2025年中考数学“23—24题”解答小卷（含答案）

2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(一)
23.(10分)在平面直角坐标系xOy中,A(2,m),B(x ,y ) ,C(x ,y )是抛物线 上的三个点.
(1)当m=-1时，求抛物线的顶点坐标.
(2)若 当m>3时，试比较y ，y 的大小，并说明理由.
(3)若对于 都有 ，求a的值.
24.(12分)综合与实践
【模型探索】
(1)如图1,在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足为点 P,连结AD,BC,CD,过点O作OH⊥AD交AD 于点H.若AC为直径,OH=2,求 BC的长.
【尝试建构】
(2)如图2,在⊙O中,弦AC⊥弦BD,垂足为点 P,连结AD,BC,CD,过点O作OH⊥AD交AD 于点H.猜想OH 与BC 的数量关系，并证明你的猜想.
【迁移应用】
(3)如图3,在⊙O中,弦AC⊥弦BD,两弦延长线交于点 P,连结AD,BC,AO,DO,BO,CO.若∠AOD=30°,AO=2,求△BOC的面积.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(二)
23.(10分)情境阅读：小陈同学在中考数学复习时，回顾了八年级下册书中“一元二次方程应用”中的“台风问题”，对该问题有了以下思考：
台风问题 小陈发现，八年级的时候是根据一元二次方程的根的情况解决了这个问题，现在可以从二次函数最值角度解决. (注：请通过二次函数最值角度解决这个问题.)
如图，一轮船以20 km/h的速度由西向东航行，在途中C处接到台风警报，台风中心在 B 处正以10 km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心200 km的区域(包括边界)都属于受台风影响区.当轮船接到台风警报时,测得 BC=500 km,BA=300 km.如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区 通过计算说明理由.
24.(12分)已知AB为⊙O的直径,以AB为边作矩形ABCD,点 E和点G 是⊙O上两点,连结AE,BE,CE,DE和EG,
(1)如图1,求证:
(2)如图2,过点 E作. 垂足为点 F，连结 BG，求证：
(3)在(2)的条件下,若 求 BG的长.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(三)
23.(10分)在平面直角坐标系中，设二次函数 (a为实数).
(1)若二次函数图象经过点 求函数解析式.
(2)设一次函数 (b为实数)，若二次函数的图象与一次函数的图象有且只有一个交点，求a-b的值.
(3)当 时，二次函数 的最大值与最小值的差为4，求a的值.
24.(12 分)如图,已知O是线段AB 的中点, P是线段OB 上的一个动点(不与点O、点 B 重合)，以AP为边构造正方形APCD,E为CP 上一点,连结AE,OE,BE,且. ,EF交CD 于点F.
(1)证明:
(2)当 E 是CP 的中点时,求 EF 的值.
(3)若 和 的面积分别为 求证
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(四)
23.(10分)已知二次函数 的图象与x轴交于点A(m,0),B(n,0).
(1)当 时，求m的值.
(2)当 时，求a的取值范围.
(3)若 两点也都在此函数图象上，求证：p+q<0.
24.(12 分)如图,已知四边形ABCD是矩形, ，以 DE为直径的圆交线段AD 于点 H，交线段 AE 于点G ,连结GH,DG,其中 DG的延长线交线段BC 于点F,连结AF.
(1)求证: 是等腰三角形.
(2)若 ,求 tan∠EAF 的值.
(3)若 记 求 的值.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(五)
23.(10分)已知函数 (k为常数且k≠0)的顶点坐标为 M(m,n).
(1)当k=1时，求该函数图象的对称轴、顶点坐标.
(2)写出n关于m的函数关系式.
(3)已知点 A(1,p),B(-1,q)在函数图象上,求证:pq≥-16.
24.(12分)已知四边形ABCD内接于⊙O,连结AC,BD且AC平分∠DAB.
(1)如图1,当∠DAB=90°时,
①请判断△BCD的形状，并说明理由.
②若AD=8,AB=6,求AC的长.
(2)如图2,当 时,AD=a,AB=b,求AC的长.(用a,b表示)
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(六)
23.(10分)学校组织九年级学生进行跨学科主题学习活动，利用函数的相关知识研究某种化学试剂的挥发情况.在两种不同的场景A和场景B下做对比实验，设实验过程中，该试剂的挥发时间为x分钟时，在场景A，B中的剩余质量分别为y ，y (单位：克).下面是某研究小组的探究过程，请补充完整.记录 与x的几组对应值如下：
x/分钟 0 5 10 15 20 …
y /克 25 23.5 20 14.5 7 …
y /克 25 20 15 10 5
(1)在同一平面直角坐标系中，描出上表中各组数值所对应的点 并画出函数y ，y 的图象.
