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上海市2024—2025学年七年级下册期中提分专项突破卷
数 学
(时间:120分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,经过直线l外一点A画l的平行线,能画出( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
2.下列命题中的真命题是( )
A.相等的角是对顶角
B.若两个角的和为,则这两个角互补
C.若,满足,则
D.同位角相等
3.如图,下列条件中,能判断直线的是( )
A. B.
C. D.
4.把一副三角板摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,已知,,,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
5.下列图形中,∠1与∠2是内错角的是( )
A. B.
C. D.
6.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的周长是( )
A.15 B.12 C.12或15 D.9
7.把不等式的解集在数轴上表示出来,则正确的是( )
A. B.
C. D.
8.如图,下列条件:①;②;③;④,其中能判断直线与平行的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
9.如图是超市里购物车的侧面示意图,扶手与车底平行,比大,是的倍,则的度数是( )
A. B. C. D.
10.下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知直线,点到直线的距离是,到直线的距离是,那么直线和直线之间的距离为 .
12.已知关于 的方程组 的解满足不等式 ,求实数a的取值范围 .
13.△ABC中,AD是BC边上的高,∠BAD=50°,∠CAD=20°,则∠BAC= .
14.等腰三角形的两边长分别为 和 ,则它的周长是 .
15.已知∠A=60°,∠A与∠B的两边分别互相平行,则∠B= .
16.若不等式组 无解,则a,b的关系是
三、综合题(本大题有9个小题,每小题8分,共72分,要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,三角形 在建立了平面直角坐标系的方格纸中,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
(1)把三角形 平移得到三角形 ,点 经过平移后对应点为 ,请在图中画出三角形 ;
(2)计算三角形 的面积.
18.如图,.
(1)尺规作图:过点B作直线(要求:不写作法,保留作图痕迹);
(2)若,点E是直线a上的一点(不与点B重合),则 °.
19.解不等式组(组):
(1)解不等式.
(2)解不等式组,并写出该不等式组的非负整数解.
20.如图,在四边形 ABCD 中,BE 平分∠ABC,∠AEB=∠ABE.
(1)判断∠D 与∠C 的数量关系,并说明理由;
(2)若∠C=∠A,判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由.
21.夕阳红街道办事处为给社区干净整洁的社区环境,加入环境保洁队伍,需要购置一批保洁用具,已知1把扫帚和3把拖把共需26元;3把扫帚和2把拖把共需29元.
(1)求一把扫帚和一把拖把的售价各是多少元;
(2)办事处准备购进这两种保洁工具共50把,并且扫帚的数量不多于拖把数量的3倍,不少于拖把数量的2倍,哪种方案最省钱?说明理由.
22.如图,点C在线段AB上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.CF平分∠DCE.求证:
(1)△ACD≌△BEC;
(2)CF⊥DE.
23.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°.求:
(1)∠BAE的度数;
(2)∠DAE的度数;
24.某家电集团公司研制生产的新家电,前期投资 万元,每生产一台这种新家电,后期还需其他投资 万元,已知每台新家电售价为 万元,设总投资为 万元(总投资 前期投资 后期投资),总利润为 万元(总利润 总售价 总投资),新家电总产量为 台,(假设可按产量全部卖出)
(1)试用含 的代数式表示 和 ;
(2)问新家电总产量超过多少台时,该公司开始盈利
25.如图,已知△ABC是直角三角形,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)请简述图①变换为图②的过程;
(2)若AD=3,DB=4,则△ADE与△BDF的面积之和为 .
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上海市2024—2025学年七年级下册期中提分专项突破卷
数 学
(时间:120分钟 满分:120分)
一、选择题(本大题有10个小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的4个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.如图,经过直线l外一点A画l的平行线,能画出( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条
【答案】B
【解析】【解答】解:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,
故答案为:B.
【分析】利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”分析求解即可.
2.下列命题中的真命题是( )
A.相等的角是对顶角
B.若两个角的和为,则这两个角互补
C.若,满足,则
D.同位角相等
【答案】B
【解析】【解答】A、∵相等的角不一定是对顶角,∴原命题不是真命题,∴A不符合题意;
B、∵两个角的和为,则这两个角互补,∴∴原命题是真命题,∴B符合题意;
C、∵若,满足,则或a=-b,∴原命题不是真命题,∴C不符合题意;
D、∵两直线平行,同位角相等,∴原命题不是真命题,∴D不符合题意;
【分析】利用真命题的定义、对顶角的性质、补角的定义、同位角的定义及绝对值的性质逐项分析判断即可.
