2024-2025学年四川省成都市田家炳中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年四川省成都市田家炳中学高二下学期3月月考数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 141.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-10 13:43:43 | ||
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文档简介
2024-2025学年四川省成都市田家炳中学高二下学期3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列，，则的公差为( )
A. B. C. D.
2.已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，若公比，，则( )
A. B. C. D.
4.若，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，若，则的前项和为( )
A. B. C. D.
6.曲线在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列和的前项和分别为，，若，则 ．
A. B. C. D.
8.已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A. B. C. D.
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图，图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，如图，图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，，则 ．
13.已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ．
14.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教原计划第一批派遣名学生，以后每批都比上一批增加人由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列按新数列的各项依次派遣支教学生记为派遣批学生后支教学生的总数，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列，数列满足
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为．
求的标准方程；
过点的直线交于，两点，若以为直径的圆过的右焦点，求直线的方程；
两条不同的直线，的交点为的左焦点，直线，分别交于点，和点，，点，分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值为坐标原点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
设切点为，由得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
16.解：因为，当时，，解得
当时，，
所以，
即．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
故．
解：由知，则，
所以
，
得
．
所以数列的前项和
17.解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以点在线段的中垂线上，
则，
则，
所以，，
即，，
又平面，
所以平面；
由可得即为平面的一个法向量，
，
设平面的法向量，
则有，令，则，所以，
则二面角为锐二面角，
则，
所以二面角的余弦值为；
由得，为平面的一个法向量，
则点到平面的距离为．
18.解：设等差数列的公差为，
由题意知：
解方程组得，所以，
即
，
，
单调递增，，
又
若使得对一切恒成立，则，解得，
实数的取值范围是．
19.解：由题意得，，所以．
因为短轴长为，所以，解得，所以，
所以的标准方程为．
由知，．
当直线的斜率不存在时，则，，
此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，
则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在．
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
，且，．
因为以为直径的圆经过点，所以．
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即，
即直线的方程为或．
由知，，则直线的方程为，直线的方程为，
设，，，，
联立，消去得，，
由，所以，
所以，，
即，同理可得，
因为，所以，则，
记的中点为，则．
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的面积最大值为．
第1页，共1页
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为等差数列，，则的公差为( )
A. B. C. D.
2.已知是定义在上的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，若公比，，则( )
A. B. C. D.
4.若，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知数列满足，若，则的前项和为( )
A. B. C. D.
6.曲线在处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知等差数列和的前项和分别为，，若，则 ．
A. B. C. D.
8.已知数列的首项，且满足，则中最小的一项是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列的公比为，前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数及其导函数，若存在使得，则称是的一个“巧值点”下列选项中有“巧值点”的函数是( )
A. B. C. D.
11.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排的形状，把数分成许多类，如图，图形中黑色小点个数：，，，，称为三角形数，如图，图形中黑色小点个数：，，，，称为正方形数，记三角形数为数列，正方形数为数列，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在等差数列中，，则 ．
13.已知点在函数的图象上，则到直线的距离的最小值为 ．
14.习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教原计划第一批派遣名学生，以后每批都比上一批增加人由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个，使它们和原数列的项构成一个新的数列按新数列的各项依次派遣支教学生记为派遣批学生后支教学生的总数，则的值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．
16.本小题分
已知数列的前项和为，且
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
如图所示，在三棱锥中，平面，，，，，．
求证：平面；
求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
18.本小题分
已知公差不为的等差数列的前项和为，且成等比数列，数列满足
求数列的通项公式；
设数列的前项和为，若对一切恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率，短轴长为．
求的标准方程；
过点的直线交于，两点，若以为直径的圆过的右焦点，求直线的方程；
两条不同的直线，的交点为的左焦点，直线，分别交于点，和点，，点，分别是线段和的中点，，的斜率分别为，，且，求面积的最大值为坐标原点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即．
设切点为，由得，
所以切线方程为，
因为切线经过原点，
所以，
所以，．
则，
所以所求的切线方程为，切点为．
16.解：因为，当时，，解得
当时，，
所以，
即．
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
故．
解：由知，则，
所以
，
得
．
所以数列的前项和
17.解：如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，所以点在线段的中垂线上，
则，
则，
所以，，
即，，
又平面，
所以平面；
由可得即为平面的一个法向量，
，
设平面的法向量，
则有，令，则，所以，
则二面角为锐二面角，
则，
所以二面角的余弦值为；
由得，为平面的一个法向量，
则点到平面的距离为．
18.解：设等差数列的公差为，
由题意知：
解方程组得，所以，
即
，
，
单调递增，，
又
若使得对一切恒成立，则，解得，
实数的取值范围是．
19.解：由题意得，，所以．
因为短轴长为，所以，解得，所以，
所以的标准方程为．
由知，．
当直线的斜率不存在时，则，，
此时以为直径的圆的圆心为，半径为，而，
则以为直径的圆不经过点，不符合题意，因此直线的斜率必存在．
设直线的方程为，，，
联立，消去得，，
，且，．
因为以为直径的圆经过点，所以．
所以，即，
所以，
整理得，
即，
化简得，即，
即直线的方程为或．
由知，，则直线的方程为，直线的方程为，
设，，，，
联立，消去得，，
由，所以，
所以，，
即，同理可得，
因为，所以，则，
记的中点为，则．
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的面积最大值为．
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