第27讲圆的基本性质 （含答案） 2025年中考数学知识点过关训练

圆的基本性质
A熟知教材与迁移
1.[2024·上海] 如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10.若以点C为圆心，CA长为半径的圆恰好经过AB 的中点D，则⊙O的半径为 ( )
A.5 B.8 C.6 D.5
2.给出下列说法：①直径是弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆.
其中，正确的说法有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,在⊙O中,∠BOC=130°,点 A 在. 上，则∠BAC 的度数为 ( )
A.55° B.65° C.75° D.130°
4.小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如下左图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点 A，B，C，得到三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是( )
A. AB，AC边上的中线的交点
B. AB，AC边上的垂直平分线的交点
C. AB，AC边上的高线的交点
D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点
5.如图,AB是⊙O的弦,点 P 在弦AB 上,PA=4,PB=2,OP= ，则⊙O的半径为 ( )
A.5 C.4
6.如图,AB是⊙O的直径,CD为弦,CD⊥AB且交AB 于点 E，则下列结论中，不成立的是 ( )
A.∠A=∠D
C.∠ACB=90° D.∠COB=3∠D
7.[2024·武汉模拟] 如图,⊙O是 Rt△ABC的外接圆,OE⊥AB 交⊙O于点 E,垂足为点 D,AE,CB的延长线交于点 F.若OD=3,AB=8,则 FC的长是 ( )
A.10 B.8 C.6 D.4
8.已知⊙O的半径为7,AB 是⊙O的弦,点 P 在弦AB 上.若PA=4,OP=5,则AB= .
9.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面 AB 的距离为 4 cm,则水面 AB的宽度为 cm.
10.[2024·广东] 如图,⊙O是△ABC 的外接圆,AB是⊙O的直径，D为AC的中点，⊙O的切线DE 交OC 的延长线于点 E.
(1)求证:DE∥AC.
(2)连结 BD交AC 于点 P,若 AC=8, cos A= ,求CP的长.
B掌握通性与通法
11.如图,AB为⊙O 的直径,弦CD⊥AB 于点 F,OE⊥AC于点E,若OE=3,OB=5,则CD的长度是 ( )
A.9.6 B.4 D.10
12.如图，⊙O是等边三角形ABC 的外接圆，D 是 上一动点(不与 A，C重合)，下列结论：①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③当 DB最长时,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正确的结论有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
13.[2024·武汉] 如图,AB 为⊙O 的直径,AE 是⊙O的弦,DE=BD,DF⊥AB 于点 H,交⊙O于点F,连结 EF 交AB 于点G.
(1)求证:AE=AG.
(2)若BH=3,BD=5,求EF 的长.
14.如图,在△ABC 中,AB=AC,AB 是⊙O 的直径,BC交⊙O于点D,CA 的延长线交⊙O于点E,连结OD.
(1)求证:OD∥AC.
(2)若AD=2,BD=4,求线段AE的长.
C感悟思维与素养
15.[2024·南京模拟] 如图,圆内接四边形 ABCD的对角线AC,BD 交于点 E,BD 平分∠ABC,∠BAC=∠ADB.
(1)证明DB平分∠ADC,并求∠BAD的大小.
(2)过点 C作CF∥AD交AB 的延长线于点F,若AC=AD,BF=2,求此圆半径的长.
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1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. A
8.10 9.16 10.(1)证明略 (2)3 11. A 12. C
13.解:(1)证明:∵AB 为⊙O的直径,且 DF⊥AB于点 H,
∴BD=BF,AD=AF,FH=DH.
∴∠F=∠BDF,∴EF∥BD,∴∠AGE=∠B,
∵AD=AF,∴∠B=∠E,∴∠AGE=∠E,∴AE=AG.
(2)连结AD,交EF于M,连结OD,如图,设⊙O的半径为r.∴OB=OA=OD=r,AB=2r.∵DF⊥AB,BH=3,BD=5,∴在 Rt△BDH中,由勾股定理得,
∴FH=DH=4,
∴在 Rt△ODH中,OD=r,
OH=OB-BH=r-3,DH=4,
由勾股定理得，
即 解得
在△FHG和△DHB中.
∴△FHG≌△DHB(ASA),∴FG=BD=5,GH=BH=3,
∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,即 AD⊥BD.
又∵EF∥BD,∴AD⊥EF,由(1)的结论得,AE=AG,
∴GM=EM,即GE=2GM,
∵EF∥BD,∴△AGM∽△ABD,∴GM:BD=AG:AB,
即
14.(1)证明略
15.解:(1)∵∠BAC=∠ADB,∠BAC=∠CDB,
∴∠ADB=∠CDB,∴DB平分∠ADC.
∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.
∵四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180°,
∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB=180°,
∴2(∠ABD+∠ADB)=180°,∴∠ABD+∠ADB=90°,
(2)∵∠BAE+∠DAE=90°,∠BAE=∠ADE,
∴∠ADE+∠DAE=90°,∴∠AED=90°.
∵∠BAD=90°,∴BD是圆的直径,∴BD垂直平分AC,
∴AD=CD.∵AC=AD,∴△ACD是等边三角形,
∴∠ADC=60°.∵BD⊥AC,∴∠BDC= ∠ADC=30°.
∵CF∥AD,∴∠F+∠BAD=180°,∴∠F=90°.
∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°.
∵∠FBC+∠ABC=180°,∴∠FBC=∠ADC=60°,
∴BC=2BF=4.∵∠BCD=90°,∠BDC=30°,∴BC= BD.
∵BD是圆的直径，∴此圆半径的长是4.