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【50道热点题型】人教版数学八年级下册期中试卷·综合题专练
1．先化简，再求值．
（1） +6 ﹣2x ，其中x=4
（2） +3 +x ，其中x=6．
2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．
3．△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并说明理由；
4．如图，已知等腰 中， ， ， 是边 上一点，且 ， ．
（1）求AD的长；
（2）求 中 边上的高．
5．定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．
（1）如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则 ；
（2）如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．
6．如图，四边形 是平行四边形，连接对角线 ，过点 作 与 的延长线交于点 ，连接 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）连结 ，若 ，且 ，求证：四边形 是正方形．
7．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且，已知是等边三角形．
（1）求证：四边形是矩形：
（2）若，求的长．
8．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F。
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠1=70°，求∠B的大小。
9．如图，矩形 中， ， ，点 、 分别在 、 上，且 .
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）求线段 的长.
10．计算下列各式
（1）× ；
（2）（ ﹣2 ）﹣（ ﹣ ）；
（3）（7+4 ）（7﹣4 ）﹣（ ﹣1）2．
11．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若四边形为菱形，H为中点，连接，若，，则长为 ．
12．如图，在平行四边形ABCD中， ，延长DA于点E，使得 ，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若 ， ，求 的面积．
13．如图，在 中， ， .
（1）如图1，点 在边 上， ， ，求 的面积.
（2）如图2，点 在边 上，过点 作 ， ，连结 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 .求证： .
14．如图1，四边形是正方形，点在边上任意一点（点不与点，点重合），点在的延长线上，.
（1）求证：；
（2）如图2，作点关于的对称点，连接、、，与交于点，与交于点.与交于点.
①若，求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由.
15．如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点E在BC的延长线上，且CE＜BC，连接BG并延长交DE于H．
（1）写出BH与DE的位置关系，并证明；
（2）求证：∠BHC＝45°．
16．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝ ， ∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
17．2015 武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
18．如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，．
（1）求线段的长；
（2）求证：．
19．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点处， 且，它们都要到处吃东西， 其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的池塘处， 另一只猴子乙先爬到树顶处后再沿缆绳线段滑到处.已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有的整式表示线段的长为 ；
（2）求这棵树高有多少m？
20．直角三角形 在数轴上的位置如图所示，其中点 在数轴上， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 ．
（1）若点 在数轴上表示的数是7，求点 表示的数是多少？
（2）若点 表示的数是 ，求 ， ．
21．如图，在矩形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF、DE交于点O.
（1）求证：△AOD是等腰三角形；
（2）若AF⊥DE，OF＝ OA＝1，求矩形ABCD的周长.
22．如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）猜想的∠A与∠C关系；
（2）求出四边形ABCD的面积．
23．如图，有一块四边形空地，，经测得．
（1）求两点之间的距离；
（2）求这块空地的面积．
24．如图，在
中，点
对角线
上，且
，连接
。
求证：
（1） ；
（2）四边形
是平行四边形。
25．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
（2）如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
（3）如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
26．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD于点E、F.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当四边形DEBF是菱形时，求EF的长.
27．下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．
∴AP＝ ．
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形 （填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形 （填推理的依据）．
28．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．
（1）求证：BD=AE；
（2）若AB=2，BC=3，求BD的长．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4，求AC的长．
30．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 .
（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上.试说明：∠ACE=90°.
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的<新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.
31．小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：垂直平分．四边形是菱形．（ ） 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内的（ ）中打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
（1）你补充的条件是： ；
（2）证明：
32．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为 ．
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．
34．如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接.
（1）证明：；
（2）求的度数.
35．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．
36．如图，在中，AC是对角线，，垂足分别为点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若，求CD的长．
37．
（1）感知：如图①，在正方形中，E是一点，F是AD延长线上一点，且，求证：；
（2）拓展：在图①中，若G在AD，且，则成立吗？为什么？
（3）运用：如图②在四边形中，，，，E是AB上一点，且，，求DE的长．
38．如图，四边形 为菱形，延长 使得 ，延长 使得 ，延长 使得 ，延长 使得 ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）猜想：四边形 是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想.
39．如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 .求证：
（1） ；
（2） .
40．如图，在菱形 中， ，垂足为点 ，且 为边 的中点.
（1）求 的度数；
（2）如果 ，求对角线 的长.
41．如图1，用4个相同边长是、的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则值为 ；则的值为 ；
（2）若小长方形两边长为和，则大正方形的边长为 ；
若满足，则的值为 ；
（3）如图2，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想，，三边的数量关系，并说明理由．
42．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．
（1）若∠F=20°，求∠A的度数；
（2）若AB=5，BC=8，CE⊥AD，求 ABCD的面积．
43．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
44．已知：a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b和ab的值；
（2）求a2+b2和a4+b4的值；
（3）求a8的整数部分．
45．在四边形 中，已知 ， ， ， 且 于点C.试求：
（1）AC的长；
（2） 的度数．
46．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）你判断四边形ABEC形状是 ；
（2）请你添加一个条件，使四边形ABEC是矩形，并请说明理由；
（3）当△ABC满足 条件时，四边形ABEC是菱形．（不需说理）
47．如图，已知矩形 ， ， ，P是 上一动点，M、N、E分别是 、 、 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 为何值时，四边形 是菱形，说明理由.
（3）四边形 有可能是矩形吗？若有可能，求出 的长；若不可能，请说明理由.
48．如图1，四边形ABCO为正方形，若点A坐标为（0，5）
（1）如图1，直接写出点B的坐标
（2）如图1，点D为线段OA上一点，连接BD，若点A到BD的距离为1，求点C到BD的距离.
（3）如图2，若D为x轴上一点，且OD=2，M为y轴正半轴上一点，且∠DBM=45°，直接写出点M的坐标
49．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2 ，BE=2 ，求四边形ADPE的面积．
50．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．
求证：△ABF≌△DAE；
（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系 ；
（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 ；
②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是 ；
（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．
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【50道热点题型】人教版数学八年级下册期中试卷·综合题专练
1．先化简，再求值．
（1） +6 ﹣2x ，其中x=4
（2） +3 +x ，其中x=6．
【答案】（1）解： +6 ﹣2x ，
=2 +3 ﹣2
=3
把x=4代入上式得：
原式=3× =6；
（2）解： +3 +x ，
=2 + +
=4 ，
把x=6代入上式得：
原式=4× =12
【解析】【分析】先把二次根式化为最简二次根式，再把同类二次根式合并，然后把x的值代入计算即可；
2．如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足．
（1）填空： ， ；
（2）若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积；
（3）在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标．
【答案】（1），3
（2）解：∵，∴，，
∴，
∵，且M在第三象限，
∴，
∴的面积；
（3）解：当时，则，，
∵的面积的面积的2倍，
∵的面积的面积的面积，
解得：，
∵，
∴，
当点P在点C的下方时，，即；
当点P在点C的上方时，，即；
综上所述，点P的坐标为或．
【解析】【解答】解：（1）∵a、b满足，
∴，且，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据偶次根式和偶次方的非负形，得到，且，求得a和b的值，即可得到答案；
（2）根据题意，利用三角形面积公式，结合的面积，即可求解；
（3）当时，得到，且，根据的面积是的面积的2倍，列出方程，求得的长，得出，分点P在点C的下方和点P在点C的上方，两种情况讨论，进而求得点P的坐标，得到答案.
