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北师大版2024—2025学年八年级下册期中试题调研抢分卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在中，，的角平分线交于点，交于点，于点，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
3．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为，斜边长为．若，则的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
4．甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了120个零件时乙做了90个零件，设甲每小时能做个零件，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．若2＜a＜3，则 ＝（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
6．一个六边形的内角和等于（ ）
A．360° B．480° C．720° D．1080°
7．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（ ）
A．平行四边形的两组对边分别平行
B．矩形的对角线相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
8． 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
9．如图，中，平分平分的外角，于D，交于点于E，交的延长线于点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
10．下列命题中逆命题成立的有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ．
12．不等式的最大整数解是 ．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ．
14．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ．
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上，已知∠A=26°，∠B=40°，则∠ACE= ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为 ．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD=CE， BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A=60°，DE=6，求△DEF的周长．
18．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
（1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 ；
（2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
19．如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E、F.
（1）若∠BCF=55°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BF=DE.
20．如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求边长，，；
（2）判断的形状，并说明理由．
21．端午节快到了，小明准备买粽子过节，若在南城某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元，对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折．
（1）甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？
（2）小明要打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多2盒，总花费不超过1000元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？
22．解不等式和不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）
（2）解不等式组
23．如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．
（1）若点 在 上，且满足 ，求此时 的值；
（2）在运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．
24．因式分解：
（1）
（2）
25．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
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北师大版2024—2025学年八年级下册期中试题调研抢分卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据中心对称的概念可得B选项是中心对称图形.
故答案为：B．
【分析】根据中心对称的定义：若把一个图形绕某点旋转，旋转后的图形能和原图形重合，则这个图形为中心对称图形，即可得解.
2．如图，在中，，的角平分线交于点，交于点，于点，，，则的长为（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰三角形，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
故选：C．
【分析】
根据角平分线的定义及性质得到，由平行线的性质得，通过等量代换可得进而得出为等腰三角形，因此，然后在△CED中，根据勾股定理得，最后由即可求解．
3．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形．如图，直角三角形的直角边长为，斜边长为．若，则的值为（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意可知，，
∴，
得，
∴a+b=14.
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理得到，根据题意列出方程组，即可求出a和b的值，进而即可得到答案.
4．甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了120个零件时乙做了90个零件，设甲每小时能做个零件，根据题意可列分式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：设甲每小时能做个零件，由题意得，
故答案为：B
【分析】设甲每小时能做个零件，根据“甲、乙两人每小时一共做35个电器零件，两人同时开始工作，当甲做了120个零件时乙做了90个零件”即可列出分式方程。
5．若2＜a＜3，则 ＝（ ）
A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣1 D．2a﹣5
【答案】D
【解析】【解答】解：，∵2＜a＜3，
∴ ＜0， ＞0，
∴ ＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5，
故答案为：D．
【分析】根据二次根式的性质解答即可．
6．一个六边形的内角和等于（ ）
A．360° B．480° C．720° D．1080°
【答案】C
【解析】【解答】解：六边形的内角和是（6-2）×180°=720°．
故答案为：C．
【分析】根据n边形的内角和可以表示成（n-2） 180°，即可求得六边形的内角和．
7．下列各命题中，原命题成立，而它逆命题不成立的是（ ）
A．平行四边形的两组对边分别平行
B．矩形的对角线相等
C．四边相等的四边形是菱形
D．直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形的两组对边分别平行，成立，逆命题为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，符合题意，不符合题意；
B、矩形的对角线相等，成立，逆命题为对角线相等的四边形是矩形，不成立，符合题意；
C、四边相等的四边形是菱形，成立，逆命题为菱形的四条边相等，成立，不符合题意；
D、直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和，成立，逆命题为两边的平方和等于第三边的平方的三角形为直角三角形，成立，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据命题的定义对每个选项一一判断即可。
8． 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（ ）
A．2025 B．2024 C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 如图，
∵正方形A的面积为1，
∴正方形B的面积+正方形C的面积=1，
∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，
∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，
……
∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025．
故答案为：A．
【分析】 根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，再根据规律求解．
9．如图，中，平分平分的外角，于D，交于点于E，交的延长线于点，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【解析】【解答】解：∵BD平分∠CBA，
∴∠ABD=∠FBD=∠ABC，
∵BD⊥AD，
∴∠ADB=∠FDB=90°，
在ΔABD和 △FBD中，
∴△ ABD≌ △FBD(ASA)，
∴BF=AB=6，AD=DF，
∴CF=BC-BF=4，
同理可证△ACE≌△GCE，
∴CG=CA，AE=EG，
∵AD=DF，AE=EG，
∴DE是△AFG的中位线，
∴FG=2DE=12，
∴AC=CG=FG-CF=8，
故答案为：C.
【分析】先证明△ ABD≌ △FBD求得BF，可求出CF，再证明△ACE≌△GCE，利用中位线定理求出FG，再求出AC.
