第26 讲 正方形 （含答案） 2025年中考数学知识点过关训练
文档属性
| 名称 | 第26 讲 正方形 （含答案） 2025年中考数学知识点过关训练 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 112.6KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-10 20:51:46 | ||
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文档简介
第26 讲 正方形
A熟知教材与迁移
1.定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
2.下列说法正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.平行四边形一定是轴对称图形
3.如图,在正方形 ABCD中,点 E,F分别在BC 和AD 边上,BE=2,AF=6,AE∥CF,则△ABE的面积为 ( )
A.6 B.8 C.12 D.16
4.[2024·长沙]如图,在正方形ABCD 中,分别以点 B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点 E,连结 AE,BE得到△ABE,则∠BAE=( )
A.50° B.60° C.65° D.75°
5.如图,菱形 ABCD的对角线 AC,BD 相交于点O，那么下列条件中，能判定菱形 ABCD 是正方形的为 ( )
A.∠AOB=∠AOD B.∠ABO=∠ADO
C.∠BAO=∠DAO D.∠ABC=∠BCD
6.如图,在 Rt△ABC中,AB=4,M是斜边 BC 的中点,以 AM为边作正方形 AMEF.若 S正方形AMEF=16,则S△ABC= ( )
A.4 B.8
C.12 D.16
7.如图，O为正方形ABCD 的对角线AC 的中点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则 OE 的长度为 .
8.[2024·无锡模拟] 如图,正方形 ABCD 的边长为2 ,点 E,F分别在DC,BC上,BF=CE=2 ,连结AE,DF,AE与DF 相交于点G,连结AF,取 AF 的中点 H,连结 HG,则 HG 的长为
9.[2024·杭州模拟] 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点 D,AN 是△ABC 外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点 E.
(1)求证:四边形 ADCE 为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形 ADCE 是正方形 请给出证明.
B掌握通性与通法
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AB=6,AD=4,E,F是BC 上的两动点,且 EF=4,点 E 从点 B 出发,当点 F 移动到点C 时，两点停止运动.在四边形 AEFD 形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是 ( )
A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→正方形→菱形
D.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
11.如图，O是正方形ABCD 对角线的交点，E 是线段AO上一点.若AB=1,∠BED=135°,则 AE 的长为 .
12.如图,点 E,F,G 分别是正方形 ABCD 的边AB,CD,DA 上的点,且EG=GF,∠EGF=90°.连结 EF 并延长,交AD的延长线于点 M.设∠M=α,则 .(用α的锐角三角函数表示)
13.[2024·苏州模拟] 如图,在正方形 ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,M,N分别是AF,DE的中点，连结MN，求 的值.
C感悟思维与素养
14.在正方形 ABCD 中,M是边AB 的中点,点 E在线段AM 上(不与点 A 重合),点 F 在边 BC上,且AE=2BF,连结 EF,以 EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH.
(1)如图1,若AB=4,当点 E 与点M 重合时,求正方形 EFGH 的面积.
(2)如图2,已知直线 HG分别与边AD,BC 交于点I,J,射线EH 与射线AD 交于点K.
①求证:EK=2EH.
②设∠AEK=α,△FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为S ,S .求证:
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1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. B 7. 8.
9.解:(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE.
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°.∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.
(2)答案不唯一,如:当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
证明:∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD.
∵四边形ADCE为矩形,∴矩形 ADCE 是正方形.
故当∠BAC=90°时,四边形 ADCE是正方形.
10. A 11. -1 12. +tanα/ .
14.解:(1)∵M是边AB 的中点,AB=4,且点 E 与点M 重合,∴AE=BE=2.∵AE=2BF,∴BF=1.
在 Rt△EBF 中,
∴正方形 EFGH 的面积=EF =5.
(2)证明:①∵四边形ABCD 是正方形,∴∠A=∠B=90°,∴∠K+∠AEK=90°.
∵四边形EFGH是正方形,∴∠KEF=90°,EH=EF,
∴∠AEK+∠BEF=90°,∴∠AKE=∠BEF,
∴△AKE∽△BEF,∴EF=AF.
②∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠KIH=∠GJF.∵四边形EFGH是正方形,∴∠IHK=∠EHG=∠HGF=∠FGJ=90°,EH=FG.∵KE=2EH,∴EH=KH,∴KH=FG.在△KHI和△FGJ 中
∴△KHI≌△FGJ(AAS),∴S△KH =S△FGJ=S .