3．△ABC中，点O是AC上一动点，过点O作直线MN∥BC，若MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，连接AE、AF.
（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并说明理由；
【答案】（1）解：∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠DCA的平分线于点F，
∴∠OCE=∠ECB，∠OCF=∠FCD，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD，
∴∠OEC=∠OCE，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴OE=OF，
∵∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴∠OEC+∠OFC=∠OCE+∠OCF=90°.
∵CE=12，CF=5，
∴EF= =13，
∴OC= EF=6.5；
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形.
理由：当O为AC的中点时，AO=CO.
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形.
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形.
【解析】【分析】(1)根据角平分线和平行线性质得到∠FCE=90°，OE=OC=OF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到OC= EF，根据勾股定理求出EF，即可求出AC；(2)由(1)得出的EO=CO=FO，点O运动到AC的中点时，则有EO=CO=FO=AO，所以这时四边形AECF是矩形.
4．如图，已知等腰 中， ， ， 是边 上一点，且 ， ．
（1）求AD的长；
（2）求 中 边上的高．
【答案】（1）解：∵BC=20cm，且CD=16cm，BD=12cm，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=90°，
设AD=x cm，则AC=AB=(x+12)cm，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2=AC2，
即x2+162=(x+12)2，
解得：x= ，
即AD= cm；
（2）解：AB=AC= +12= （cm），
过A作AE⊥BC于E，则AE是△ABC的高，
∵AB=AC，BC=20cm，
∴BE=CE=10（cm），
在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE= （cm），
即△ABC中BC边上的高是 cm．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，∠ADC=90°，再根据勾股定理求出即可；
（2）根据等腰三角形的性质得出BE=CE=10（cm），根据勾股定理求出AE即可。
5．定义：若点P为四边形内一点，且满足，则称点P为四边形的一个“互补点”．
（1）如图1，点P为四边形的一个“互补点”，若，则 ；
（2）如图2，点P是菱形对角线上的任意一点（不与点B，D重合），求证：点P为菱形的一个“互补点”．
【答案】（1）120°
（2）证明：如图，连接 ，
∵菱形 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
同理 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴点P为菱形 的一个“互补点”．
【解析】【解答】（1）∵ 点P为四边形的一个“互补点”， ，
∴ ，
【分析】（1）根据“互补点”的定义求解即可；
（2） 连接 ， 根据菱形的性质证明 ， 可得 ， ，根据圆周角的定义证明 ，即 ，则点P为菱形 的一个“互补点”。
6．如图，四边形 是平行四边形，连接对角线 ，过点 作 与 的延长线交于点 ，连接 交 于 ．
（1）求证： ；
（2）连结 ，若 ，且 ，求证：四边形 是正方形．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵AC∥DE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴AD=CE，
∴BC=CE；
（2）解：由（1）知：四边形ACED是平行四边形，
∴DF=CF= AB，EF=AF，
∵AD=2CF，
∴AB=AD，
四边形 为平行四边形，
四边形 为菱形，
∵AD∥EC，
∴
∴四边形ABCD是正方形．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得：AD∥BC，AD=BC，又由平行四边形的判定得：四边形ACED是平行四边形，又由平行四边形的对边相等可得结论；（2）根据（1）：四边形ACED是平行四边形，对角线互相平分可得： 结合 ，从而证明AD=AB，即邻边相等，证明四边形 为菱形，再证明 从而∠ABC=90°，根据有一个角是直角的菱形是正方形可得结论．
7．如图，在四边形中，，对角线，相交于点O，且，已知是等边三角形．
（1）求证：四边形是矩形：
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴四边形是平行四边形，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴四边形是矩形．
（2）解：∵是等边三角形，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴在中，．∴的长为．
【解析】【分析】（1）证明△AOB≌△COD（ASA），可得BO=DO，AB=CD，利用一组对边平行且相等可证四边形ABCD是平行四边形，由等边三角形的性质可得OA=OB，从而得出AC=BD，根据矩形的判定即证；
（2）由等边三角形的性质可得AB=OA=OB，利用矩形的性质可得∠ABC=90°，AC=2OA=4，根据勾股定理求出BC即可.
8．如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD且交AD于点E，AF∥CE，且交BC于点F。
（1）求证：△ABF≌△CDE；
（2）若∠1=70°，求∠B的大小。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，
∠1=∠BCE.
AF∥CE
∠AFB=∠BCE
∠AFB=∠1
在△ABE和△CDE中，，
△ABE≌△CDE（AAS）.
（2）解：由（1）得∠1=∠BCE.
CE平分∠BCD，
∠DCE=∠BCE
∠1=∠DCE=70°，
∠B=∠D=180°-2×70°=40°.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质和平行线的性质可证得AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D，∠1=∠BCE，∠AFB=∠BCE，由此可推出∠AFB=∠1；再利用AAS可证得结论.
（2）利用角平分线的性质可证得∠DCE=∠BCE，由此可求出∠DCE的度数；再利用三角形的内角和为180°，可求出∠B的度数.
9．如图，矩形 中， ， ，点 、 分别在 、 上，且 .
（1）求证：四边形 是菱形；
（2）求线段 的长.