3.如图,下列条件中,能判断直线的是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】【解答】解:A中,∵,∴(内错角相等,两直线平行),故A符合题意;
B中,∵,
∴(内错角相等,两直线平行),不能判定,故B不符合题意;
C中,,不能判定,故C不符合题意;
D中,,不能判定,故D不符合题意;
故选:A.
【分析】本题主要考查了平行线的判定,其中同旁内角互补,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同位角相等,两直线平行,结合选项,逐项分析判断,即可得到答案.
4.把一副三角板摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,已知,,,若,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:∵,,
∴,
∵,,,
∴
∴
故答案为:C
【分析】由平行线的性质求出,由三角形内角和定理求出∠BCE的度数,利用三角形的内角和定理可求出∠ACB,∠DCE的度数,根据周角的定义即可求出的度数.
5.下列图形中,∠1与∠2是内错角的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】【解答】解:A、此图中的∠1与∠2不是内错角,故A不符合题意;
B、此图中的∠1与∠2不是内错角,故B不符合题意;
C、此图中的∠1与∠2不是内错角,故C不符合题意;
D、此图中的∠1与∠2是内错角,故D符合题意;
故答案为:D.
【分析】两条直线被第三条直线所截时,夹在两条直线的内部,且在截线两侧的两个角互为内错角,内错角是两条直线被第三条直线所截,可排除A、B、C,对照定义,可得答案.
6.等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的周长是( )
A.15 B.12 C.12或15 D.9
【答案】A
【解析】【解答】解:(1)若3为腰长,6为底边长,
由于3+3=6,则三角形不存在;(2)若6为腰长,则符合三角形的两边之和大于第三边.
所以这个三角形的周长为6+6+3=15.
故选:A.
【分析】求等腰三角形的周长,即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长;题目给出等腰三角形有两条边长为3和7,而没有明确腰、底分别是多少,所以要进行讨论,还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.
7.把不等式的解集在数轴上表示出来,则正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】【解答】解:,
移项得,
合并同类项得,
把未知数系数化为得,
表示在数轴上如下:
故答案为:B.
【分析】利用移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集,再在数轴上表示即可.
8.如图,下列条件:①;②;③;④,其中能判断直线与平行的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】C
【解析】【解答】解:①由∠1=∠2不能得到,故本条件不符合题意;
②∵∠4=∠5,
∴,故本条件符合题意;
③∵∠2+∠4=180°,
∴,故本条件符合题意;
④∵∠1=∠3,
∴,故本条件符合题意;
故答案为:C.
【分析】根据平行线的判定方法对每个条件逐一判断求解即可。
9.如图是超市里购物车的侧面示意图,扶手与车底平行,比大,是的倍,则的度数是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【解答】解:∵扶手与车底平行,
∴∠1=∠2+∠3,
∵比大,是的倍,
∴∠3=∠2-10°,∠1=∠2,
∴∠2=∠2+∠2-10°,
∴∠2=55°,
故答案为:C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠2+∠3,再求出∠3=∠2-10°,∠1=∠2,最后计算求解即可。
10.下列每组数据分别是三根木棒的长度,能用它们摆成三角形的是( )
A.,, B.,,
C.,, D.,,
【答案】B
【解析】【解答】解:A、∵1+2=3,
∴不能构成三角形,不符合题意;
B、∵3+4>5,
∴能构成三角形,符合题意;
C、∵4+5<10,
∴不能构成三角形,不符合题意;
D、∵2+6<9,
∴不能构成三角形,不符合题意;
故答案为:B.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项一一判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题,每小题3分,共18分)
11.已知直线,点到直线的距离是,到直线的距离是,那么直线和直线之间的距离为 .
【答案】2cm或8cm
【解析】【解答】解:如图1,直线a和b之间的距离为:5-3=2(cm);
如图2,直线a和b之间的距离为:5+3=8(cm).
故答案为:2cm或8cm.
【分析】根据题意分为两种情况进行求解:点M在直线a和b之外;点M直线a和b之间。
12.已知关于 的方程组 的解满足不等式 ,求实数a的取值范围 .
【答案】a<1
【解析】【解答】解:
①+②得,3x=6a+3,
解得:x=2a+1,
将x=2a+1代入①得,y=2a 2,
∵x+y<3,
∴2a+1+2a 2<3,即4a<4,
a<1.
故答案是:a<1.
【分析】首先解不等式组可得x=2a+1,y=2a-2,然后根据x+y<3求解即可.
13.△ABC中,AD是BC边上的高,∠BAD=50°,∠CAD=20°,则∠BAC= .
【答案】70°或30°
【解析】【解答】解:①如图,当AD在△ABC的内部时,
∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°.
