第四章 图形的相似 学情评估卷（含答案） 北师大版数学九年级上册

第四章 图形的相似 学情评估卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025太原月考］]下列长度的各组线段成比例的是（ ）
A. 1，2，4，8 B. 1，3，5，7 C. 1，2，3，4 D. 3，5，6，9
2．[［2025晋中月考］]如图，矩形 矩形，已知，，，则的长为（ ）
（第2题）
A. 6 B. 10 C. 11 D. 12
3．如图，直线，直线 和 被直线、、所截，，，，则 的长为（ ）
（第3题）
A. 2 B. C. D.
4．如图是某同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，两虚线相互平行，则点 表示的数是（ ）
（第4题）
A. 2 B. 3 C. D. 4
5．在 中， ,,．将 沿各选项中的 剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
6．为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点，再在河的这一边的岸边选定点 和点，使得，作，与 交于点，如图所示，现测得，，，那么这条河的大致宽度是（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
7．如图,已知,下列说法不正确的是（ ）
（第7题）
A. 两个三角形是位似图形
B. 点是两个三角形的位似中心
C. 是相似比
D. 点与点、点与点是对应点
8．如图，四边形 是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠，使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为；使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为.若矩形 与原矩形 相似，，则 的长为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
9．如图，正方形的对角线与相交于点，的平分线分别交，于，两点.若，则线段的长为（ ）
（第9题）
A. B. C. 1 D.
10．如图,在矩形中,是边的中点,于点,连接,有下列四个结论:；；；.其中正确的结论有（ ）
（第10题）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，若，且，，则.
（第11题）
12．已知，其中，，，，那么 的周长是.
13．[［2024太原模拟］]如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点位似，相似比为，点的坐标为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
14．[［2024山西中考］] 黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“丶”的位置在的黄金分割点处，且.若，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ （结果保留根号）.
（第14题）
15．如图，在平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，，的面积为2，则平行四边形的面积为.
（第15题）
三、解答题（共75分）
16．（8分）已知，且，求的值．
17．（8分）如图，在中，点，分别在边，上，若，，，求的值.
18．（8分）如图所示,小华在学习“图形的位似”时,在平面直角坐标系中画出了的位似图形.
（1） 在图中标出与的位似中心点的位置,并写出点的坐标;
（2） 若以点为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出的位似图形,且与的位似比为（只画出一个图形即可）.
19．（8分）如图，在中，， ，为角平分线，，垂足为.
（1） 写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2） 证明（1）中的相似三角形.
20．（8分）如图，在中，，，分别是，边上的点，且.
（1） 求证：；
（2） 若，，当时，求的长.
21．（10分） 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
利用辅助平行线求线段的比 三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后利用这两个定理加以解决． 例：如图①，是 的中线，，的延长线交 于点，求 的值． 下面是该题的部分解题过程： 解：如图②，过点 作 交 于点． 是 的中线，． ，，． ， ……
任务：
（1） 请补全材料中的解答过程；
（2） 上述解题过程主要用的数学思想是_ _ _ _ ；
A. 方程思想 B. 转化思想 C. 分类思想 D. 整体思想
（3） 请你换一种思路求的值．
22．（12分） 项目化学习：
【项目背景】小明是学校的一名升旗手，他想：如何能在国歌结束时，使国旗刚好升至旗杆顶端呢？要解决这个问题就要知道学校旗杆的高度，为此他邀请同学们一起进行了专题项目研究．
【项目主题】测量学校旗杆的高度．
【分析探究】旗杆的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子、标杆、皮尺、小木棒、自制的直角三角形硬纸板……确定方案后，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出旗杆的高度．
【成果展示】下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
方案一 方案二
测量工具 皮尺 标杆、皮尺
测量方案 选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高和影长及同一时刻旗杆的影长． 选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，使旗杆的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上，这时测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据 线段表示旗杆，这名同学的身高，这名同学的影长，同一时刻旗杆的影长． 线段表示旗杆，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到旗杆底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离．
… …
请同学们继续完善上述成果展示.