【答案】（1） 证明：∵在矩形 中， ， ，
∴ ， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是菱形
（2）解：过 作 于 ，
则四边形 是矩形，
∴ ， ，
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得出 ， ， ， ， 根据线段的和差得出 ，根据勾股定理得出AF=CE=，故 ，根据四边相等的四边形是菱形得出结论： 四边形 是菱形 ；
（2） 过 作 于 ， 很容易得知 四边形 是矩形 根据矩形的性质得出 ， ，进而利用勾股定理即可算出EF的长。
10．计算下列各式
（1）× ；
（2）（ ﹣2 ）﹣（ ﹣ ）；
（3）（7+4 ）（7﹣4 ）﹣（ ﹣1）2．
【答案】（1）解： ×
=
=
（2）解：（ ﹣2 ）﹣（ ﹣ ）
=
=
（3）解：（7+4 ）（7﹣4 ）﹣（ ﹣1）2
=
=49﹣48﹣4+2
=﹣3+2
【解析】【分析】（1）把除法转化为乘法进行化简即可解答本题；（2）去括号然后合并同类项即可解答本题；（3）利用平方差公式和完全平方差公式可以解答本题．
11．如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，交延长线于点E，交延长线于点F．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）若四边形为菱形，H为中点，连接，若，，则长为 ．
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴四边形 是矩形；
（2）
【解析】【解答】解：（1）见答案．
（2）∵四边形是矩形 ，
∴．
在中，
．
∵四边形是矩形 ，
∴，为的中点．
∵为中点，且为的中点，
∴．
故答案为：．
【分析】（1）如果一个平行四边形的一个角为直角，其他三个角也为直角，那么这个四边形为矩形．据此，可以先证明四边形为平行四边形，再证明其中一个角为直角，问题即可得证．
（2）在中，利用勾股定理，可求得菱形 的边长为5；根据中位线定理，可知，即可求得答案．
12．如图，在平行四边形ABCD中， ，延长DA于点E，使得 ，连接BE．
（1）求证：四边形AEBC是矩形；
（2）过点E作AB的垂线分别交AB，AC于点F，G，连接CE交AB于点O，连接OG，若 ， ，求 的面积．
【答案】（1）解： 四边形ABCD是平行四边形，
， ，
，
， ，
四边形AEBC是平行四边形，
，
，
，
四边形AEBC是矩形
（2）解： ，
，
，
， ，
四边形AEBC是矩形，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
的面积 ．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，推出四边形AEBC是平行四边形，求得∠CAE＝90°，于是得到四边形AEBC是矩形；（2）根据三角形的内角和得到∠AGF＝60°，∠EAF＝60°，推出△AOE是等边三角形，得到AE＝EO，求得∠GOF＝∠GAF＝30°，根据直角三角形的性质得到OG＝2 ，根据三角形的面积公式即可得到结论．
13．如图，在 中， ， .
（1）如图1，点 在边 上， ， ，求 的面积.
（2）如图2，点 在边 上，过点 作 ， ，连结 交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，连结 .求证： .
【答案】（1）解：在△ACD中，∵ ， ， ，∴ ，
∵ ，∴BC=4，BD=3，∴
（2）解：过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则∠CBG+∠CBH=90°，∵ ，∴∠EBH+∠CBH=90°，∴∠CBG=∠EBH，∵ ， ，∴BE∥AC，∴∠E=∠EFC，∵ ， ，∴∠EFC+∠FCG=90°，∠BCG+∠FCG=90°，∴∠EFC=∠BCG，∴∠E=∠BCG，在△BCG和△BEH中，∵∠CBG=∠EBH，BC=BE，∠BCG=∠E，∴△BCG≌△BEH（ASA），∴BG=BH，CG=EH，∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）根据勾股定理可得AC，进而可得BC与BD，然后根据三角形的面积公式计算即可；（2）过点B作BH⊥BG交EF于点H，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG=∠EBH，由已知易得BE∥AC，于是∠E=∠EFC，由于 ， ，则根据余角的性质得∠EFC=∠BCG，于是可得∠E=∠BCG，然后根据ASA可证△BCG≌△BEH，可得BG=BH，CG=EH，从而△BGH是等腰直角三角形，进一步即可证得结论.
14．如图1，四边形是正方形，点在边上任意一点（点不与点，点重合），点在的延长线上，.
（1）求证：；
（2）如图2，作点关于的对称点，连接、、，与交于点，与交于点.与交于点.
①若，求的度数；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠CBE＝∠CDF＝90°，
在△CBE和△CDF中，
，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE＝CF；
（2）解：①点D关于CF的对称点G，
∴CD＝CG，DP＝GP，
在△DCP和△GCP中，
，
∴△DCP≌△GCP（SSS），
∴∠DCP＝∠GCP，
由（1）得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝20°，
∴∠BCG＝20°＋20°＋90°＝130°，
∵CG＝CD＝CB，
∴∠CGH＝，
∴∠CHB＝∠CGH＋∠GCP＝25°＋20°＝45°；
②线段CD，GH，BH之间的数量关系为：GH2＋BH2＝2CD2，理由如下：
连接BD，如图2所示：
由①得：CP垂直平分DG，
∴HD＝HG，∠GHF＝∠DHF，
设∠BCE＝m°，
由①得：∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝m°，
∴∠BCG＝m°＋m°＋90°＝2m°＋90°，
∵CG＝CD＝CB，
∴∠CGH＝，
∴∠CHB＝∠CGH＋∠GCP＝45° m°＋m°＝45°，
∴∠GHF＝∠CHB＝45°，
∴∠GHD＝∠GHF＋∠DHF＝45°＋45°＝90°，
∴∠DHB＝90°，
在Rt△BDH中，由勾股定理得：DH2＋BH2＝BD2，
∴GH2＋BH2＝BD2，
在Rt△BCD中，CB＝CD，
∴BD2＝2CD2，
∴GH2＋BH2＝2CD2.
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得CB＝CD，∠CBE＝∠CDF＝90°，证明△CBE≌△CDF，据此可得结论；
（2）①根据轴对称的性质可得CD＝CG，DP＝GP，证明△DCP≌△GCP，得到∠DCP＝∠GCP，根据全等三角形的性质可得∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝20°，则∠BCG＝130°，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得∠CGH=25°，然后根据∠CHB＝∠CGH＋∠GCP进行计算；
②连接BD，由①得：CP垂直平分DG，则HD＝HG，∠GHF＝∠DHF，设∠BCE＝m°，则∠BCE＝∠DCP＝∠GCP＝m°，∠BCG＝2m°＋90°，∠CGH=45°-m°，∠CHB＝∠CGH＋∠GCP＝45°，推出∠DHB＝90°，根据勾股定理可得DH2＋BH2＝BD2，然后结合CB＝CD进行解答.