10．下列命题中逆命题成立的有（ ）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】 解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”，它是真命题，故①成立；“ 如果两个角是直角，那么它们相等 ”的逆命题为“如果两个角相等，那么它们是直角”，它是假命题，故②不成立；“ 垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ”的逆命题为“到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上”，它是真命题，故③成立；“ 如果两个实数相等，那么它们的平方相等 ”的逆命题为“如果两个实数的平方相等，那么它们相等”，它是假命题，故 ④ 不成立.综上所述，有2个成立.
故答案为：B.
【分析】先写出各个命题的逆命题，再判断真假.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若解关于x 的分式方程时产生增根，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：最简公分母：x-2，
去分母得：，
整理得：，
解得：，
若分式方程有增根，则
即：
解得：．
故答案为：．
【分析】先确定最简公分母，再解含参的分式方程，根据分式方程增根的概念，即可求出参数a的值.
12．不等式的最大整数解是 ．
【答案】-2
【解析】【解答】解：移项得
两边都除以得，
则不等式的最大整数解为，
故答案为：.
【分析】先解不等式，然后可得答案．
13．如图，平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点，过点的直线分别交AD和BC于点、E，若设该平行四边形的面积为2，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵平行四边形中，对角线，相交于点，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
∴阴影部分面积为，
故答案为：1．
【分析】
根据平行四边形的性质证明可得，由于平行四边形的对角线将其面积分为两个相等的部分，进而可得阴影部分面积等于的面积=面积的一半，由此可解．
14．甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度向北偏东方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，则乙船航行的方向为 ．
【答案】南偏东
【解析】【解答】解：由题意可得：AC=15×4=60（海里），AB=20×4=80（海里）
∵BC=100
∴，
，
∴，
∴∠BAC=90°
∴180°-40°-90°=50°
乙船航行的方向是南偏东50°．
故答案为：南偏东50°．
【分析】
本题考查勾股定理的逆定理和方向角，熟知勾股定理逆定理是判断直角三角形的方法是解题关键.
勾股定理逆定理：如果一个三角形的三边满足关系式(c为最长边)，那么这个三角形为直角三角形；根据题意先求出AC，AB的长，再利用勾股定理的逆定理可知：△BAC是直角三角形，即∠BAC=90°，最后根据角的和差运算可知：180°-40°-90°=50°，即乙船航行的方向是南偏东50°，由此即可得出答案.
15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转至△DEC，使点D落在BC的延长线上，已知∠A=26°，∠B=40°，则∠ACE= ．
【答案】48°
【解析】【解答】解：由旋转得∠A=∠D=26°，∠B=∠E=40°，
∵∠ACD为△ABC的外角，
∴∠ACD=∠A+∠B=66°，
∵∠D+∠E+∠DCE=180°，
∴∠DCE=114°，
∴∠ACE=114°-66°=48°，
故答案为：48°
【分析】先根据旋转的性质得到∠A=∠D=26°，∠B=∠E=40°，再根据外角的性质得到∠ACD的度数，再根据三角形内角和定理即可求出∠DCE的度数，进而即可求解。
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，CD＝3，AB＝12，则△ABD的面积为 ．
【答案】18
【解析】【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠CAB，
∴DH=CD，
∴，
故答案为：18
【分析】过点D作DH⊥AB于点H，先根据角平分线的性质得到DH=CD，进而运用三角形的面积公式即可求解。
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且BD=CE， BE=CF．
（1）求证：△DEF是等腰三角形．
（2）当∠A=60°，DE=6，求△DEF的周长．
【答案】（1）证明：，
，
，，
，
，
是等腰三角形；
（2）解：，
，
，
，，
是等边三角形，
，
是等边三角形．
，
的周长为6×3=18．
【解析】【分析】（1）根据SAS证明△BDE≌△CEF，可得DE=EF，根据等腰三角形的判定即证；
（2）先证△ABC是等边三角形，可得∠B=∠DEF=60°，从而可得△DEF是等边三角形，再求其周长即可.
18．如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．
（1）如图1，当P，Q两点都在射线ON上时，则线段AB与PB的数量关系是 ；
（2）如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）AB=PB
（2）解：存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BQC，
∴∠BQP=∠AOB，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB=PB．
【解析】【解答】解：（1）AB=PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB=∠BOQ，
∴∠AOB=∠BQO，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB（SAS），
∴AB=PB，
故答案为：AB=PB；
【分析】（1）连接BQ，先利用“SAS”证出△AOB≌△PQB，再利用全等三角形的性质可得AB=PB；
（2）连接BQ，先利用“SAS”证出△AOB≌△PQB，再利用全等三角形的性质可得AB=PB。
19．如图，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD和∠DCB，交对角线BD于点E、F.
（1）若∠BCF=55°，求∠ABC的度数；
（2）求证：BF=DE.