(2)进一步探究发现，场景A的图象是抛物线的一部分，y 与x之间近似满足二次函数 场景 B的图象是直线的一部分，y 与x之间近似满足一次函数 则b= ,c= ,k= .
(3)查阅文献可知，该化学试剂的质量不低于4千克时，才能发挥作用，在上述实验中，记该化学试剂在场景A,B中发挥作用的时间分别为xA,xB,则xA xB.(填“>”“<”或“=”)
24.(12分)数学探究:
问题情境：综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动.
实践操作：如图1，将等腰直角三角形 AEF 绕正方形ABCD 的顶点A 逆时针方向旋转，其中 90°,EA=EF,连结CF,H为CF的中点,连结 HD,HE,DE,得到
应用探究：(1)如图2，当点 E恰好落在正方形ABCD 的对角线AC 上时，判断 的形状，并说明理由.
(2)如图3，当点E恰好落在正方形ABCD 的边AB 上时，(1)中的结论还成立吗 请说明理由.
深入探究：(3)在旋转过程中，△DHE的形状是否发生变化 请证明你的猜想.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(七)
23.(10分)喷泉的轨迹近似一条抛物线.在喷泉的喷口处有一个激光灯，发出的激光射线恰好经过喷泉的最高点.如图，将喷泉和激光视作从同一点(喷管顶部)射出，喷管可以上下移动，以喷管与水面交点为原点，过原点的水平直线为x轴，喷管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.喷泉的轨迹用二次函数 bx+c(a≠0)表示,激光的轨迹所在直线用y= kx+c(k≠0)表示.
(1)求证:
(2)若激光射线沿着与水平面45°方向斜上方射出，此时喷管顶部与水面同一高度，即c=0，喷泉水柱落地处与喷管的水平距离为4米.
①求喷泉轨迹的函数表达式.
②若水池半径为5米，要使喷泉水柱落地时不落在水池外，在喷泉形状不变的情况下，喷管最多可上升多少米 (喷泉位于水池中间)
24.(12分)B是⊙O上的一个动点.⊙O的半径为2,直径CD垂直于弦AB,交AB于点H.连结AC,过点 B作BG 垂直于AC,交AC于点E.
(1)如图1,若 BG经过圆心,求 AC的长.
(2)如图2,若 BG不经过圆心,BG交CD 于点 F.
①求证：
②若 ,求 AC的长.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(八)
23.(10分)已知二次函数 (m,n为常数)的自变量x与函数y的部分对应值如表：
x -1 0 5
y p 0 p
(1)求二次函数图象的顶点坐标.
(2)点. 在抛物线 上，点 在抛物线 上.
①若h=-t,且 求 h的值.
②若 求h的最小值.
24.(12分)如图，已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，BC的延长线与过点A 的垂线交于点D，过点 A 作 分别交OD 于E,射线 BE 交弧AC 于点 F,若
(1)求证:
(2)求 的值.
(3)求证:EF与AC 互相平分.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(一)
23.(1)( ,) (2)y >y , 理由略 (3)a=-1
24.解:(1)因为OH⊥AD,所以AH=DH.
因为O为AC的中点，所以 HO为△ACD的中位线，
所以CD=2HO=4.因为AC为⊙O的直径,AC⊥BD,
所以DP=BP,AC为BD的中垂线,所以BC=CD=4.
(2)BC=2HO.证明如下:
连结DO并延长，交⊙O于点E，连结AE，如图1.
因为OH⊥AD,所以AH=DH.
因为O为DE的中点，
所以 HO为△AED的中位线,所以AE=2HO.
因为DE为⊙O的直径，
所以∠DAC+∠CAE=90°.
因为AC⊥BD,所以∠DAC+∠ADB=90°,所以∠ADB=∠CAE.
因为∠ADB=∠ACB,所以∠ACB=∠CAE,
所以AB=CE,CB=AE,BC=AE,所以BC=2HO.
(3)过点O作OH⊥AD交AD 于点 H,过点O作OG⊥BC交BC于点G,如图2.
由(2)得 BC=2HO,
因为OG⊥BC,所以GC=BG,
所以GC=HO.
因为OA=CO,
所以△AOH≌△OCG(HL),
所以OG=AH,
所以 因为∠AOD=30°,AO=2,
所以
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(二)
23.轮船会进入台风影响区.理由略
24.解:(1)证明:如图1,连结 BG.
∵∠GEB=2∠DAE,
∴设∠GEB=2α,∠DAE=α.
∵四边形 ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠EBG=180°-∠EGB-∠GEB=90°
-α,∴∠EBG=∠EGB,∴EG=EB.