15．如图，四边形ABCD和CEFG都是正方形，点E在BC的延长线上，且CE＜BC，连接BG并延长交DE于H．
（1）写出BH与DE的位置关系，并证明；
（2）求证：∠BHC＝45°．
【答案】（1）BH⊥DE；
证明如下：
∵四边形ABCD和CEFG都是正方形，
∴BC=DC，∠BCG=∠DCE=90°，CG=CE，
在△BCG和△DCE中，
∴△BCG≌△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
∵∠CDE+∠DEB=90°，
∴∠CBG+∠DEB=90°，
∴∠EHB=90°，
∴BH⊥DE．
（2）解：连接CH，过点C做CM⊥BG，CN⊥DE，垂足分别为M和N，
由（1）得△BCG≌△DCE，
∴ ，BG=DE，
∴CM=CN，
∵CG⊥BG，CN⊥DE，
∴点C在∠EHB的角平分线上，
∵∠EHB=90°，
∴∠BHC＝45°
【解析】【分析】（1）根据题意证明△BCG≌△DCE，根据全等三角形的性质，求出答案即可；
（2）根据三角形全等的性质，求出点C在∠EHB的角平分线上，即可得到答案。
16．如图，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作EF⊥AC，交BC于点E，交AD于点F，连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝ ， ∠DCF=30°，求四边形AECF的面积．（结果保留根号）
【答案】（1）证明：∵O是AC的中点，且EF⊥AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AFO＝∠CEO，
在△AOF和△COE中，
∠AFO＝∠CEO∠AOF＝∠COEOA＝OC，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF＝CE，
∴AF＝CF＝CE＝AE，
∴四边形AECF是菱形
（2）解：在Rt△CDF中，cos∠DCF＝ ，∠DCF＝30°，
∴CF＝ ＝2，
∵四边形AECF是菱形，
∴CE＝CF＝2，
∴四边形AECF是的面积为：EC AB＝2
【解析】【分析】解：（1）根据过AC的中点O作EF⊥AC可得EF为AC的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质得AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC；然后根据矩形的性质易证△AOF≌△COE，利用全等三角形的性质得AF＝CE，等量代换得AF＝CF＝CE＝AE，得证；
（2）由矩形性质得CD=AB，在Rt△DCF中，利用30°的三角函数求出CF，根据菱形性质可得CE=CF，故可求菱形AECF的面积。
17．2015 武汉）如图，已知点A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），平行四边形ABCD的对角线交于坐标原点O．
（1）请直接写出点C、D的坐标；
（2）写出从线段AB到线段CD的变换过程；
（3）直接写出平行四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD关于O中心对称，
∵A（﹣4，2），B（﹣1，﹣2），
∴C（4，﹣2），D（1，2）；
（2）解：线段AB到线段CD的变换过程是：绕点O旋转180°；
（3）解：由（1）得：A到y轴距离为：4，D到y轴距离为：1，
A到x轴距离为：2，B到x轴距离为：2，
∴SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，
∴SABCD=5×4=20．
【解析】【分析】（1）利用中心对称图形的性质得出C，D两点坐标；
（2）利用平行四边形的性质以及结合平移的性质得出即可；
（3）利用SABCD的可以转化为边长为；5和4的矩形面积，进而求出即可．
18．如图，在中，过点A作于点D，点E在线段上，且．已知，，．
（1）求线段的长；
（2）求证：．
【答案】（1）解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得，
∴
即的长为
（2）证明：在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，
∴
【解析】【分析】（1）设BE=AE=x，可表示出ED的长，再利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的长.
（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的长，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的长，及可求出BC的长；再利用勾股定理的逆定理可证得结论.
19．如图，花果山上有两只猴子在一棵树上的点处， 且，它们都要到处吃东西， 其中一只猴子甲沿树爬下走到离树处的池塘处， 另一只猴子乙先爬到树顶处后再沿缆绳线段滑到处.已知两只猴子所经过的路程相等，设为．
（1）请用含有的整式表示线段的长为 ；
（2）求这棵树高有多少m？
【答案】（1）（15-x）
（2）解：在Rt△ABC中，BD2+AC2=AD2
∴x2+102=（15-x）2
解之：x=2.5，
∴BD=BC+DB=5+2.5=7.5.
答：这棵树高有7.5m
【解析】【解答】解：（1）设BD=x，
∵两只猴子所经过的路程相等，AC=10，
∴BC+AC=BD+AD即5+10=x+AD，
解之：AD=15-x，
故答案为：（15-x）
【分析】（1）利用两只猴子所经过的路程相等，AC=10，可得到关于AD的方程，解方程求出AD的长.
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据BD=BC+DB，代入计算求出BD的长.
20．直角三角形 在数轴上的位置如图所示，其中点 在数轴上， ，以点 为圆心， 长为半径画弧交数轴于点 ．
（1）若点 在数轴上表示的数是7，求点 表示的数是多少？
（2）若点 表示的数是 ，求 ， ．
【答案】（1）解：点A表示的数是7，且点A在数轴上，
∴ OA＝7，
∵ ，
∴ AB＝4，
∵△OAB是直角三角形，
，
∵以点O为圆心，OB长为半径画弧交数轴于点M，
∴ ，
∴ M点表示的数是 ；
（2）解：∵OM＝ ，
∴ OB＝ ，
∵ ，
∴ AB＝ OA，
∴ ，
∴ ，即： ，
∴ OA＝14，AB＝ ×14＝8，
∴ OA＝14，OB＝8．
【解析】【分析】（1）根据题意OA=7，得到AB=4，三角形OAB是直角三角形，利用勾股定理求得OB，即OM的长度，解答即可；（2）由题意知OB=OM=，AB=，三角形OAB是直角三角形，利用勾股定理建立方程即可求出。
21．如图，在矩形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF、DE交于点O.
（1）求证：△AOD是等腰三角形；
（2）若AF⊥DE，OF＝ OA＝1，求矩形ABCD的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C=90°，
∵BE＝CF，
∴BC-BE＝BC-CF，
∴BF=CE，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴△AOD是等腰三角形.
（2）解：∵OF＝ OA＝1，
∴
∴
∵AF⊥DE，
∴∠AOD=90°，
∴∠OAD=∠ODA=45°，
∵矩形ABCD中，∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠BAF=∠CDE=45°，
∴∠AFB=45°=∠BAF，
∴AB=BF，
∵ ，
∴ ，
∴矩形ABCD的周长为 .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质可得AD=BC，AB=CD，AD∥BC，AB∥CD，∠B=∠C=90°，结合BE=CF以及线段的和差关系可得BF=CE，证明△ABF≌△DCE，得到∠AFB=∠DEC，AF=DE，进而推出OA=OD，据此证明；
（2）根据已知条件可得OA=3，AF=4，则OA=OD=3，利用勾股定理可得AD，根据矩形的性质可得∠BAD=∠ADC=90°，则∠AFB=45°=∠BAF，推出AB=BF，根据勾股定理可得AB、BF，据此不难求出矩形ABCD的周长.
22．如图，已知在四边形ABCD中，AB=20cm，BC=15cm，CD=7cm，AD=24cm，∠ABC=90°．
（1）猜想的∠A与∠C关系；
（2）求出四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：∠A+∠C=180°．理由如下：
如图，
连接AC．
∵AB=20cm，BC=15cm，∠ABC=90°，
∴由勾股定理，得
AC2=AB2+BC2=625（cm2）．
又∵在△ADC中，CD=7cm，AD=24cm，
∴CD2+AD2=AC2，
∴∠D=90°．
∴∠A+∠C=360°﹣180°=180°
（2）解：∵由（1）知，∠D=90°，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD= ×20×15+ ×7×24=234（cm2）．
即四边形ABCD的面积是234cm2．
【解析】【分析】（1）连接AC．首先根据勾股定理求得AC的长，再根据勾股定理的逆定理求得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°；（2）四边形ABCD的面积是两个直角三角形的面积和．
23．如图，有一块四边形空地，，经测得．
（1）求两点之间的距离；
（2）求这块空地的面积．
【答案】（1）两点之间的距离为
（2）
24．如图，在
中，点
对角线
上，且
，连接
。
求证：
（1） ；
（2）四边形
是平行四边形。
【答案】（1）证明：∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
∴ (SAS)；
（2）证明：由（1）可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴四边形 是平行四边形.
