴第n个等式成立；
（2）解：由（1）证明过程可知，等式成立于n是否为整数无关，
设，
则原式．
故答案为：．
21．(1)
(2)，
(3)当时，多项式有最大值，最大值为16
【分析】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，通过例题和材料，明确配方法的步骤，因式分解，用配方法求最值．
（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可；
（2）根据题意，移项后配方即可；
（3）对多项式变形，使式子中出现完全平方式，利用非负数的性质即可求出多项式的最大值．
【详解】（1）解：．
（2）解：将配方，得：
，
解得，．
（3）解：
，
当时，多项式有最大值，最大值为．
22．（1）；；
（2）；
（3）．
【分析】本题主要考查了因式分解、完全平方公式等内容，熟练掌握相关知识是正确解答此题的关键．
(1)根据图形面积即可得解；
(2)根据正方体的体积公式以及分割成的图形体积之和即可得解；
(3)参考上述结论计算求解即可．
【详解】解：（1）由图形等面积可得；；；
故答案为：；；
（2）正方体的体积为，
由图可知正方体被分割成8部分，
其中1个边长为的小正方体，
1个边长为的小正方体，
3个底面边长为，高为的长方体，
3个底面边长为，高为的长方体，
，
故答案为：；
（3），，，
，
，
，
，
，
，
．
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