(2)证明:如图2,延长EF交⊙O于点R,连结 BR.
设∠GEB=2α,
∴∠G=∠R=∠EBG=90°-α,
∵AB⊥EF,AB是⊙O的直径,
∴EF=RF,BE=BR,ER=2EF,
∴BE=BR,∴∠BRE=∠BER=90°-α,
∴∠BER=∠EBG=90°-α.
∵∠G=∠R,BE=BE,
∴△EBG≌△BER(AAS),∴BG=ER=2EF.
(3)∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,设∠DCE=2β,
∵∠DCE+2∠DAE=90°,∴∠DAE=45°-β.
∵四边形 ABCD 是矩形,∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AD=BC,AB=CD,
∴∠CEB=180°-∠CBE-∠ECB=45°+β,
∴∠CEB=∠CBE,∴CB=CE.
如图3,过点C作CH⊥EB交EB 于点H.
∴EH=HB=3.
∵∠EFB=∠CHB=90°,∠FEB=∠CBH,
∴△FEB∽△HBC,
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(三)
(2)a-b=-1
(3)a=1或a=-1
24.解:(1)证明:∵OE⊥EF,∴∠OEF=90°,
∴∠FEC+∠OEP=90°.
∵四边形 APCD 是正方形,∴∠C=∠APC=90°,
∴∠FEC+∠CFE=90°,∴∠OEP=∠CFE,
∴△CEF∽△POE.
(2)设EP=x,∵E是CP 的中点,∴CP=AP=2EP=2x.
∵AE⊥BE,O是线段AB的中点,∴AO=OE=2,
∴OP=AP-AO=2x-2.
∵在 Rt△OPE中,OP +EP =OE ,∴(2x-2) +x =2 ,
舍去)，(
(3)设EP=a,AP=b,则
∵在 Rt△OPE中,(
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(四)
23.(1)m=1 (3)证明略
24.解:(1)证明:连结DE,
∵AE=AD,∴∠AED=∠ADE.
∵∠AHG=∠AED,∠AGH=∠ADE,
∴∠AHG=∠AGH,∴AG=AH,
∴△AGH是等腰三角形.
(2)连结EH.易知四边形 HDCE为矩形,∴HD=CE.
由(1)知AH=AG,又AD=AE,∴HD=GE,
∴CE=GE.∵AD=AE=5,AB=3,∠B=90°,
∴BE=4,∴CE=GE=1,∴AG=AE--GE=5-1=4.
(3)∵AD=2CD,∴AE=2AB,∴∠AEB=30°.
将面积比转化为三角形相似比的平方求解，
可证明∠HGD=∠FDE,∠ADF=∠DFE,得到△GDH∽△DFE,又可知
所以
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(五)
23.(1)对称轴为直线x=2,顶点坐标为(2,2)
(3)证明略
24.解:(1)①△BCD为等腰直角三角形,理由如下:
∵∠DAB=90°,∴BD为⊙O的直径,∴∠DCB=90°.
∵AC平分∠DAB,∴∠BAC=∠CAD=45°,
∴在 Rt△BCD中,∠CBD=∠CAD=45°,
∴△BCD为等腰直角三角形.
②过点 B作BH⊥AC于 H,如图1.
∵∠DAB=90°,AD=8,AB=6,
∴BD为⊙O的直径,BD=10.
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴在 Rt△ABH中,
∴在Rt△BCH中,
(2)过点 D作DE∥AB,交AC 于点E,过点B作BF∥AD,交 AC于点 F,如图2.
∵∠DAB=120°,AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠BAC=60°,CD=CB.
∵DE∥AB,∴∠DEA=∠BAC=60°,
∴△DAE是等边三角形,∴AD=DE=EA.同理可证△ABF也是等边三角形，
∴AF=FB=BA.
∵四边形ABCD内接于⊙O,∠DAB=120°,
∴∠DCB=60°.∴∠DCA+∠ACB=60°.
又∵∠BFA=∠FBC+∠ACB=60°,
∴∠DCA=∠FBC.
又易知∠DEC=∠CFB,
∴△DEC≌△CFB,∴DE=CF,EC=FB.
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∵AC=AE+CE,∴AC=AD+BF=AD+AB=a+b.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(六)
23.(1)图略 (2)-0.1,25,-1 (3)>
24.解:(1)结论:△DHE是等腰直角三角形.
理由:∵四边形 ABCD是正方形,∴∠CDF=90°,∠DCA=45°.
∵H是CF 的中点,
∵∠CEF=90°,CH=HF,
∵DH=CH=HE,∴∠HCD=∠HDC,∠HCE=∠HEC.