②如图,当AD在△ABC的外部时,
∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°.
故答案为:70°或30°.
【分析】根据AD的不同位置,分两种情况进行讨论:AD在△ABC的内部,AD在△ABC的外部,分别求得∠BAC的度数.
14.等腰三角形的两边长分别为 和 ,则它的周长是 .
【答案】10cm或11cm
【解析】【解答】解:①3cm是腰长时,能组成三角形,周长=3+3+4=10cm,
②4cm是腰长时,能组成三角形,周长=4+4+3=11cm,
所以,它的周长是10或11cm.
【分析】因为腰长没有明确,所以分①3cm是腰长,②4cm是腰长两种情况求解.
15.已知∠A=60°,∠A与∠B的两边分别互相平行,则∠B= .
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解:如图1:
∵∠A的两边与∠B的两边互相平行,
∴∠1=∠A,∠B=∠1,
∵∠A=60°,
∴∠B=∠A=60°;
如图2:
∵∠A的两边与∠B的两边互相平行,
∴∠1=∠A,∠1+∠B=180°,
∴∠B=180°﹣∠A=120°.
∠B的度数为60°或120°,
故答案为60°或120°.
【分析】首先根据题意画出图形,由∠A的两边与∠B的两边互相平行,根据平行线的性质,即可求得∠B的度数.
16.若不等式组 无解,则a,b的关系是
【答案】a≥b
【解析】【解答】解:∵不等式组 无解,
∴a≥b.
故答案为:a≥b.
【分析】根据不等式组无解的条件写出即可.
三、综合题(本大题有9个小题,每小题8分,共72分,要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,三角形 在建立了平面直角坐标系的方格纸中,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
(1)把三角形 平移得到三角形 ,点 经过平移后对应点为 ,请在图中画出三角形 ;
(2)计算三角形 的面积.
【答案】(1)解:如图所示.
(2)解:三角形 的面积为:
【解析】【分析】(1)根据点B、B′的坐标可得平移方式为:先向右平移2个单位长度,再向上平移3个单位长度,据此找出点A′、C′的位置,然后顺次连接即可;
(2)根据矩形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
18.如图,.
(1)尺规作图:过点B作直线(要求:不写作法,保留作图痕迹);
(2)若,点E是直线a上的一点(不与点B重合),则 °.
【答案】(1)解:如图,直线a为所求作的图形,
(2)70或110
【解析】【解答】解:(2)分两种情况进行讨论:①当点E在点B的右侧时,即点处,
∵ABCD,∠ACD=110°
∴∠BAC=180°-∠ACD=70°,
∵aAC,
∴∠AB+∠A=180°,
∴∠AB;
②当点E在点B的左侧时,即点处,
∵ABCD,∠ACD=110°
∴∠BAC=180°-∠ACD=70°,
∵aAC,
∴∠AB∠A=70°;
综上可得:∠ABE的度数为或70°,
故答案为:110或70.
【分析】(1)以B为顶点,AB的延长线为角的一边作一个角等于∠A,利用同位角相等两直线平行,可知a∥AC;
(2)分两种情况进行讨论:①当点E在点B的右侧时即点处,②当点E在点B的左侧时,即点处,根据平行线的性质分别求解即可.
19.解不等式组(组):
(1)解不等式.
(2)解不等式组,并写出该不等式组的非负整数解.
【答案】(1)解:移项得:,
合并得:,
解得:;
(2)解:,
解不等式①得,,
解不等式②得,,
∴不等式组的解集为,
∴该不等式组的非负整数解为0,1.
【解析】【分析】(1)根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解;
(2)首先分别求出两个不等式的解集,取其公共部分即为不等式组的解集,进而可得不等式组的非负整数解.
20.如图,在四边形 ABCD 中,BE 平分∠ABC,∠AEB=∠ABE.
(1)判断∠D 与∠C 的数量关系,并说明理由;
(2)若∠C=∠A,判断 AB 与 CD 的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)解:.
理由:平分
.
,
,
,
;
(2)解:.
理由:
又
,
.
【解析】【分析】(1)利用角平分线的定义及等量代换可得,证出AD//BC,再利用平行线的性质可得;
(2)根据,,求出,即可得到AB//CD。
21.夕阳红街道办事处为给社区干净整洁的社区环境,加入环境保洁队伍,需要购置一批保洁用具,已知1把扫帚和3把拖把共需26元;3把扫帚和2把拖把共需29元.
