2.1.1 倾斜角与斜率 教案
文档属性
| 名称 | 2.1.1 倾斜角与斜率 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 124.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-04-10 16:18:37 | ||
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文档简介
教学设计
2.1.1 倾斜角与斜率
教学内容
直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.
教学目标
1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握过两点的直线的斜率公式.
教学重点与难点
1.教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系
2.教学难点：过两点的直线斜率的计算公式.
教学过程设计
1.课题引入
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数 对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过 代数运算来研究几何图形性质的目的.
问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线L，如何利用坐标系确定它的位置？
师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指岀本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性 质的定量化研究.
设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.
2.探究新知
问题2 如何表示直线的方向？
师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“朝向哪里就是什么方向”.
追问：怎么样确定一条直线的朝向呢？
师生活动：教师引导学生，并给出相关结论。当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角
设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.
问题3 当直线 与 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少？直线的倾斜角的取值范围是什么？
师生活动：学生可能会存在对于平行x轴的直线倾斜角的疑问。同时在上述探究过程中，学生的第一反应是与y轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.
设计意图：让学生通过观察该直线，当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。并得出直线的倾斜角α的取值范围为 ≤α＜ ，并得出当直线的方向不同时，直线的倾斜程度不同，倾斜角不同.
问题4 直线 的倾斜角α与, ）, , ）有什么内在联系？
在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α
（1）已知直线 经过点O（0，0），P（，1），α与点O，P的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线 经过点1，1）, ），α与点， 坐标又有什么关系？
师生活动：教师提岀问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）.
追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？
师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题.
问题5 当直线与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
师生活动：学生通过上述问题四得研究，通过相同的方法继续探究是否上述式子成立.
设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过 师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参 与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.
结论 直线 的倾斜角α与直线 上的两点, ）, , ）（ ≠ ）的坐标有如下关系：
问题6当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90°时，直线的斜率是多少？
师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助 学生理解其中的变化情况和特殊点的取值.
设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.加深对数形结合得理解.
问题7直线的方向向量与斜率 有什么关系？
师生活动：引导学生通过向量解决此类问题并建立起直线的方向向量、倾斜角及斜率之间的关系。
=（ - ， - ）
当≠ 时，直线与 轴不垂直，其一个方向向量为
=（1， ）
因此，若直线 的斜率为 ，它的一个方向向量的坐标为（），则
=（ - ， - ）
当 时，直线与 轴垂直，其一个方向向量为（0，1）
设计意图：结合方向向量，帮助学生认识倾斜角、斜率及方向向量三者之间的关系，特别是理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.加深对数形结合得理解.
3.巩固应用
例 1 如图 2,已知 A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题, 视学生学情而定，可以师生共同分析完成.
设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系.
4.课堂小结
本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线.并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想.
师生活动：教师提岀问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理岀本节课研究问题的基本流程框图.教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类讨论、坐标法、数形结合思想. 设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识与习惯，让学生了解解析几何的起源与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现——探究的过程与方法有清晰的认识.
5.布置作业
教科书习题2.1第1, 2, 3, 4, 7, 8题.
6.目标检测设计
1.已知直线l的斜率的绝对值为1,则直线l的倾斜角为 ( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上均不正确
2.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为 ( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
3.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
2.1.1 倾斜角与斜率
教学内容
直线的倾斜角、斜率的概念，过两点的直线的斜率公式.
教学目标
1.初步了解解析几何的产生及其意义，初步认识坐标法思想.
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念.
3.掌握过两点的直线的斜率公式.
教学重点与难点
1.教学重点：理解直线倾斜角和斜率的概念及其关系
2.教学难点：过两点的直线斜率的计算公式.
教学过程设计
1.课题引入
我们知道，平面直角坐标系中的点与有序实数对一一对应，那么平面中的图形和怎样的代数 对象对应呢？从本章开始的解析几何就要解决这个问题，把几何问题转化为代数问题，实现通过 代数运算来研究几何图形性质的目的.
问题1：确定一条直线位置的几何要素是什么？对于平面直角坐标系中的一条直线L，如何利用坐标系确定它的位置？
师生活动：教师引导学生回顾平面几何中的研究对象、研究方法的基础上，指岀本章要用坐标法对这些对象进行再研究，并说明坐标法与综合法的异同，特别要强调坐标法实现了对图形性 质的定量化研究.
设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引出本节的研究内容.
2.探究新知
问题2 如何表示直线的方向？
师生活动：学生独立思考并回答.学生的最常见的回答是“朝向哪里就是什么方向”.
追问：怎么样确定一条直线的朝向呢？
师生活动：教师引导学生，并给出相关结论。当直线 与 轴相交时，我们以 轴为基准， 轴正向与直线 向上的方向之间所成的角α叫做直线 的倾斜角
设计意图：引导学生在两点确定一条直线的基础上，认识到“一点和一个方向”也可以唯一确定一条直线，方向是直线的一个重要几何要素.
