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上海市2024—2025学年七年级下册期中提分专项突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
2．下列命题中的真命题是( )
A．相等的角是对顶角
B．若两个角的和为，则这两个角互补
C．若，满足，则
D．同位角相等
3．如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
4．把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．下列图形中，∠1与∠2是内错角的是（ ）
A． B．
C． D．
6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．15 B．12 C．12或15 D．9
7．把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线与平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．下列每组数据分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
12．已知关于 的方程组 的解满足不等式 ，求实数a的取值范围 .
13．△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC= .
14．等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长是 .
15．已知∠A=60°，∠A与∠B的两边分别互相平行，则∠B= ．
16．若不等式组 无解，则a，b的关系是
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，三角形 在建立了平面直角坐标系的方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
（1）把三角形 平移得到三角形 ，点 经过平移后对应点为 ，请在图中画出三角形 ；
（2）计算三角形 的面积.
18．如图，．
（1）尺规作图：过点B作直线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，点E是直线a上的一点（不与点B重合），则 °．
19．解不等式组（组）：
（1）解不等式.
（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解.
20．如图，在四边形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，∠AEB=∠ABE．
（1）判断∠D 与∠C 的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C=∠A，判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由．
21．夕阳红街道办事处为给社区干净整洁的社区环境，加入环境保洁队伍，需要购置一批保洁用具，已知1把扫帚和3把拖把共需26元；3把扫帚和2把拖把共需29元.
（1）求一把扫帚和一把拖把的售价各是多少元；
（2）办事处准备购进这两种保洁工具共50把，并且扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍，哪种方案最省钱？说明理由.
22．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
24．某家电集团公司研制生产的新家电，前期投资 万元，每生产一台这种新家电，后期还需其他投资 万元，已知每台新家电售价为 万元，设总投资为 万元（总投资 前期投资 后期投资），总利润为 万元（总利润 总售价 总投资），新家电总产量为 台，（假设可按产量全部卖出）
（1）试用含 的代数式表示 和 ；
（2）问新家电总产量超过多少台时，该公司开始盈利
25．如图，已知△ABC是直角三角形，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.
（1）请简述图①变换为图②的过程；
（2）若AD=3，DB=4，则△ADE与△BDF的面积之和为 .
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上海市2024—2025学年七年级下册期中提分专项突破卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，经过直线l外一点A画l的平行线，能画出（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】B
【解析】【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，
故答案为：B.
【分析】利用“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”分析求解即可.
2．下列命题中的真命题是( )
A．相等的角是对顶角
B．若两个角的和为，则这两个角互补
C．若，满足，则
D．同位角相等
【答案】B
【解析】【解答】A、∵相等的角不一定是对顶角，∴原命题不是真命题，∴A不符合题意；
B、∵两个角的和为，则这两个角互补，∴∴原命题是真命题，∴B符合题意；
C、∵若，满足，则或a=-b，∴原命题不是真命题，∴C不符合题意；
D、∵两直线平行，同位角相等，∴原命题不是真命题，∴D不符合题意；
【分析】利用真命题的定义、对顶角的性质、补角的定义、同位角的定义及绝对值的性质逐项分析判断即可.
3．如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A中，∵，∴（内错角相等，两直线平行），故A符合题意；
B中，∵，
∴（内错角相等，两直线平行），不能判定，故B不符合题意；
C中，，不能判定，故C不符合题意；
D中，，不能判定，故D不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要考查了平行线的判定，其中同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行，结合选项，逐项分析判断，即可得到答案.
4．把一副三角板摆放成如图所示的形状，使两个直角顶点重合，已知，，，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴
∴
故答案为：C
【分析】由平行线的性质求出，由三角形内角和定理求出∠BCE的度数，利用三角形的内角和定理可求出∠ACB，∠DCE的度数，根据周角的定义即可求出的度数.
5．下列图形中，∠1与∠2是内错角的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、此图中的∠1与∠2不是内错角，故A不符合题意；
B、此图中的∠1与∠2不是内错角，故B不符合题意；
C、此图中的∠1与∠2不是内错角，故C不符合题意；
D、此图中的∠1与∠2是内错角，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】两条直线被第三条直线所截时，夹在两条直线的内部，且在截线两侧的两个角互为内错角，内错角是两条直线被第三条直线所截，可排除A、B、C，对照定义，可得答案.
6．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．15 B．12 C．12或15 D．9
【答案】A
【解析】【解答】解：（1）若3为腰长，6为底边长，
由于3+3=6，则三角形不存在；（2）若6为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．
所以这个三角形的周长为6+6+3=15．
故选：A．
【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
7．把不等式的解集在数轴上表示出来，则正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，
移项得，
合并同类项得，
把未知数系数化为得，
表示在数轴上如下：
故答案为：B．
【分析】利用移项、合并同类项、系数化为1求出不等式的解集，再在数轴上表示即可.
