第六章 反比例函数 学情评估卷（含答案）北师大版数学九年级上册

第六章 反比例函数 学情评估卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
2．反比例函数的图象分布在（ ）
A. 第一、三象限 B. 第一、四象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
3．某农场去年的粮食总产量为1 500吨，设该农场的土地为公顷，平均每公顷的粮食产量为吨，则与之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
4．如图，双曲线与直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5．[［2024临汾期末］]若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（第7题）
A. 关于的函数表达式为
B. 当时，
C. 当时，
D. 随的增大而增大
8．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点，当时，的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 或
9．[［2025大同模拟］] 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，曲线、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔的高度为（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
10．如图，反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ）
（第10题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（每题3分，共15分）
11．在反比例函数中，比例系数的值为_ _ _ _ _ _ ．
12．已知函数，在其图象所在象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
13．[［2025吕梁模拟］] 区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）的平均速度的方法.小禾一家在五一小长假期间驾车出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示.若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为_ _ .
（第13题）
14．如图，反比例函数的图象经过菱形的边的中点，点的坐标是，点在轴上，则的值是．
（第14题）
15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点,分别在轴，轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上……依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
（第15题）
三、解答题（共75分）
16．（8分）在关系式中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由．
17．[［2025太原月考］]（8分） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点.
（1） 求，的值以及点的坐标；
（2） 根据图象可得，不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
18．（8分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点．
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 求的面积.
19．（9分） 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰地看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式为，据此内容，请大家完成下列问题：
（1） 当的值增大时，的值随之_ _ （填“增大”“减小”或“不变”）；
（2） 根据与的关系式补全下表：
镜片焦距 0.1 0.2 …
度数度 1 000 400 …
（3） 小明原来戴200度的近视眼镜，过了2年再次验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数涨了多少度？
20．（10分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为为定值，单位：的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积与其深度是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1） 求天然气储存室的容积；
（2） 受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积的取值范围．
21．（10分）如图，直线与双曲线为常数，在第一象限内交于点，且与轴，轴分别交于，两点.
（1） 求直线和双曲线的表达式；
（2） 点在坐标轴上，且的面积等于8，求点的坐标；
（3） 将直线绕原点旋转 后与轴交于点，与双曲线在第三象限内的交点为，猜想四边形的形状，并证明你的猜想．
22．（10分） 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在今天下午的数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电功率与电阻的函数关系”的数学活动．
第一步，我们根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率．
第二步，计算并收集数据如下：
… 5 10 15 20 25 …
… 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 …
第三步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出表中各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新测量、计算，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都写了数学日记．
任务：
（1） 上面日记中的数据分析过程主要运用的数学思想是_ _ _ _ ；
A. 数形结合思想 B. 类比思想
C. 分类讨论思想 D. 方程思想
（2） 你认为表中哪组数据是明显错误的，并直接写出关于的函数表达式；
（3） 在如图所示的平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（4） 请直接写出当时，的取值范围．
23．（12分） 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长，交轴于点，且.
（1） 求的值和点的坐标.
（2） 点是轴上的动点，连接，，求的最小值.
（3） 是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
第六章 反比例函数 学情评估卷
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列函数中，是的反比例函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
2．反比例函数的图象分布在（ ）
A. 第一、三象限 B. 第一、四象限
C. 第二、三象限 D. 第二、四象限
【答案】D
3．某农场去年的粮食总产量为1 500吨，设该农场的土地为公顷，平均每公顷的粮食产量为吨，则与之间的函数图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
4．如图，双曲线与直线相交于，两点，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
5．[［2024临汾期末］]若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
6．函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
7．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
（第7题）
A. 关于的函数表达式为
B. 当时，
C. 当时，
D. 随的增大而增大
【答案】A
8．一次函数的图象与反比例函数的图象相交于,两点，当时，的取值范围为（ ）
A. B.
C. D. 或
【答案】D
9．[［2025大同模拟］] 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它的纵截面是如图所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，若以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，的中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，曲线、分别是两个反比例函数图象的一部分，已知，，上口宽，则整个冷却塔的高度为（ ）
（第9题）
A. B. C. D.
【答案】A
10．如图，反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为（ ）
（第10题）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
二、填空题（每题3分，共15分）
11．在反比例函数中，比例系数的值为_ _ _ _ _ _ ．
【答案】
12．已知函数，在其图象所在象限内，都随的增大而增大，则的取值范围是_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【答案】
13．[［2025吕梁模拟］] 区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）的平均速度的方法.小禾一家在五一小长假期间驾车出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示.若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为_ _ .
（第13题）
【答案】0.24
14．如图，反比例函数的图象经过菱形的边的中点，点的坐标是，点在轴上，则的值是．
（第14题）
【答案】22
15．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形的顶点,分别在轴，轴上，点在反比例函数的图象上，过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上，再过的中点作矩形，使顶点落在反比例函数的图象上……依此规律，作出矩形时，落在反比例函数图象上的顶点的坐标为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ．
（第15题）
【答案】
三、解答题（共75分）
16．（8分）在关系式中，是的反比例函数吗？若是，比例系数等于多少？若不是，请说明理由．
解：是的反比例函数，
由，得，比例系数等于.