任务一：．写出“方案一”中求旗杆高度时所利用的知识：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（写出一个即可）
任务二：．根据“方案二”的测量数据，求出学校旗杆的高度；
任务三：．写出一条你在活动中的收获．
23．（13分）综合与实践
问题情境：如图①，在中， ，，．点，分别是边，的中点，连接.
（1） 特例分析：在图①中，的长为_ _ _ _ ,的值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 拓展探究：将图①中的绕点顺时针旋转．
① 当点和点分别在和的延长线上时，的值为_ _ _ _ _ _ ；
② 当点和点旋转到的外部时，如图②，判断此时的值是否变化，请说明理由.
（3） 问题解决：当旋转到，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
第四章 图形的相似 学情评估卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．[［2025太原月考］]下列长度的各组线段成比例的是（ ）
A. 1，2，4，8 B. 1，3，5，7 C. 1，2，3，4 D. 3，5，6，9
【答案】A
2．[［2025晋中月考］]如图，矩形 矩形，已知，，，则的长为（ ）
（第2题）
A. 6 B. 10 C. 11 D. 12
【答案】B
3．如图，直线，直线 和 被直线、、所截，，，，则 的长为（ ）
（第3题）
A. 2 B. C. D.
【答案】C
4．如图是某同学用带有刻度的直尺在数轴上作图的方法，两虚线相互平行，则点 表示的数是（ ）
（第4题）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【答案】C
5．在 中， ,,．将 沿各选项中的 剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
6．为了估计河的宽度，我们可以在河对岸的岸边选定一个目标记为点，再在河的这一边的岸边选定点 和点，使得，作，与 交于点，如图所示，现测得，，，那么这条河的大致宽度是（ ）
（第6题）
A. B. C. D.
【答案】A
7．如图,已知,下列说法不正确的是（ ）
（第7题）
A. 两个三角形是位似图形
B. 点是两个三角形的位似中心
C. 是相似比
D. 点与点、点与点是对应点
【答案】C
8．如图，四边形 是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠，使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为；使 边落在 边上，点 落在点 处，折痕为.若矩形 与原矩形 相似，，则 的长为（ ）
（第8题）
A. B. C. D.
【答案】C
9．如图，正方形的对角线与相交于点，的平分线分别交，于，两点.若，则线段的长为（ ）
（第9题）
A. B. C. 1 D.
【答案】C
10．如图,在矩形中,是边的中点,于点,连接,有下列四个结论:；；；.其中正确的结论有（ ）
（第10题）
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
【答案】A
二、填空题（每题3分，共15分）
11．如图，若，且，，则.
（第11题）
【答案】15
12．已知，其中，，，，那么 的周长是.
【答案】12
13．[［2024太原模拟］]如图，在平面直角坐标系的第一象限内，与关于原点位似，相似比为，点的坐标为，则点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ .
（第13题）
【答案】
14．[［2024山西中考］] 黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点，分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“丶”的位置在的黄金分割点处，且.若，则的长为_ _ _ _ _ _ _ _ （结果保留根号）.
（第14题）
【答案】
15．如图，在平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点，，的面积为2，则平行四边形的面积为.
（第15题）
【答案】24
三、解答题（共75分）
16．（8分）已知，且，求的值．
解：设，则，，.
，，，
，，，．
17．（8分）如图，在中，点，分别在边，上，若，，，求的值.
解：，.
又,，.
，，.
18．（8分）如图所示,小华在学习“图形的位似”时,在平面直角坐标系中画出了的位似图形.
（1） 在图中标出与的位似中心点的位置,并写出点的坐标;
（2） 若以点为位似中心，请你帮小华在图中给定的网格内画出的位似图形,且与的位似比为（只画出一个图形即可）.
【答案】
（1） 解：如图，点即为所求.点的坐标为.
（2） 如图，即为所求不唯一.
19．（8分）如图，在中，， ，为角平分线，，垂足为.
（1） 写出图中一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形；
（2） 证明（1）中的相似三角形.
【答案】（1） 解：，.
（2） 证明：， ， .
为角平分线，，
又，.