(1)求一把扫帚和一把拖把的售价各是多少元;
(2)办事处准备购进这两种保洁工具共50把,并且扫帚的数量不多于拖把数量的3倍,不少于拖把数量的2倍,哪种方案最省钱?说明理由.
【答案】(1)解:设一把扫帚的售价是元,一把拖把的售价是元.
由题意可得,,
解得,
答:一把扫帚的售价是5元,一把拖把的售价是7元;
(2)解:设扫帚买了把,则拖把买了把,共花费元,
∵扫帚的数量不多于拖把数量的3倍,不少于拖把数量的2倍,
,
解得,
∵为整数,
可以取34,35,36,37,
共有四种方案,
方案一:扫帚34把,拖把16把,花费:(元;
方案二:扫帚35把,拖把15把,花费:(元;
方案三:扫帚36把,拖把14把,花费:(元;
方案四:扫帚37把,拖把13把,花费:(元;
,
方案四最省钱.
【解析】【分析】(1)设一把扫帚的售价是x元,一把拖把的售价是y元,根据1把扫帚和3把拖把共需26元可得x+3y=26;根据3把扫帚和2把拖把共需29元可得3x+2y=29,联立求解即可;
(2)设扫帚买了m把,则拖把买了(50-m)把,共花费(-2m+350)元,根据扫帚的数量不多于拖把数量的3倍,不少于拖把数量的2倍列出关于m的不等式组,求出m的范围,根据m为整数可得m的取值,据此可得购买方案,然后计算出每种方案的花费,再进行比较即可判断.
22.如图,点C在线段AB上,AD∥EB,AC=BE,AD=BC.CF平分∠DCE.求证:
(1)△ACD≌△BEC;
(2)CF⊥DE.
【答案】(1)证明: ,
,
在 和 中
(2)证明: ,
,
又 平分 ,
【解析】【分析】(1)根据平行线性质得出,根据SAS推出即可;
(2)根据全等三角形形状推出CD=CE,根据等腰三角形的性质求出即可。
23.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,∠B=70°,∠C=30°.求:
(1)∠BAE的度数;
(2)∠DAE的度数;
【答案】(1)解:∵∠B+∠C+∠BAC=180°,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°,
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=1/2∠BAC=40°
(2)解:∵AD⊥BC,
∴∠ADE=90°,
而∠ADE=∠B+∠BAD,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°,
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°,然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=40°;
由于AD⊥BC,则∠ADE=90°,根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD,所以∠BAD=90°-∠B=20°,然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算;
24.某家电集团公司研制生产的新家电,前期投资 万元,每生产一台这种新家电,后期还需其他投资 万元,已知每台新家电售价为 万元,设总投资为 万元(总投资 前期投资 后期投资),总利润为 万元(总利润 总售价 总投资),新家电总产量为 台,(假设可按产量全部卖出)
(1)试用含 的代数式表示 和 ;
(2)问新家电总产量超过多少台时,该公司开始盈利
【答案】(1)解:∵总投资 前期投资 后期投资,
∴根据题意P=0.3x+200
∵总利润 总售价 总投资
∴根据题意Q=0.5x-(0.3x+200)=0.2x-200
(2)解:设家电总产量超过x台时,该公司开始盈利
由题意得0.2x-200﹥0
解得x>1000
答:当总产量超过1000台时,公司开始盈利
【解析】【分析】(1)先求得总售价、总投资,然后依据总利润=总售价-总投资求解即可(2)设家电总产量超过x台时,该公司开始盈利,然后依据Q﹥0列不等式求解即可.
25.如图,已知△ABC是直角三角形,DE⊥AC于点E,DF⊥BC于点F.
(1)请简述图①变换为图②的过程;
(2)若AD=3,DB=4,则△ADE与△BDF的面积之和为 .
【答案】(1)解:∵∠C=90°,∠DEF=90°,∠DFC=90°,
∴四边形CEDF是矩形,
∴∠EDF=90°,
观察图形的变换可知DE=DF,
∴图①可以通过图形的变换得到图②,即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F
(2)6
【解析】【解答】(2)∵图①可以通过图形的变换得到图②,即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F,
∴A′D=AD=3,∠A′DF=∠ADE,
∵∠EDF=90°,
∴∠ADE+∠FDB=90°,
∴∠A′DF+∠FDB=90°,即∠A′DB=90°,
∴△ADE与△BDF的面积之和S=S△A′DB= ×3×4=6,
故答案为:6.
【分析】(1)由题意可知∠EDF=90°,则图①可以通过图形的变换得到图②,即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F;(2)由∠EDF=90°,可得∠ADE+∠FDB=90°,则有∠A′DB=90°,继而根据三角形面积公式进行计算即可.
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