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定方法SAS判断出△ADE≌△CBF；
（2）根据全等三角形的性质得出DE=BF， ， 根据等角的补角相等得出 ， 从而推出DE∥BF；然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，推得四边形DEBF是平行四边形即可.
25．我们发现，用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度之间关系的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列两个问题：
（1）如图是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请用它验证勾股定理
（2）如图，在中，，是边上的高，，，求的长度
（3）如图①，若大正方形的面积是，小正方形的面积是，求的值．
【答案】（1）解：∵，，4个直角三角形的面积为：，
又∵，
∴，
即；
（2）解：由勾股定理得：，，，
∴，
∴，
∵，
又，
∴，
∵，
∴；
（3）解：根据（1）有：，，，
又∵，，
∴，，
∴，
∴，
即值为25．
【解析】【分析】（1）根据，可得，再化简可得；
（2）根据，，可得，再求出即可；
（3）先求出，，再求出，最后求出即可。
26．如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD于点E、F.
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当四边形DEBF是菱形时，求EF的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠DFO=∠BEO，
∵∠DOF=∠BOE ，OD=OB，
∴△DOF≌△BOE，
∴DF=BE，
∵DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解： ∵四边形DEBF是菱形
∴DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，
设AE=x，则DE=BE=8-x，
在Rt△ADE中，根据勾股定理得 ，
解得 ，
∴DE=BE= ，
在Rt△ABD中，BD= ，
∴OD= ，
在Rt△EOD中，OE= ，
∴EF=2OE= .
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到AB∥CD，由平行线的性质得到∠DFO=∠BEO，证明△DOF≌△BOE，根据全等三角形的性质得到DF=BE，于是证明四边形BEDF是平行四边形；
（2）根据四边形BEDF是菱形，得到DE=BE，EF⊥BD，OE=OF，设AE=x，则DE=BE=8-x根据勾股定理求出DE，BE，再求出BD，OD，最后根据勾股定理求出OE，EF，问题得解.
27．下面是小明设计的“作矩形ABCD”的尺规作图过程：
已知：在中，∠ABC＝90°．
求作：矩形ABCD．
作法：如图，
①分别以点A，C为圆心、大于的长为半径作弧，两弧相交于E，F两点；
②作直线EF，交AC于点P；
③连接BP并延长至点D，使得PD＝BP；
④连接AD，CD．
则四边形ABCD是矩形．
根据小明设计的尺规作图过程，解决以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成下面的证明．
证明：连接AE，CE，AF，CF．
∵AE＝CE，AF＝CF，
∴EF是线段AC的垂直平分线．
∴AP＝ ．
又∵BP＝DP，
∴四边形ABCD是平行四边形 （填推理的依据）．
∵∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形 （填推理的依据）．
【答案】（1）解：矩形ABCD就是所求作的图形，如图，
（2）CP；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形
【解析】【分析】（1）根据作法画出对应的几何图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线性质证AP=CP，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形 ， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可证四边形ABCD是矩形。
28．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．
（1）求证：BD=AE；
（2）若AB=2，BC=3，求BD的长．
【答案】（1）∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，
∴△ADC是等边三角形，
∴DC=AC，∠DCA=60°；
又∵△BCE是等边三角形，
∴CB=CE，∠BCE=60°，
∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，
即∠DCB=∠ACE，
在△BDC和△EAC中，
，
∴△BDC≌△EAC（SAS），
∴BD=AE
（2）解：∵△BCE是等边三角形，
∴BE=BC=3，∠CBE=60°．
∵∠ABC=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．
在Rt△ABE中，AE= ，
∴BD=AE= ．
【解析】【分析】（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．
29．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别是边AB，AC的中点，BC＝BD，点F在ED的延长线上，且BF//CD．
（1）求证：四边形CBFD为菱形；
（2）连接CF，与BD相交于点O，若CF＝4，求AC的长．
【答案】（1）证明：，E分别是边，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，D是边的中点，
，
又，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：连接，交于于O，如图，
由（1）得：四边形为菱形，
，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出，再证出，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出，，再由等边三角形的性质得出，，再推出，，进而得出AC的值。
30．观察、思考与验证
（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式 .
（2）如图2所示，∠B=∠D=90°，且B，C，D在同一直线上.试说明：∠ACE=90°.
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（发表在1876年4月1日的<新英格兰教育日志》上），请你写出验证过程.
【答案】（1）（a+b）2=a2+2ab+b2
（2）证明：如图，在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SAS），
∴∠BAC=∠DCE，
∵∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=90°；
（3）证明：∵∠B=∠D=90°，
∴∠B+∠D=180°，
∴AB∥DE，即四边形ABDE是梯形，
∴四边形ABDE的面积= （a+b）（a+b）= ab+ c2+ ab，
整理得：a2+b2=c2.
【解析】【解答】解：（1）这个公式是完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2；理由如下：
∵大正方形的边长为a+b，
∴大正方形的面积=（a+b）2，
又∵大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个矩形的面积=a2+b2+ab+ab=a2+2ab+b2，
∴（a+b）2=a2+2ab+b2；
故答案为：（a+b）2=a2+2ab+b2；
【分析】（1）观察图形，可知大正方形的面积=两个小正方形的面积+两个长方形的面积，据此得出答案；
（2）由SAS证明△ABC≌△CDE，由全等三角形的性质可推出∠BAC=∠DCE，故∠ACB+∠DCE=90°，即可证得结论；
（3）利用平行线的判定定理可证得AB∥DE，可证得即四边形ABDE是梯形；再利用梯形的面积公式可证得结论.
31．小惠自编一题：“如图，在四边形中，对角线交于点，，求证：四边形是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
小惠：证明：垂直平分．四边形是菱形．（ ） 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
若赞同小惠的证法，请在第一个方框内的（ ）中打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．
（1）你补充的条件是： ；
（2）证明：
【答案】（1）（答案不唯一）
（2）证明：，，
∴垂直平分．
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形．
【解析】【解答】解：（1）由题意得你补充的条件是（答案不唯一），
故答案为：（答案不唯一）
【分析】（1）根据菱形的判定即可求解；
（2）先根据垂直平分线的判定与性质即可得到，，进而结合菱形的判定即可求解。
32．教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．
请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．
定理应用：
（1）如图②．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AC=3，BC=4，求CD的长；
（2）如图③．在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点P在AD上，点M在AC上．若AC=6，BC=8，则PC+PM的最小值为 ．
【答案】（1）解：是的平分线，
，
，
，
在和中，，
，
；
定理应用：（1）如图，过点D作于点E，
在中，，
，
AD平分，且，
，
在和中，，
，
，
，
设，则，
在中，，即，
解得，
即CD的长为；
（2）
【解析】【解答】（2）如图，过点M作，交AB于点N，连接PN，
AD平分，
垂直平分MN（等腰三角形的三线合一），
，
，
由两点之间线段最短得：当点在同一条直线上时，取得最小值，最小值为CN，
又由垂线段最短得：当时，CN取得最小值，
在中，，
，
又，
，
解得，
即的最小值为，
故答案为：．
【分析】（1）过点D作于点E，先利用勾股定理求出AB的长，再利用“HL”证明可得AC=AE=3， 设，则，利用勾股定理列出方程求出x的值即可；
（2）过点M作，交AB于点N，连接PN，当点在同一条直线上时，取得最小值，最小值为CN，利用勾股定理求出AB的长，再根据，求出，即可得到的最小值为。
33．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O．
（1）证明：四边形ADCE为菱形．
（2）BC=6，AB=10，求菱形ADCE的面积．
【答案】（1）证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB中点，
∴CD= AB=AD，
又∵AE∥CD，CE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形，
∴平行四边形ADCE是菱形
（2）证明：在Rt△ABC中，AC= = =8．
∵平行四边形ADCE是菱形，
∴CO=OA，
又∵BD=DA，
∴DO是△ABC的中位线，
∴BC=2DO．
又∵DE=2DO，
∴BC=DE=6，
∴S菱形ADCE= = =24
【解析】【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD= AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）利用菱形的性质、勾股定理求得菱形ADCE的对角线的长度，然后根据菱形的面积= DE AC解答即可．
34．如图，P是等边内的一点，连接，以为边作，且，连接.若，连接.