20．（8分）如图，在中，，，分别是，边上的点，且.
（1） 求证：；
（2） 若，，当时，求的长.
【答案】
（1） 证明：，.
，.
，，
，，
，.
，.
（2） 解：，.
由（1）知，.
又，，.
，，，.
21．（10分） 请阅读下列材料，并完成相应的任务．
利用辅助平行线求线段的比 三角形的中位线定理是三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．平行线分线段成比例定理是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．有些几何题，若题中出现了平行线，我们可以直接利用这两个定理求出两线段的比值，而有些几何题，题中没有平行线这样的条件，那么我们可以通过作辅助平行线，然后利用这两个定理加以解决． 例：如图①，是 的中线，，的延长线交 于点，求 的值． 下面是该题的部分解题过程： 解：如图②，过点 作 交 于点． 是 的中线，． ，，． ， ……
任务：
（1） 请补全材料中的解答过程；
（2） 上述解题过程主要用的数学思想是_ _ _ _ ；
A. 方程思想 B. 转化思想 C. 分类思想 D. 整体思想
（3） 请你换一种思路求的值．
【答案】
（1） 解：.，
，.
，.
（2） B
（3） 如图，过点作交于点．
是的中线，.
，.
，.
，，，.
（思路合理即可）
22．（12分） 项目化学习：
【项目背景】小明是学校的一名升旗手，他想：如何能在国歌结束时，使国旗刚好升至旗杆顶端呢？要解决这个问题就要知道学校旗杆的高度，为此他邀请同学们一起进行了专题项目研究．
【项目主题】测量学校旗杆的高度．
【分析探究】旗杆的高度不能直接测量，需要借助一些工具，比如小镜子、标杆、皮尺、小木棒、自制的直角三角形硬纸板……确定方案后，画出测量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计算出旗杆的高度．
【成果展示】下面是同学们进行交流展示时的部分测量方案及测量数据：
方案一 方案二
测量工具 皮尺 标杆、皮尺
测量方案 选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高和影长及同一时刻旗杆的影长． 选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上直立一根高度适当的标杆，使旗杆的顶端、标杆的顶端与观测者的眼睛恰好在一条直线上，这时测出观测者的脚到旗杆底端的距离，以及观测者的脚到标杆底端的距离，然后测出标杆的高．
测量示意图
测量数据 线段表示旗杆，这名同学的身高，这名同学的影长，同一时刻旗杆的影长． 线段表示旗杆，标杆，观测者的眼睛到地面的距离，观测者的脚到旗杆底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离．
… …
请同学们继续完善上述成果展示.
任务一：．写出“方案一”中求旗杆高度时所利用的知识：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ；（写出一个即可）
任务二：．根据“方案二”的测量数据，求出学校旗杆的高度；
任务三：．写出一条你在活动中的收获．
【答案】任务一： 相似三角形的判定与性质（答案合理即可）
任务二： 解：如图，过点作于点，交于点，则四边形与四边形都是矩形，
，，，
由题意得，.
又，，
，，，
.
答：学校旗杆的高度为．
任务三： 在利用阳光下的影子测量时，如果没有太阳光，会影响测量；测量数据不准确，在测量过程中为了避免误差太大，可以多次测量，取平均值作为最后的测量结果；在项目学习中感受到了数学与生活的联系等．（答案不唯一，表述合理即可）
23．（13分）综合与实践
问题情境：如图①，在中， ，，．点，分别是边，的中点，连接.
（1） 特例分析：在图①中，的长为_ _ _ _ ,的值为_ _ _ _ _ _ .
（2） 拓展探究：将图①中的绕点顺时针旋转．
① 当点和点分别在和的延长线上时，的值为_ _ _ _ _ _ ；
② 当点和点旋转到的外部时，如图②，判断此时的值是否变化，请说明理由.
（3） 问题解决：当旋转到，，三点在同一直线上时，直接写出的长．
【答案】（1） 3；
（2） ①
② 解：没有变化.理由如下：
由题意易得，，.
，，
又，，．
（3） 的长为或.
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