17．[［2025太原月考］]（8分） 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点和点.
（1） 求，的值以及点的坐标；
（2） 根据图象可得，不等式的解集为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
【答案】
（1） 解： 点在一次函数的图象上，
将,代入，得，.
点在反比例函数的图象上，
将,代入，得，解得.
联立解得或
点的坐标为.
（2） 或
18．（8分）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点．
（1） 求一次函数和反比例函数的表达式；
（2） 求的面积.
【答案】
（1） 解： 一次函数的图象经过点，
,，
一次函数的表达式为.
反比例函数的图象经过点，
,
反比例函数的表达式为.
（2） 令,解得，
点的坐标为，.
轴于点，点的坐标为，
,，.
的面积为.
19．（9分） 近视眼镜是一种为了矫正视力，让人们可以清晰地看到远距离物体的眼镜．近视眼镜的镜片是凹透镜，研究发现，近视眼镜的度数（度）与镜片焦距的关系式为，据此内容，请大家完成下列问题：
（1） 当的值增大时，的值随之_ _ （填“增大”“减小”或“不变”）；
（2） 根据与的关系式补全下表：
镜片焦距 0.1 0.2 …
度数度 1 000 400 …
（3） 小明原来戴200度的近视眼镜，过了2年再次验光时，所配镜片焦距调整为，则小明的眼镜度数涨了多少度？
【答案】（1） 减小
（2） 解：补全表格如下.
镜片焦距 0.1 0.2 0.25 …
度数度 1 000 500 400 …
（3） 将代入,可得.
小明的眼镜度数涨了（度）.
20．（10分）某燃气公司计划在地下修建一个容积为为定值，单位：的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积与其深度是反比例函数关系，其图象如图所示．
（1） 求天然气储存室的容积；
（2） 受地形条件限制，储存室的深度需要满足，求储存室的底面积的取值范围．
【答案】
（1） 解：设关于的反比例函数的表达式为，
把代入表达式，得,
, 天然气储存室的容积为.
（2） 由（1）得，
当时，;当时，.
随的增大而减小， 当时，.
21．（10分）如图，直线与双曲线为常数，在第一象限内交于点，且与轴，轴分别交于，两点.
（1） 求直线和双曲线的表达式；
（2） 点在坐标轴上，且的面积等于8，求点的坐标；
（3） 将直线绕原点旋转 后与轴交于点，与双曲线在第三象限内的交点为，猜想四边形的形状，并证明你的猜想．
【答案】
（1） 解：把点的坐标代入,可得,
直线的表达式为.
把点的坐标代入,可得,
双曲线的表达式为.
（2） 在中，令，则；令,则.
点的坐标为，点的坐标为，
即,由的面积等于8可知：
当点在轴上时，设，则有，
即,解得或，
点的坐标为或.
当点在轴上时，设,则有,
即,解得或，
点的坐标为或.
综上，点的坐标为或或或.
（3） 四边形是平行四边形，
证明如下：如图，连接,由题意易知，
,, 四边形是平行四边形.
22．（10分） 阅读与思考
下面是小宇同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．
在今天下午的数学活动课上，我们“腾飞”小组的同学参加了一次“探索电功率与电阻的函数关系”的数学活动．
第一步，我们根据物理知识，改变电阻的大小，通过测量电路中的电流，计算电功率．
第二步，计算并收集数据如下：
… 5 10 15 20 25 …
… 7.2 3.6 2.4 1.8 1.6 …
第三步，数据分析，以的数值为横坐标，的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出表中各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新测量、计算，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改.实验结束后，大家有很多收获，每人都写了数学日记．
任务：
（1） 上面日记中的数据分析过程主要运用的数学思想是_ _ _ _ ；
A. 数形结合思想 B. 类比思想
C. 分类讨论思想 D. 方程思想
（2） 你认为表中哪组数据是明显错误的，并直接写出关于的函数表达式；
（3） 在如图所示的平面直角坐标系中，画出此函数的图象；
（4） 请直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1） A
（2） 解：当时，这组数据是明显错误的.
关于的函数表达式是.
（3） 画图如图所示.
（4） 的取值范围是．
23．（12分） 如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长，交轴于点，且.
（1） 求的值和点的坐标.
（2） 点是轴上的动点，连接，，求的最小值.
（3） 是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1） 解： 直线经过点，
.
点在函数的图象上，.
直线与双曲线交于，两点，直线过原点， 点和点关于原点对称..
（2） 过点，分别作轴，轴，垂足分别为,，作点关于轴的对称点，连接,易得的长度即为的最小值.
轴，轴，.
，.
.
，.，.
点的纵坐标是1.
将代入，得，.
点是点关于轴的对称点，.
，
即的最小值是.
（3） 存在.点的坐标为或.
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