∵∠DHF=∠HDC+∠HCD,∠FHE=∠HCE+∠HEC,
∴∠DHE=2∠DCH+2∠HCE=2∠DCA=90°.
∴△DHE是等腰直角三角形.
(2)如图1，结论成立.
理由:连结 BH,过点 H 作 HG⊥AB于点G.
∵四边形ABCD是正方形,∠EAF=45°,∴A,F,C共线.
∵CB=CD,∠BCH=∠DCH=45°,CH=CH,
∴△BCH≌△DCH(SAS),∴DH=BH,∠CDH=∠CBH.
∵∠FEA=∠HGA=∠CBA=90°,∴EF∥GH∥BC,
∴BC=CHE.∵CH=HF,∴GB=GE.
∵HG⊥BE,∴HB=HE,∴∠HBE=∠HEB,HE=HD.
∵∠CDA=∠CBA=90°,∠CDH=∠CBH,
∴∠ADH=∠ABH=∠HEB.∵∠HEB+∠AEH=180°,
∴∠ADH+∠AEH=180°,∴∠DHE+∠DAE=180°.
∵∠DAE=90°,∴∠DHE=90°,
∴△DHE是等腰直角三角形.
(3)△DHE的形状不发生变化.
证明:如图2,连结AC,BE,BD.∵∠CAB=∠EAF=45°,∴ F,∴BE= ,∠ABE=∠ACF,∴∠DCH=∠ACF+45°= H为CF 的中点,
则 又
,
∴∠CDB=∠HDE=45°,∴△DHE是等腰直角三角形.
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(七)
23.(1)证明略 ②2.5米
24.解:(1)连结 BC,如图1,
∵CD⊥AB,∴BD=AD,
∴∠BCD=∠ACD.
∵OB=OC,∴∠BCD=∠CBE.
∵BG⊥AC,
∴∠BCD+∠ACD+∠CBE=3∠ACD=90°,
(2)①证明:连结CG,如图2,∵CD⊥AB,BG⊥AC,
∴∠B+∠BFD=∠ACD+∠CFE.
∵∠BFD=∠CFE,∴∠B=∠ACD.
∵AG=AG,∴∠B=∠ACG.
∴∠ACG=∠ACD.
∵∠FEC=∠CEG=90°,且CE=CE,
∴△CEF≌△CEG.∴EF=EG.
②连结 OA,如图 3.由①可知,∠B=∠ACD.
∵∠BAC=∠BAC.
∴△ABE∽△ACH,
∵AC=2AB,
设AH=x,则AB=2x,AC=2AB=4x,AE= x,在 Rt△ABE中,
在 Rt△AOH中,(
解得
2025 中考原创 “23—24题”解答小卷(八)
23.解:(1)∵二次函数 的图象过(0,0),∴n=0.又∵(--1,p),(5,p),∴m=2,
∴二次函数的解析式为
∴顶点坐标为(2,-4).
(2)∵点 A(x ,y )在抛物线 上，
在抛物线 上，
即
，即
∵x ≥0,t>0,∴2x +t>0,∴t=3,∴h=-3.
②将x =t+2代入 得h=t +2t(t+2)-6(t+2)-4t,
∴
∵3>0,∴当t=1,即x =3时,h取最小值-15.
24.解:(1)证明:∵AB是⊙O的直径,C是圆上一点,∴AC⊥BD.又∵AB=AD,∴BC=CD.
(2)∵AB=AD,且AB是⊙O的直径,∴AB=AD=2AO.
∵BC的延长线与过点A 的垂线交于点 D，
∴AB⊥AD,∠BAD=90°.
在 Rt△AOD中,
在 Rt△AOE 中,
(3)证明:如图,过点 B作BM∥AE,交EO的延长线于点M,连结CE,CF,AF.∵BM∥AE,
∴∠BAE=∠ABM,∠AEO=∠BMO=90°.
∵AO=BO,
∴△AOE≌△BOM(AAS),
∴AE=BM,OE=OM.
∴∠MEB=∠MBE=45°,∠AEB=∠AEO+∠MEB=135°,∠BED=180°-∠MEB=135°,∴∠AEB=∠BED.
∵AB=AD,∠BAD=90°,∴∠ABD=45°,
∴∠ABM=∠DBE=∠BAE,∴△AEB∽△BED,
∴△AOE∽△BCE,∴∠BEC=∠AEO=90°,
∴∠CEF=90°=∠AFE,∴AF∥CE.
∵∠AEB=135°,∴∠AEF=180°-∠AEB=45°.
∵∠CFB=∠CAB=45°,∴∠CFB=∠AEF,
∴AE∥FC,∴四边形AECF是平行四边形,
∴AC与EF 互相平分.