8．如图，下列条件：①；②；③；④，其中能判断直线与平行的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①由∠1＝∠2不能得到，故本条件不符合题意；
②∵∠4＝∠5，
∴，故本条件符合题意；
③∵∠2+∠4＝180°，
∴，故本条件符合题意；
④∵∠1＝∠3，
∴，故本条件符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据平行线的判定方法对每个条件逐一判断求解即可。
9．如图是超市里购物车的侧面示意图，扶手与车底平行，比大，是的倍，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵扶手与车底平行，
∴∠1=∠2+∠3，
∵比大，是的倍，
∴∠3=∠2-10°，∠1=∠2，
∴∠2=∠2+∠2-10°，
∴∠2=55°，
故答案为：C.
【分析】根据平行线的性质求出∠1=∠2+∠3，再求出∠3=∠2-10°，∠1=∠2，最后计算求解即可。
10．下列每组数据分别是三根木棒的长度，能用它们摆成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，
∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵3+4＞5，
∴能构成三角形，符合题意；
C、∵4+5＜10，
∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵2+6＜9，
∴不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】利用三角形的三边关系对每个选项一一判断即可。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为 ．
【答案】2cm或8cm
【解析】【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5-3=2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．
故答案为：2cm或8cm．
【分析】根据题意分为两种情况进行求解：点M在直线a和b之外；点M直线a和b之间。
12．已知关于 的方程组 的解满足不等式 ，求实数a的取值范围 .
【答案】a＜1
【解析】【解答】解：
①＋②得，3x＝6a＋3，
解得：x＝2a＋1，
将x＝2a＋1代入①得，y＝2a 2，
∵x＋y＜3，
∴2a＋1＋2a 2＜3，即4a＜4，
a＜1.
故答案是：a＜1.
【分析】首先解不等式组可得x=2a+1，y=2a-2，然后根据x+y<3求解即可.
13．△ABC中，AD是BC边上的高，∠BAD=50°，∠CAD=20°，则∠BAC= .
【答案】70°或30°
【解析】【解答】解：①如图，当AD在△ABC的内部时，
∠BAC=∠BAD+∠CAD=50°+20°=70°.
②如图，当AD在△ABC的外部时，
∠BAC=∠BAD -∠CAD=50°-20°=30°.
故答案为：70°或30°.
【分析】根据AD的不同位置，分两种情况进行讨论：AD在△ABC的内部，AD在△ABC的外部，分别求得∠BAC的度数.
14．等腰三角形的两边长分别为 和 ，则它的周长是 .
【答案】10cm或11cm
【解析】【解答】解：①3cm是腰长时，能组成三角形，周长＝3＋3＋4＝10cm，
②4cm是腰长时，能组成三角形，周长＝4＋4＋3＝11cm，
所以，它的周长是10或11cm.
【分析】因为腰长没有明确，所以分①3cm是腰长，②4cm是腰长两种情况求解.
15．已知∠A=60°，∠A与∠B的两边分别互相平行，则∠B= ．
【答案】60°或120°
【解析】【解答】解：如图1：
∵∠A的两边与∠B的两边互相平行，
∴∠1=∠A，∠B=∠1，
∵∠A=60°，
∴∠B=∠A=60°；
如图2：
∵∠A的两边与∠B的两边互相平行，
∴∠1=∠A，∠1+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣∠A=120°．
∠B的度数为60°或120°，
故答案为60°或120°．
【分析】首先根据题意画出图形，由∠A的两边与∠B的两边互相平行，根据平行线的性质，即可求得∠B的度数．
16．若不等式组 无解，则a，b的关系是
【答案】a≥b
【解析】【解答】解：∵不等式组 无解，
∴a≥b．
故答案为：a≥b．
【分析】根据不等式组无解的条件写出即可．
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，三角形 在建立了平面直角坐标系的方格纸中，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形.
（1）把三角形 平移得到三角形 ，点 经过平移后对应点为 ，请在图中画出三角形 ；
（2）计算三角形 的面积.
【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：三角形 的面积为：
【解析】【分析】（1）根据点B、B′的坐标可得平移方式为：先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，据此找出点A′、C′的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据矩形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
18．如图，．
（1）尺规作图：过点B作直线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，点E是直线a上的一点（不与点B重合），则 °．
【答案】（1）解：如图，直线a为所求作的图形，
（2）70或110
【解析】【解答】解：（2）分两种情况进行讨论：①当点E在点B的右侧时，即点处，
∵ABCD，∠ACD=110°
∴∠BAC=180°-∠ACD=70°，
∵aAC，
∴∠AB+∠A=180°，
∴∠AB；
②当点E在点B的左侧时，即点处，
∵ABCD，∠ACD=110°
∴∠BAC=180°-∠ACD=70°，
∵aAC，
∴∠AB∠A=70°；
综上可得：∠ABE的度数为或70°，
故答案为：110或70．
【分析】（1）以B为顶点，AB的延长线为角的一边作一个角等于∠A，利用同位角相等两直线平行，可知a∥AC；
（2）分两种情况进行讨论：①当点E在点B的右侧时即点处，②当点E在点B的左侧时，即点处，根据平行线的性质分别求解即可.