（1）证明：；
（2）求的度数.
【答案】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，.
∵，
∴.
在和中，，
∴
（2）解：∵，
∴设，则，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由（1）可知，，
∴，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，且.
∴.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得AB=BC，∠ABC=60°，由角的和差关系可得∠ABP=∠CBQ，由已知条件可知BQ=BP，然后根据全等三角形的判定定理进行证明；
（2）设PA=3a，则PB=4a，PC=5a，易得△PBQ为等边三角形，则∠PQB=60°，PQ=PB=4a，由全等三角形的性质可得∠APB=∠CQB，CQ=PA=3a，由勾股定理逆定理知△PQC为直角三角形，且∠PQC=90°，然后根据∠BQC=∠PQB+∠PQC进行计算.
35．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．
（1）求证：△BFH≌△DEG；
（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠FBH=∠EDG，
∵AE=CF，
∴BF=DE，
∵EG∥FH，
∴∠OHF=∠OGE，
∴∠BHF=∠DGE，
在△BFH和△DEG中，
，
∴BFH≌△DEG（AAS）
（2）解：四边形EGFH是菱形；理由如下：
连接DF，如图所示：
由（1）得：BFH≌△DEG，
∴FH=EG，
又∵EG∥FH，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵DE=BF，∠EOD=∠BOF，∠EDO=∠FBO，
∴△EDO≌△FBO，
∴OB=OD，
∵BF=DF，OB=OD，
∴EF⊥BD，
∴EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形．
【解析】【分析】（1）首先依据平行四边形的性质可得到AD∥BC，AD=BC，OB=OD，接下来，依据平行线的性质证明∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，依据等角的补角相等可得到∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，最后由AAS进行证明即可；
（2）首先证明四边形EGFH是平行四边形，接下来，在依据等腰三角形的性质得出EF⊥GH，最后，依据对角线相互垂直的平行四边形是菱形进行证明即可.
36．如图，在中，AC是对角线，，垂足分别为点E，F，连接BE，DF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形．
（2）若，求CD的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=CB，
∴∠DAE=∠BCF，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴DE∥BF，∠DEA=∠BFC=90°，
在△DAE和△BCF中，
，
∴△DAE≌△BCF（AAS），
∴DE=BF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
（2）解：∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∵DE=EF=2，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DF=DE=2，CF=BE，
由（1）可知，四边形DEBF是平行四边形，
∴BE=DF=2，
∴CF=BE=，
∴CE=EF+CF=6，
∴CD=，
即CD的长为．
【解析】【分析】（1）先证出DE//BF，再利用△DAE≌△BCF（AAS），可得DE=BF，即可证出四边形DEBF是平行四边形；
（2）先证出△DEF是等腰直角三角形，可得DF=DE=2，CF=BE，再利用线段的和差求出CE的长，最后利用勾股定理求出CD的长即可。
37．
（1）感知：如图①，在正方形中，E是一点，F是AD延长线上一点，且，求证：；
（2）拓展：在图①中，若G在AD，且，则成立吗？为什么？
（3）运用：如图②在四边形中，，，，E是AB上一点，且，，求DE的长．
【答案】（1）证明：如图1中，
在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF=90°，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS），
∴CE=CF；
（2）解：成立，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠GCD=45°，
∵△BEC≌△DFC，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠DCF+∠GCD=45°，即∠GCF=45°，
∴∠GCE=∠GCF，且GC=GC，CE=CF，
∴△GCE≌△GCF（SAS），
∴EG=GF，
∴EG=GD+DF=BE+GD；
（3）解：如图：过点C作CF⊥AD于F，
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90°，
∵∠A=∠B=90°，FC⊥AD，
∴四边形ABCF是矩形，且AB=BC=16，
∴四边形ABCF是正方形，
∴AF=16，
由拓展可得DE=DF+BE，
∴DE=4+DF
在△ADE中，AE2+DA2=DE2．
∴（164）2+（16DF）2=（4+DF）2．
解得DF=9.6．
∴DE=4+9.6=13.6．
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质证明△CBE≌△CDF（SAS）即可；
（2）根据△BEC≌△DFC证明△GCE≌△GCF（SAS）， 则EG=GF，即EG=GD+DF=BE+GD；
（3）过点C作CF⊥AD于F，证明四边形ABCF是正方形， AF=16，由（2）可得DE=DF+BE，DE=4+DF在△ADE中，AE2+DA2=DE2，（16-4）2+（16-DF）2=（4+DF）2，解得DF=9.6，DE=4+9.6=13.6。
38．如图，四边形 为菱形，延长 使得 ，延长 使得 ，延长 使得 ，延长 使得 ，连接 ， .
（1）求证：四边形 是平行四边形.
（2）猜想：四边形 是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想.
【答案】（1）证明：∵四边形 为菱形，
∴PM=NQ，BM ND，
∵ ， ，
∴BM=ND，
∴四边形 是平行四边形；
（2）解：∵四边形 是平行四边形，
∴BM ND，BM=ND，AD BC，
∴∠NBM=∠CND，
∵ ，
∴△BNM≌△NCD（SAS），
∴ ，
∵ ，DM=BN，
∴ ，
∴四边形 是平行四边形，
∵ ，
∴ ，
∴由三角形内角和可得 ，即 ，
∴ ，
∴四边形 是矩形.
【解析】【分析】（1）由题意易得PM=NQ，PM NQ，进而可得BM=ND，然后问题可求证；
（2）由题意易证△BNM≌△NCD，∠BNM=90°，进而可得∠C=90°，然后问题可求证.
39．如图，将平行四边形纸片 沿一条直线折叠，使点 与点 重合，点 落在点 处，折痕为 .求证：
（1） ；
（2） .