问题3 当直线 与 轴平行或重合时，其倾斜角大小为多少？直线的倾斜角的取值范围是什么？
师生活动：学生可能会存在对于平行x轴的直线倾斜角的疑问。同时在上述探究过程中，学生的第一反应是与y轴的夹角.教师要做好引导，说明方向与夹角之间的关系，两者都描述了直线的倾斜程度.
设计意图：让学生通过观察该直线，当直线 与 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为。并得出直线的倾斜角α的取值范围为 ≤α＜ ，并得出当直线的方向不同时，直线的倾斜程度不同，倾斜角不同.
问题4 直线 的倾斜角α与, ）, , ）有什么内在联系？
在平面直角坐标系中，设直线 的倾斜角为α
（1）已知直线 经过点O（0，0），P（，1），α与点O，P的坐标有什么关系？
（2）类似地，如果直线 经过点1，1）, ），α与点， 坐标又有什么关系？
师生活动：教师提岀问题，引导学生体会向量法的优势，以及为什么要用正切函数来建立角与给定两点坐标之间的联系（作为比较，必要时可以引导学生分析用正弦函数或余弦函数的弊端）.
追问：你能将上述方法进行一般性的推广吗？
师生活动：学生通过独立思考，将问题推广到一般情形，并自主探究解答.当的方向不同时，教师要引导学生讨论倾斜角与两点坐标的关系，得到计算公式后追问下面的问题.
问题5 当直线与 轴平行或重合时，上述式子还成立吗？为什么？
师生活动：学生通过上述问题四得研究，通过相同的方法继续探究是否上述式子成立.
设计意图：通过对特殊问题一般化的抽象得到倾斜角的正切值，即斜率的计算公式，并通过 师生对该公式意义的分析，发现它正是我们寻求的刻画直线方向的代数表达.这种形式能直接参 与代数运算，实现用代数方法处理几何问题的目的.
结论 直线 的倾斜角α与直线 上的两点, ）, , ）（ ≠ ）的坐标有如下关系：
问题6当直线的倾斜角变化时，直线的斜率如何变化？当直线的倾斜角是0°或90°时，直线的斜率是多少？
师生活动：引导学生通过正切函数的概念以及单调性回答，可以画出正切函数的图象，帮助 学生理解其中的变化情况和特殊点的取值.
设计意图：结合正切函数的概念及其单调性，帮助学生认识随着倾斜角的变化，斜率的变化情况，理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.加深对数形结合得理解.
问题7直线的方向向量与斜率 有什么关系？
师生活动：引导学生通过向量解决此类问题并建立起直线的方向向量、倾斜角及斜率之间的关系。
=（ - ， - ）
当≠ 时，直线与 轴不垂直，其一个方向向量为
=（1， ）
因此，若直线 的斜率为 ，它的一个方向向量的坐标为（），则
=（ - ， - ）
当 时，直线与 轴垂直，其一个方向向量为（0，1）
设计意图：结合方向向量，帮助学生认识倾斜角、斜率及方向向量三者之间的关系，特别是理解其中斜率不存在的情况，使得学生对倾斜角和斜率的概念有更清晰的认识.加深对数形结合得理解.
3.巩固应用
例 1 如图 2,已知 A (3, 2), B (-4, 1), C (0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
师生活动：例1由学生自己完成，可以请一位同学上讲台板书解题过程；思考题为备选题, 视学生学情而定，可以师生共同分析完成.
设计意图：通过例1帮助学生巩固掌握斜率公式，熟悉斜率大小与倾斜角的关系.
4.课堂小结
本节课，我们在平面直角坐标系中，讨论了确定直线位置的几何要素，即两点确定一条直线以及一点和一个方向确定一条直线.并从形和数的角度利用倾斜角和斜率来刻画直线的倾斜程度，即表示了直线的方向，并探讨了倾斜角、斜率与直线上两点坐标的关系，探讨了直线的方向向量与斜率的关系.在此过程中体会到了数形结合数学思想以及将几何问题转化为代数问题的化归转化思想.
师生活动：教师提岀问题，先由学生梳理，其他同学补充，师生再一起整理岀本节课研究问题的基本流程框图.教师再结合框图，总结本节课蕴含的主要数学思想方法：类比联想、分类讨论、坐标法、数形结合思想. 设计意图：通过对本节课所学知识，特别是研究过程的梳理，培养学生反思与整理的意识与习惯，让学生了解解析几何的起源与坐标法思想，对倾斜角、斜率两个概念的发现——探究的过程与方法有清晰的认识.
5.布置作业
教科书习题2.1第1, 2, 3, 4, 7, 8题.
6.目标检测设计
1.已知直线l的斜率的绝对值为1,则直线l的倾斜角为 ( )
A.45° B.135° C.45°或135° D.以上均不正确
2.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为 ( )
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
3.若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为 ( )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4