19．解不等式组（组）：
（1）解不等式.
（2）解不等式组，并写出该不等式组的非负整数解.
【答案】（1）解：移项得：，
合并得：，
解得：；
（2）解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为，
∴该不等式组的非负整数解为0，1.
【解析】【分析】（1）根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤进行求解；
（2）首先分别求出两个不等式的解集，取其公共部分即为不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解.
20．如图，在四边形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，∠AEB=∠ABE．
（1）判断∠D 与∠C 的数量关系，并说明理由；
（2）若∠C=∠A，判断 AB 与 CD 的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：．
理由：平分
．
，
，
，
；
（2）解：．
理由：
又
，
．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义及等量代换可得，证出AD//BC，再利用平行线的性质可得；
（2）根据，，求出，即可得到AB//CD。
21．夕阳红街道办事处为给社区干净整洁的社区环境，加入环境保洁队伍，需要购置一批保洁用具，已知1把扫帚和3把拖把共需26元；3把扫帚和2把拖把共需29元.
（1）求一把扫帚和一把拖把的售价各是多少元；
（2）办事处准备购进这两种保洁工具共50把，并且扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍，哪种方案最省钱？说明理由.
【答案】（1）解：设一把扫帚的售价是元，一把拖把的售价是元.
由题意可得，，
解得，
答：一把扫帚的售价是5元，一把拖把的售价是7元；
（2）解：设扫帚买了把，则拖把买了把，共花费元，
∵扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍，
，
解得，
∵为整数，
可以取34，35，36，37，
共有四种方案，
方案一：扫帚34把，拖把16把，花费：（元；
方案二：扫帚35把，拖把15把，花费：（元；
方案三：扫帚36把，拖把14把，花费：（元；
方案四：扫帚37把，拖把13把，花费：（元；
，
方案四最省钱.
【解析】【分析】（1）设一把扫帚的售价是x元，一把拖把的售价是y元，根据1把扫帚和3把拖把共需26元可得x+3y=26；根据3把扫帚和2把拖把共需29元可得3x+2y=29，联立求解即可；
（2）设扫帚买了m把，则拖把买了(50-m)把，共花费(-2m+350)元，根据扫帚的数量不多于拖把数量的3倍，不少于拖把数量的2倍列出关于m的不等式组，求出m的范围，根据m为整数可得m的取值，据此可得购买方案，然后计算出每种方案的花费，再进行比较即可判断.
22．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：
（1）△ACD≌△BEC；
（2）CF⊥DE．
【答案】（1）证明： ，
，
在 和 中
（2）证明： ，
，
又 平分 ，
【解析】【分析】（1）根据平行线性质得出，根据SAS推出即可；
（2）根据全等三角形形状推出CD=CE，根据等腰三角形的性质求出即可。
23．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；
（2）∠DAE的度数；
【答案】（1）解：∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=1/2∠BAC=40°
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线定义得∠BAE=∠BAC=40°；
由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；
24．某家电集团公司研制生产的新家电，前期投资 万元，每生产一台这种新家电，后期还需其他投资 万元，已知每台新家电售价为 万元，设总投资为 万元（总投资 前期投资 后期投资），总利润为 万元（总利润 总售价 总投资），新家电总产量为 台，（假设可按产量全部卖出）
（1）试用含 的代数式表示 和 ；
（2）问新家电总产量超过多少台时，该公司开始盈利
【答案】（1）解：∵总投资 前期投资 后期投资，
∴根据题意P=0.3x+200
∵总利润 总售价 总投资
∴根据题意Q=0.5x-（0.3x+200）=0.2x-200
（2）解：设家电总产量超过x台时，该公司开始盈利
由题意得0.2x-200﹥0
解得x>1000
答：当总产量超过1000台时，公司开始盈利
【解析】【分析】（1）先求得总售价、总投资，然后依据总利润=总售价-总投资求解即可（2）设家电总产量超过x台时，该公司开始盈利，然后依据Q﹥0列不等式求解即可.
25．如图，已知△ABC是直角三角形，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.
（1）请简述图①变换为图②的过程；
（2）若AD=3，DB=4，则△ADE与△BDF的面积之和为 .
【答案】（1）解：∵∠C=90°，∠DEF=90°，∠DFC=90°，
∴四边形CEDF是矩形，
∴∠EDF=90°，
观察图形的变换可知DE=DF，
∴图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F
（2）6
【解析】【解答】(2)∵图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F，
∴A′D=AD=3，∠A′DF=∠ADE，
∵∠EDF=90°，
∴∠ADE+∠FDB=90°，
∴∠A′DF+∠FDB=90°，即∠A′DB=90°，
∴△ADE与△BDF的面积之和S=S△A′DB= ×3×4=6，
故答案为：6.
【分析】(1)由题意可知∠EDF=90°，则图①可以通过图形的变换得到图②，即把△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DA′F；(2)由∠EDF=90°，可得∠ADE+∠FDB=90°，则有∠A′DB=90°，继而根据三角形面积公式进行计算即可.
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