【答案】（1）证明： 四边形 是平行四边形，
，
由折叠可得， ，
，
，
（2）证明： 四边形 是平行四边形，
， ，
由折叠可得， ， ，
， ，
又 ，
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角相等得出 ， 由折叠可得， ， 故 ，根据等式的性质即可得出 ；
（2）根据平行四边形的对角相等、对边相等得出 ， ， 由折叠可得， ， ， 故 ， ， 由（1）知，从而利用ASA判断出 。
40．如图，在菱形 中， ，垂足为点 ，且 为边 的中点.
（1）求 的度数；
（2）如果 ，求对角线 的长.
【答案】（1）解：连接 ，
∵四边形 是菱形 ∴
∵ 是 中点， ∴∴
∴ 是等边三角形
∴
（2）解：∵四边形 是菱形
∴ ， ， ，
∵
∴ ，
∴
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得DB=AD，即可证△ADB是等边三角形，可得∠A=60°（2）由题意可得∠DAC=30°，AC⊥BD，可得DO=2，AO=2 ，即可求AC的长．
41．如图1，用4个相同边长是、的长方形和中间一个小正方形组成的大正方形．
（1）若大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，则值为 ；则的值为 ；
（2）若小长方形两边长为和，则大正方形的边长为 ；
若满足，则的值为 ；
（3）如图2，正方形的边长是，它由四个直角边长分别是，的直角三角形和中间一个小正方形组成的，猜想，，三边的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）2；6
（2）5；17
（3）解：，，三边的数量关系为．
理由如下：由拼图可得，小正方形的边长为，
由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，
，
即．
【解析】【解答】解：（1）∵大正方形的面积为36，小正方形的面积为4，
∴，
，
又∵，
∴，
，
故答案为：2，6；
（2）大正方形的边长为
，
∵，
∴，
故答案为：5，17；
【分析】（1）先根据题意可得
，
，再结合
，即可得到
，
；
（2）结合图形可得大正方形的边长为
，再结合
，可求得
；
（3）由拼图可得，小正方形的边长为，再根据大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和可得，，即可得到
。
42．如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，延长BE交CD的延长线于F．
（1）若∠F=20°，求∠A的度数；
（2）若AB=5，BC=8，CE⊥AD，求 ABCD的面积．
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=8，CD=AB=5，AB∥CD，
∴∠AEB=∠CBF，∠ABE=∠F=20°，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠AEB=∠ABE=20°，
∴AE=AB，∠A=（180°﹣20°﹣20°）÷2=140°
（2）解：∵AE=AB=5，AD=BC=8，CD=AB=5，
∴DE=AD﹣AE=3，
∵CE⊥AD，
∴CE= = =4，
∴ ABCD的面积=AD CE=8×4=32
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质和已知条件得出∠AEB=∠CBF，∠ABE=∠F=20°，证出∠AEB=∠ABE=20°，由三角形内角和定理求出结果即可；（2）求出DE，由勾股定理求出CE，即可得出结果．
43．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，求AC的长．
【答案】（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠CFD=90°，∠CEB=90°（垂线的意义）
∴CE=CF（角平分线的性质）
∵BC=CD（已知）
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL）
（2）解：由（1）得，
Rt△BCE≌Rt△DCF
∴DF=EB，设DF=EB=x
∵∠CFD=90°，∠CEB=90°，
CE=CF，AC=AC
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL）
∴AF=AE
即：AD+DF=AB﹣BE
∵AB=21，AD=9，DF=EB=x
∴9+x=21﹣x解得，x=6
在Rt△DCF中，
∵DF=6，CD=10
∴CF=8
∴Rt△AFC中，AC2=CF2+AF2=82+（9+6）2=289
∴AC=17
答：AC的长为17．
【解析】【分析】（1）先求出 ∠CFD=90°，∠CEB=90° ，再求出 CE=CF ，最后证明求解即可；
（2）先证明 Rt△AFC≌Rt△AEC ，再求出 CF=8 ，最后计算求解即可。
44．已知：a＝ ，b＝ ．
（1）求a+b和ab的值；
（2）求a2+b2和a4+b4的值；
（3）求a8的整数部分．
【答案】（1）解：a+b＝ ；
；
（2）解：∵a+b＝ ，ab＝1，
∴ ；
a4+b4＝（a2+b2）2-2a2b2＝32-2＝7；
（3）解：a8+b8＝（a4+b4）2-2a4b4＝72-2＝47，
∵ ，
∴ ，
即0＜b＜1，
∴0＜b8＜1，
∴a8的整数部分是46．
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加法法则和乘法法则计算a+b和ab的值即可；
（2）将 a+b＝ ，ab＝1代入求解即可；
（3）根据 ，可得 0＜b＜1，再计算求解即可。
45．在四边形 中，已知 ， ， ， 且 于点C.试求：
（1）AC的长；
（2） 的度数．
【答案】（1）解：∵ ，
∴
中
， ，
∴
（2）解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】（1）在△ABC中，根据勾股定理求出AC的值；（2）再在△ACD中根据勾股定理的逆定理，证明△ACD是直角三角形，再根据等腰三角形的判定定理和三角形内角和定理进行计算即可.
46．如图，将 ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．
（1）你判断四边形ABEC形状是 ；
（2）请你添加一个条件，使四边形ABEC是矩形，并请说明理由；
（3）当△ABC满足 条件时，四边形ABEC是菱形．（不需说理）
【答案】（1）平行四边形
（2）解：答案不唯一，如添加：AE=BC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AE=BC，
∴四边形ABEC是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
（3）AB=AC
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
即AB∥CE，
∵CE=DC，
∴AB=CE，
∴四边形ABEC是平行四边形；
故答案为：平行四边形
（ 3 ）答案不唯一，如添加：AB=AC．
理由：∵四边形ABEC是平行四边形．AB=AC，
∴四边形ABEC是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
故答案为：AB=AC．
【分析】（1）由平行四边形的性质易证AB=CE，ABCE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ABEC是平行四边形；
（2）答案不唯一，可添加：AE=BC．由对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ABEC是矩形；
（3）答案不唯一，可添加：AB=AC．由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得四边形ABEC是菱形。
47．如图，已知矩形 ， ， ，P是 上一动点，M、N、E分别是 、 、 的中点.
（1）求证：四边形 是平行四边形；
（2）当 为何值时，四边形 是菱形，说明理由.
（3）四边形 有可能是矩形吗？若有可能，求出 的长；若不可能，请说明理由.
【答案】（1）证明： 、N、E分别是 、 、 的中点，
是 的中位线， 是 的中位线，
， ，
四边形 是平行四边形；
（2）解：当 时，四边形 是菱形，
理由如下：
当 时，即 ，
在 和 中，
，
，
，
、N、E分别是 、 、 的中点，
， ，
，
四边形 是菱形；
（3）解：四边形 可能是矩形.