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°，
∵CF平分∠DCB，
∴∠BCD＝2∠BCF，
∵∠BCF＝55°，
∴∠BCD＝110°，
∴∠ABC＝180° 110°＝70°；
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠BAD＝∠DCB，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE，CF分别平分∠BAD和∠DCB，
∴∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠DCB，
∴∠BAE＝∠DCE，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF，
∴BE+EF=DF+EF，
即BF=DE.
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，利用平行线的性质可得∠ABC＋∠BCD＝180°，根据角平分线的定义可得∠BCD＝2∠BCF=110°，从而求出∠ABC的度数；
（2）根据ASA证明△ABE≌△CDF，可得BE＝DF，从而得出BE+EF=DF+EF，即BF=DE.
20．如图，在网格中，每个小正方形的边长都为1．
（1）求边长，，；
（2）判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）解：，，，
，，；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，，，
，
是直角三角形．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB、BC和AC的长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形。
21．端午节快到了，小明准备买粽子过节，若在南城某超市购买2盒甲品牌粽子和3盒乙品牌粽子需支付380元，而在某团购群购买5盒甲品牌粽子和4盒乙品牌粽子需支付520元，对比发现，甲品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的八折，乙品牌粽子每盒的团购价相当于超市价的七五折．
（1）甲、乙两种品牌粽子每盒的超市价分别是多少元？
（2）小明要打算在团购群购买这两种品牌的粽子，其中乙品牌粽子比甲品牌粽子多2盒，总花费不超过1000元，问小明最多能买多少盒甲品牌粽子？
【答案】（1）设甲品牌粽子的超市价为每盒x元，乙品牌粽子的超市价为每盒y元，
依题意，得： ，
解得： ．
即甲品牌粽子的超市价为每盒70元，乙品牌粽子的超市价为每盒80元．
（2）设买甲品牌粽子a盒，则买乙品牌粽子(a+2)盒，
依题意，得：70×0.8a+80×0.75(a+2) 1000，
解得：a ，
∴a的最大整数解为a=7.
即最多可以买7盒甲品牌粽子．
【解析】【分析】（1）根据题意，由等量关系列出关于x和y的二元一次方程，解出答案即可；
（2）根据题意列出关于a的一元一次不等式，求出最大整数值，得到答案即可。
22．解不等式和不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
（1）
（2）解不等式组
【答案】（1）解：
去分母得， ，
移项得， ，系数化为1得，
（2） ，
解不等式①得， ，
解不等式②得， ，
不等式组的解集为
【解析】【分析】（1）根据不等式的基本性质，解出解集即可；
（2）根据题意，解不等式组，求出解集即可。
23．如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为 秒（ ）．
（1）若点 在 上，且满足 ，求此时 的值；
（2）在运动过程中，当 为何值时， 为等腰三角形．
【答案】（1）∵∠ABC=90°，AB=3cm，BC=4cm，
∴AC= =5cm，
设PC=PA=x，则PB=4-x，
在Rt△ABP中，AB2+PB2=AP2，
∴32+（4-x）2=x2，
解得x= ，
∴PC= ，
∴ ；
（2）分四种情况：
①如图，当P在AC上且AP=PB时，
∠A=∠ABP，而∠A+∠C=90°，∠ABP+∠CBP=90°，
∴∠C=∠CBP，
∴BP=CP，
∴P是AC的中点，即AP= AC= ，
∴t= = ；
②如图，当P在AC上且AP=BA=3时，
t= = ；
③如图，当P在AC上且AB=PB时，过B作BD⊥AC于D，则
BD= = ，
∴Rt△ABD中，AD= = ，
∴AP=2AD= ，
∴t= = ；
④如图，当P在BC上且AB=PB=3时，CP=4-3=1，
∴t= = =3，
综上：当t= s或 s或 s或3s时，△ABP为等腰三角形．
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC=5cm，再求出 PC= ， 最后计算求解即可；
（2）分类讨论，结合图形计算求解即可。
24．因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=
；
（2）解：
=
=
【解析】【分析】（1）提取公因式-5a即可；
（2）先提取公因式2，再将（a-3）当作整体再提取公因式求解即可。
25．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF
（1）证明：CF＝EB．
（2）证明：AB＝AF+2EB．
【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE＝DC，
在Rt△CDF和Rt△EDB中， ，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL）．
∴CF＝EB
（2）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DC＝DE．
在Rt△ADC与Rt△ADE中，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL），
∴AC＝AE，
∴AB＝AE+BE＝AC+EB＝AF+CF+EB＝AF+2EB．
【解析】【分析】（1）根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点D到AB的距离＝点D到AC的距离即CD＝DE．再根据Rt△CDF≌Rt△EDB，得CF＝EB；（2）利用角平分线性质证明Rt△ADC≌Rt△ADE，AC＝AE，再将线段AB进行转化．
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