∵/K=/K,/A=∠IHK=90°,∴△KAE∽△KHI,
A熟知教材与迁移
1.定义：一个四边形中，若有一个角的两边相等，且与它的对角互补，则称这个四边形为“半等边四边形”，则下列四边形一定是“半等边四边形”的是 ( )
A.平行四边形 B.矩形
C.菱形 D.正方形
2.下列说法正确的是 ( )
A.对角线互相垂直的四边形是菱形
B.一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形
C.对角线相等的菱形是正方形
D.平行四边形一定是轴对称图形
3.如图,在正方形 ABCD中,点 E,F分别在BC 和AD 边上,BE=2,AF=6,AE∥CF,则△ABE的面积为 ( )
A.6 B.8 C.12 D.16
4.[2024·长沙]如图,在正方形ABCD 中,分别以点 B，C为圆心，BC长为半径画弧，两弧相交于点 E,连结 AE,BE得到△ABE,则∠BAE=( )
A.50° B.60° C.65° D.75°
5.如图,菱形 ABCD的对角线 AC,BD 相交于点O，那么下列条件中，能判定菱形 ABCD 是正方形的为 ( )
A.∠AOB=∠AOD B.∠ABO=∠ADO
C.∠BAO=∠DAO D.∠ABC=∠BCD
6.如图,在 Rt△ABC中,AB=4,M是斜边 BC 的中点,以 AM为边作正方形 AMEF.若 S正方形AMEF=16,则S△ABC= ( )
A.4 B.8
C.12 D.16
7.如图，O为正方形ABCD 的对角线AC 的中点，△ACE为等边三角形.若AB=2,则 OE 的长度为 .
8.[2024·无锡模拟] 如图,正方形 ABCD 的边长为2 ,点 E,F分别在DC,BC上,BF=CE=2 ,连结AE,DF,AE与DF 相交于点G,连结AF,取 AF 的中点 H,连结 HG,则 HG 的长为
9.[2024·杭州模拟] 如图,在△ABC 中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点 D,AN 是△ABC 外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为点 E.
(1)求证:四边形 ADCE 为矩形.
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形 ADCE 是正方形 请给出证明.
B掌握通性与通法
10.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=30°,∠C=60°,AB=6,AD=4,E,F是BC 上的两动点,且 EF=4,点 E 从点 B 出发,当点 F 移动到点C 时，两点停止运动.在四边形 AEFD 形状的变化过程中，依次出现的特殊四边形是 ( )
A.平行四边形→菱形→矩形→平行四边形
B.平行四边形→菱形→正方形→平行四边形
C.平行四边形→菱形→正方形→菱形
D.平行四边形→矩形→菱形→平行四边形
11.如图，O是正方形ABCD 对角线的交点，E 是线段AO上一点.若AB=1,∠BED=135°,则 AE 的长为 .
12.如图,点 E,F,G 分别是正方形 ABCD 的边AB,CD,DA 上的点,且EG=GF,∠EGF=90°.连结 EF 并延长,交AD的延长线于点 M.设∠M=α,则 .(用α的锐角三角函数表示)
13.[2024·苏州模拟] 如图,在正方形 ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,M,N分别是AF,DE的中点，连结MN，求 的值.
C感悟思维与素养
14.在正方形 ABCD 中,M是边AB 的中点,点 E在线段AM 上(不与点 A 重合),点 F 在边 BC上,且AE=2BF,连结 EF,以 EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH.
(1)如图1,若AB=4,当点 E 与点M 重合时,求正方形 EFGH 的面积.
(2)如图2,已知直线 HG分别与边AD,BC 交于点I,J,射线EH 与射线AD 交于点K.
①求证:EK=2EH.
②设∠AEK=α,△FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为S ,S .求证:
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1. D 2. C 3. B 4. D 5. D 6. B 7. 8.
9.解:(1)证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠BAD=∠DAC.
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线,
∴∠MAE=∠CAE,∴∠DAC+∠CAE=∠BAD+∠MAE.
∵∠DAC+∠CAE+∠BAD+∠MAE=180°,
∴∠DAE=∠DAC+∠CAE=90°.∵AD⊥BC,CE⊥AN,
∴∠ADC=∠CEA=90°,∴四边形ADCE为矩形.
(2)答案不唯一,如:当∠BAC=90°时,四边形ADCE是正方形.
证明:∵AB=AC,∴∠ACB=∠B=45°.
∵AD⊥BC,∴∠CAD=∠ACD=45°,∴DC=AD.
∵四边形ADCE为矩形,∴矩形 ADCE 是正方形.
故当∠BAC=90°时,四边形 ADCE是正方形.
10. A 11. -1 12. +tanα/ .
14.解:(1)∵M是边AB 的中点,AB=4,且点 E 与点M 重合,∴AE=BE=2.∵AE=2BF,∴BF=1.
在 Rt△EBF 中,
∴正方形 EFGH 的面积=EF =5.
(2)证明:①∵四边形ABCD 是正方形,∴∠A=∠B=90°,∴∠K+∠AEK=90°.
∵四边形EFGH是正方形,∴∠KEF=90°,EH=EF,
∴∠AEK+∠BEF=90°,∴∠AKE=∠BEF,
∴△AKE∽△BEF,∴EF=AF.
②∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠KIH=∠GJF.∵四边形EFGH是正方形,∴∠IHK=∠EHG=∠HGF=∠FGJ=90°,EH=FG.∵KE=2EH,∴EH=KH,∴KH=FG.在△KHI和△FGJ 中
∴△KHI≌△FGJ(AAS),∴S△KH =S△FGJ=S .
∵/K=/K,/A=∠IHK=90°,∴△KAE∽△KHI,
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