若四边形 是矩形，则 ，
设 ， ，
， ，
，
，
，
或 .
故当 或 时，四边形 是矩形.
【解析】【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明；
（2）当P是AB的中点时，四边形PMEN是菱形，所以可求出AP的值；
（3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行.
48．如图1，四边形ABCO为正方形，若点A坐标为（0，5）
（1）如图1，直接写出点B的坐标
（2）如图1，点D为线段OA上一点，连接BD，若点A到BD的距离为1，求点C到BD的距离.
（3）如图2，若D为x轴上一点，且OD=2，M为y轴正半轴上一点，且∠DBM=45°，直接写出点M的坐标
【答案】（1）（5，5）
（2）解：作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
∵∠ABE+∠FBC=90°，∠ABE+∠EAB=90°，
∴∠FBC=∠EAB
又AB=BC，∠AEB=∠BFC=90°
∴
∴
（3）
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCO为正方形，点A坐标为（0，5）
∴B的坐标（5，5）
故答案为：（5，5）；
（3）当M在AO上时，如图，在x轴上截取CF=AM，
∵AB=CB，∠MAB=∠FCB=90°
∴△ABM≌△CBF，
∴BM=BF，∠ABM=∠CBF
∵∠DBM=45°
∴∠DBF=∠DBC+∠CBF =∠DBC+∠ABM=90°-∠DBM =45°
∴∠DBM=∠DBF
又BD=BD
∴△DBM≌△DBF，
设OM=x，则AM=5-x=CF，DF=5-2+5-x=8-x=DM
在Rt△MOD中，MD2=OM2+OD2
即（8-x）2=x2+22
解得x=
∴M
当M在OA延长线上时，如图，同理可得△ABM≌△CBF，△DBM≌△DBF
设OM=x，则AM=x-5=CF，DF=2+5-( x-5)=12-x=DM
在Rt△MOD中，MD2=OM2+OD2
即（12-x）2=x2+22
解得x=
∴M
故答案为： .
【分析】（1）根据正方形的特点即可求解；
（2）作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，证明 ，得到BC，BF的长，根据勾股定理即可求解；
（3）当M在AO上时，在x轴上截取CF=AM，证明△ABM≌△CBF，△DBM≌△DBF，设OM=x，在Rt△MOD中，根据勾股定理列出方程即可求解；当M在OA延长线上时，同理可求出OM的长，故可求解.
49．在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边△APE，点E的位置随着点P的位置变化而变化．
（1）如图1，当点E在菱形ABCD部或边上时，连接CE，BP与CE的数量关系是 ，CE与AD的位置关系是 ；
（2）当点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由（选择图2，图3中的一种情况予以证明或说理）；
（3）如图4，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE，若AB=2 ，BE=2 ，求四边形ADPE的面积．
【答案】（1）BP=CE；AD⊥CE
（2）解：结论仍然成立．
理由：选图2，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．
选图3，连接AC交BD于O，设CE交AD于H．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．
（3）解：∴△BAP≌△CAE，
由（2）可知EC⊥AD，CE=BP，
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴EC⊥BC，
∵BC=AB=2 ，BE=2 ，
在Rt△BCE中，EC= =8，
∴BP=CE=8，
∵AC与BD是菱形的对角线，
∴∠ABD= ∠ABC=30°，AC⊥BD，
∴BD=2BO=2AB cos30°=6，
∴OA= AB= ，DP=BP﹣BD=8﹣6=2，
∴OP=OD+DP=5，
在Rt△AOP中，AP= =2 ，
∴S四边形ADPE=S△ADP+S△AEP= ×2× + ×（2 ）2=8
【解析】【解答】解：（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．
理由：连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，∠ABD=∠CBD=30°，
∵△APE是等边三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴△BAP≌△CAE，
∴BP=CE，∠BAP=∠ACE=30°，
延长CE交AD于H，
∵∠CAH=60°，
∴∠CAH+∠ACH=90°，
∴∠AHC=90°，即CE⊥AD．
故答案为PB=EC，CE⊥AD．
【分析】（1）如图1中，结论：PB=EC，CE⊥AD．连接AC，想办法证明△BAP≌△CAE即可解决问题；（2）结论仍然成立．证明方法类似；（3）首先证明△BAP≌△CAE，解直角三角形求出AP，DP，OA即可解决问题
50．四边形ABCD是正方形（提示：正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．
求证：△ABF≌△DAE；
（2）直接写出（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系 ；
（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是 ，线段EF与AF、BF的等量关系是 ；
②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是 ；
（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＋∠BAE＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠EAD＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）
（2）EF=AF-BF
（3）△ABF≌△DAE；EF=BF-AF；EF=AF+BF
（4）解：
与以上证法类似：△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE＝BF，
∴EF＝AE－AF＝BF－AF；
即EF＝BF－AF
【解析】【解答】解：（2）解：线段EF与AF、BF的等量关系是EF＝AF－BF，
理由是：∵由（1）知：△ABF≌△DAE，
∴BF＝AE，
∴EF＝AF－AE＝AF－BF，
故答案为：EF＝AF－BF；
（ 3 ）①解：△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＋∠BAE＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠EAD＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE＝BF，
∴EF＝AE－AF＝BF－AF，
故答案为：△ABF≌△DAE，EF＝BF－AF；
②解：EF＝AF＋BF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠DAB＝90°，
∴∠DAE＋∠BAF＝180°－90°＝90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED＝∠AFB＝90°，
∴∠EAD＋∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE＝BF，
∴EF＝AE＋AF＝AF＋BF，
故答案为：EF＝AF＋BF；
【分析】（1）根据正方形的性质得出 AB＝AD，∠DAB＝90°， 根据同角的余角相等得出 ∠ADE＝∠BAF ，然后由AAS判断出 △ABF≌△DAE ；
（2）线段EF与AF、BF的等量关系是EF＝AF－BF，理由如下：根据u全等三角形的对应边相等得出BF＝AE，然后根据线段的和差及等量代换得出EF＝AF－AE＝AF－BF；
（ 3 ）① 则图中全等三角形是 △ABF≌△DAE，EF＝BF－AF，理由如下：根据正方形的性质得出AB＝AD，根据等角的余角相等得出∠ADE＝∠BAF，然后利用AAS判断出△ABF≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得出AE＝BF，然后根据线段的和差及等量代换得出EF＝AE－AF＝BF－AF；②EF＝AF＋BF，理由如下：根据正方形的性质得出AB＝AD，∠DAB＝90°，根据同角的余角相等得出∠ADE＝∠BAF，然后由AAS判断出△ABF≌△DAE，根据全等三角形的对应边相等得出AE＝BF，然后根据线段的和差及等量代换得出EF＝AE＋AF＝AF＋BF；
（4） 与以上证法类似利用AAS证出△ABF≌△DAE ，根据全等三角形的对应边相等得出AE＝BF，然后根据线段的和差及等量代换得出EF＝AE－AF＝BF－AF。
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